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直线与圆练习题(免费)


直线与圆检测题
一、选择题: 1. 已知过 A(? 1, a ) 、B (a, 8) 两点的直线与直线 2 x ? y + 1 = 0 平行, a 的值为 则 ( A. -10 B. 2 C.5 D.17 ) )

2. 设直线 x + my + n = 0 的倾角为 θ ,则它关于 x 轴对称的直线的倾角是( A. θ 3. B.

π
2



C. π ? θ

D.

π
2




已知过 A( ?2, m), B ( m,4) 两点的直线与直线 y = A.4 B.-8 C.2

1 x 垂直,则 m 的值( 2
D.-1

4. 若点 P ( m, 0) 到点 A( ?3, 2) 及 B (2, 8) 的距离之和最小,则 m 的值为( A. ?2 B. 1 C. 2 D. ?1



5. 不论 k 为何值,直线 (2k ? 1) x ? ( k ? 2) y ? ( k + 4) = 0 恒过的一个定点是( A.(0,0) B.(2,3) C.(3,2) D.(-2,3)



2 2 6. 圆 ( x + 1) + ( y + 2) = 8 上与直线 x + y + 1 = 0 的距离等于 2 的点共有(



A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7. 在 Rt△ABC 中, ∠A=90°, ∠B=60°, AB=1, 若圆 O 的圆心在直角边 AC 上, 且与 AB 和 BC 所在的直线都相切, 则圆 O 的半径是( ) A.

2 3

B.

1 2

C.

3 2

D.

3 3


8. 圆 x 2 + y 2 ? 2 x ? 2 y + 1 = 0 上的点到直线 x ? y = 2 的距离的最大值是( B. 1 + 2 C. 2 +

A. 2

2 2

D. 1 + 2 2 )

9. 过圆 x 2 + y 2 ? 4 x + my = 0 上一点 P (1,1) 的圆的切线方程为( A. 2 x + y ? 3 = 0 B. 2 x ? y ? 1 = 0 C. x ? 2 y ? 1 = 0

D. x ? 2 y + 1 = 0

10. 已知点 P ( a, b) (ab ≠ 0) 是圆 O : x 2 + y 2 = r 2 内一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所 在的直线,若直线 n 的方程为 ax + by = r 2 ,则( )

A. m ∥ n 且 n 与圆 O 相离 B. m ∥ n 且 n 与圆 O 相交 C. m 与 n 重合且 n 与圆 O 相离 D. m ⊥ n 且 n 与圆 O 相离 二、填空题: 11. 若直线 l 沿 x 轴正方向平移 2 个单位,再沿 y 轴负方向平移 1 个单位,又回到原来的位

置,则直线 l 的斜率 k =_________ . 12. 斜率为 1 的直线 l 被圆 x + y = 4 截得的弦长为2,则直线 l 的方程为
2 2



13. 已 知 直 线 l 过 点 P(5,10), 且 原 点 到 它 的 距 离 为 5, 则 直 线 l 的 方 程 为 . 14. 过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 . 15. 已知圆 C 的圆心与点 P ( ?2,1) 关于直线 y = x + 1 对称,直线 3 x + 4 y ? 11 = 0 与圆 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB = 6 ,则圆 C 的方程为 .

三、解答题: 16. 求经过直线 l1:3x+4y-5=0 l2:2x-3y+8=0 的交点 M,且满足下列条件的直线方程: (Ⅰ)经过原点; (Ⅱ)与直线 2x+y+5=0 平行; (Ⅲ)与直线 2x+y+5=0 垂直.

17. 已知△ABC 的两个顶点 A(-10,2),B(6,4),垂心是 H(5,2),求顶点 C 的坐标.

18. 已知圆 C: ( x ? 1) + y = 9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点.
2 2

(Ⅰ)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (Ⅲ)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求弦 AB 的长.

19. 已知圆 C : ( x ? a ) 2 + ( y ? 2) 2 = 4 ( a > 0) 及直线 l : x ? y + 3 = 0 . 当直线 l 被圆 C 截 得的弦长为 2 2 时, 求 (Ⅰ) a 的值; (Ⅱ)求过点 (3,5) 并与圆 C 相切的切线方程.

20. 已知方程 x + y ? 2 x ? 4 y + m = 0 . (Ⅰ)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若(Ⅰ)中的圆与直线 x + 2 y ? 4 = 0 相交于 M,N 两点,且 OM ⊥ ON(O 为坐标 原点)求 m 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程.
2 2

21. 已知圆 C : x 2 + ( y ? 1) 2 = 5 ,直线 l : mx ? y + 1 ? m = 0 。 (Ⅰ)求证:对 m ∈ R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (Ⅱ)设 l 与圆 C 交与不同两点 A、B,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程; (Ⅲ)若定点 P(1,1)分弦 AB 为

AP 1 = ,求此时直线 l 的方程。 PB 2

直 线 与 圆 复 习 题 参 考 答 案
题 号 答 案 11、 k = 1 B 2 C 3 B 4 A 5 B 6 C 7 D 8 B 9 D 10 A

1 12、 y = x ± 6 13、 x = 5 或 3 x ? 4 y + 25 = 0 2 2 2 14、 x + 2 y ? 5 = 0 15、 x + ( y + 1) = 18 16、解:(Ⅰ) 2 x + y = 0 (Ⅱ) 2 x + y = 0 (Ⅲ) x ? 2 y ? 5 = 0 2?4 1 = 2 ∴ k AC = ? 17、解: k BH = 5?6 2 1 ∴直线 AC 的方程为 y ? 2 = ? ( x + 10) 即 x+2y+6=0 (1) 2 又∵ k AH = 0 ∴BC 所直线与 x 轴垂直 故直线 BC 的方程为 x=6 (2)
解(1)(2)得点 C 的坐标为 C(6,-6) ,因直线过点 P、C, 18、解:(Ⅰ)已知圆 C: ( x ? 1) + y = 9 的圆心为 C(1,0)
2 2

所以直线 l 的斜率为 2,直线 l 的方程为 y = 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 2 = 0 . (Ⅱ)当弦 AB 被点 P 平分时,l⊥PC, 直线 l 的方程为 y ? 2 = ? 即 x + 2y ? 6 = 0 即 x ? y = 0 ,圆心 C 到直线 l 的距离为

1 ( x ? 2) , 2

(Ⅲ)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,斜率为 1,直线 l 的方程为 y ? 2 = x ? 2 ,

1 ,圆的半径为 3,弦 AB 的长为 34 . 2 19、解: (Ⅰ)依题意可得圆心 C ( a,2), 半径r = 2 ,
则圆心到直线 l : x ? y + 3 = 0 的距离 d = 由勾股定理可知 d + (
2

a?2+3 12 + (?1) 2

=

a +1 2

2 2 2 ) = r 2 ,代入化简得 a + 1 = 2 2 解得 a = 1或a = ?3 ,又 a > 0 ,所以 a = 1 (Ⅱ)由(1)知圆 C : ( x ? 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 4 , 又 (3,5) 在圆外 ∴ ①当切线方程的斜率存在时,设方程为 y ? 5 = k ( x ? 3) 5 由圆心到切线的距离 d = r = 2 可解得 k = 12 ∴ 切线方程为 5 x ? 12 y + 45 = 0 ②当过 (3,5) 斜率不存在直线方程为 x = 3 与圆相切 由①②可知切线方程为 5 x ? 12 y + 45 = 0 或 x = 3
20、解: (Ⅰ) x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y + m = 0 D=-2,E=-4,F= m

D 2 + E 2 ? 4 F =20- 4m > 0 , m < 5

(Ⅱ) ?

x = 4 ? 2 y 代入得 2 2 ?x + y ? 2x ? 4 y + m = 0 5 y 2 ? 16 y + 8 + m = 0 16 8+m y1 + y 2 = , y1 y 2 = ∵OM ⊥ ON 5 5
∴ 5 y1 y 2 ? 8( y1 + y 2 ) + 16 = 0 ∴m =

?x + 2 y ? 4 = 0

得出: x1 x 2 + y1 y 2 = 0 (Ⅲ)设圆心为 (a, b)

8 5

x1 + x 2 4 y + y1 8 4 5 = ,b = 1 = 半径 r = 2 5 2 5 5 4 2 8 2 16 圆的方程 ( x ? ) + ( y ? ) = 5 5 5 2 21、解: (Ⅰ)解法一:圆 C : x + ( y ? 1) 2 = 5 的圆心为 C (0,1) ,半径为 5 。 ?m m 1 ∴圆心 C 到直线 l : mx ? y + 1 ? m = 0 的距离 d = ≤ = < 5 m 2 + 1 2m 2 ∴直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; 方法二: ∵直线 l : mx ? y + 1 ? m = 0 过定点 P (1,1) , 而点 P (1,1) 在圆 C : x 2 + ( y ? 1) 2 = 5 内 ∴直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; y (Ⅱ)当 M 与 P 不重合时,连结 CM、CP,则 CM ⊥ MP , a=
∴ CM
2

+ MP = CP
2

2

设 M ( x, y )( x ≠ 1) ,则 x 2 + ( y ? 1) 2 + ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 = 1 , 化简得: x 2 + y 2 ? x ? 2 y + 1 = 0( x ≠ 1) 当 M 与 P 重合时, x = 1, y = 1 也满足上式。 故弦 AB 中点的轨迹方程是 x 2 + y 2 ? x ? 2 y + 1 = 0 。 (Ⅲ)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,由 ∴ 1 ? x1 = C M A O

B

l

P (1,1)

x

AP 1 1 = 得 AP = PB , PB 2 2

1 ( x2 ? 1) ,化简的 x2 = 3 ? 2 x1 ………………① 2 ?mx ? y + 1 ? m = 0 又由 ? 2 消去 y 得 (1 + m 2 ) x 2 ? 2m 2 x + m 2 ? 5 = 0 ……………(*) 2 ? x + ( y ? 1) = 5 2m 2 ∴ x1 + x2 = ………………………………② 1 + m2 3 + m2 由①②解得 x1 = ,带入(*)式解得 m = ±1 , 1 + m2 ∴直线 l 的方程为 x ? y = 0 或 x + y ? 2 = 0 。


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