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立体几何中的最值问题四则


立体几何中的最值问题四则
1. 用配方法求距离的最值 例 1. 如图 1,正方形 ABCD、ABEF 边长都是 1,且平面 ABCD、ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM ? BN ? a(0 ? a ? MN 的值最小。

2 ) 。试求当 a 为何值时,

图1 分析:此题的解题关键

是想用含 a 的代数式表示距离,再用配方法求最值。 解:过 M 作 MH?AB ,垂足为 H,连结 NH,如图 1 所示。 在正方形 ABCD 中, AB? CB , 所以 BC / / MH , 因为平面 AC ? 平面 AE, 所以 MH? 平面 AE,即 MH?NH 。 因为 CM ? BN ? a , AB ? CB ? BE ? 1 , 所以 AC ? BF ? 即 AM ?

2

2 ?a,
2 2 a , BH ? a, 2 2 2 a。 2

MH ? AH ? 1 ?

由余弦定理求得 NH ?

所以 MN ?

MH 2 ? NH 2

? (1 ?

2 2 2 2 a) ? ( a) 2 2

? a 2 ? 2a ? 1 ? (a ? 2 2 1 ) ? (0 ? a ? 2 ) 2 2

当a ?

2 2 时, MN ? ,即 M、N 分别移到 AC、BF 的中点时,MN 的值最小,最 2 2

小值为

2 2

2. 结合实际找最值位置 例 2. 在一张硬纸上,抠去一个半径为 3 的圆洞,然后把此洞套在一个底面边长为 4, 高为 6 的正三棱锥 A—BCD 上,并使纸面与锥面平行,则能穿过这张纸面的棱锥的高的最 大值是________。

图2 解:如图 2 所示,假设硬纸上的圆洞刚好卡在 B'C'D'处。设正三棱锥 A ? BCD 的顶点 A 在平面 BCD 上的射影为 A',在平面 B'C'D'上的射影为 O。 连结 BA'、B'O 并延长分别交 CD、C'D'于 E、E'点,则 平面 B ' C ' D' / / 平面 BCD, 所以

B' E ' B' C' ? , BE BC 3 3 B' O,BE ? BA' , 2 2

B' E ' ?


B' O B' C' ? 。 BA' BC

又因为 BA' ?

4 3 , B' O ? 3, BC ? 4 , 3

所以 B' C' ? 3 又

AO B ' C ' ? , AA' BC B' C' 9 ? AA' ? , BC 2 9 。 2

所以 AO ?

即能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是

3. 利用函数的有界性求体积最值 例 3. 如图 3, 已知在 ?ABC 中,?C ? 90? , PA ? 平面 ABC, AE? PB 于 E, AF? PC 于 F, AP ? AB ? 2 , ?AEF ? ? ,当 ? 变化时,求三棱锥 P ? AEF 体积的最大值。

图3 解:因为 PA ? 平面 ABC

BC ? 平面 ABC,
所以 PA? BC 又因为 BC?AC, PA ? AC ? A , 所以 BC ? 平面 PAC, 又 AF ? 平面 PAC, 所以 BC? AF , 又 AF?PC, PC ? BC ? C , 所以 AF ? 平面 PBC,即 AF? EF 。 EF 是 AE 在平面 PBC 上的射影, 因为 AE? PB ,

所以 EF?PB , 即 PE ? 平面 AEF。 在三棱锥 P ? AEF 中,

AP ? AB ? 2, AE?PB ,
所以 PE ?

2 , AE ? 2 ,

AF ? 2 sin ? , EF ? 2 cos?, V P ? AEF ? ? 1 S ?AEF ? PE 3

1 1 ? ? 2 sin ? ? 2 cos? ? 2 3 2

?

2 sin 2? 6

因为 0 ? ? ?

?
2



所以 0 ? 2? ? ?,0 ? sin 2? ? 1

因此,当 ? ?

?
4

时, V P ? AEF 取得最大值为

2 。 6

4. 结合图形列方程求解。 例 4. 棱长为 2cm 的正方体容器盛满水,把半径为 1cm 的铜球放入水中刚好被淹没,然 后再放入一个铁球,使它淹没水中,要使流出来的水量最多,这个铁球的半径应该为多大?

图4 解:过正方形对角线的截面图如图 4 所示。

AC1 ? 2 3, AO ? 3 ,

AS ? AO ? OS ? 3 ? 1
设小球的半径为 r。 在 ?AO1 D中,AO1 ?

3r ,

AS ? AO1 ? O1 S ,
所以 3 ? 1 ?

3r ? r ,

解得 r ? 2 ? 3(cm) ,为所求。


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