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【优化探究】2015高考数学(人教A版 理)提素能高效训练:4-4 数系的扩充与复数的引入


[A 组 基础演练· 能力提升] 一、选择题 1.(2014 年济南模拟)设复数 z=-1-i(i 为虚数单位),z 的共轭复数为 z ,则|(1-z)·z |=( ) A. 10 B.2 C. 2 D.1

解析:依题意得(1-z)·z =(2+i)(-1+i)=-3+i, |(1-z)·z |=|-3+i|= ?-3?2+12= 10,选 A. 答案:A

1 2.若复数 z=m(m-1)+(m-1)i 是纯虚数,其中 m 是实数,则 =( z A.i C.2i B.-i D.-2i )

? ?m?m-1?=0 1 1 解析:依题意? ,得 m=0,z=-i, =- =i,选 A. z i ?m-1≠0 ?

答案:A 3-2i 3.(2014 年合肥模拟)已知 i 为虚数单位,则复数 =( 2+i 4 7 A. + i 5 5 4 7 C. - i 5 5 3-2i ?3-2i??2-i? 4-7i 4 7 解析: = = = - i. 5 5 5 2+i ?2+i??2-i? 答案:C 1 4.(2014 年石家庄模拟)复数 z=1-i,则 +z 对应的点所在的象限为( z A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 ) 4 7 B.- + i 5 5 4 7 D.- - i 5 5 )

1 3 i 1 解析:∵z=1-i,∴ +z= - ,∴ +z 对应的点所在的象限是第四象限,故选 D. z 2 2 z 答案:D 5.已知复数 z=1+ai(a∈R,i 是虚数单位), A.2 z z 3 4 =- + i,则 a=( 5 5 )

B.-2

C.± 2

1 D.- 2

1-ai ?1-ai?2 1-2ai-a2 1-a2 2a 3 4 解析:由题意可知: = = = 2 2- 2i=- + i,因此 5 5 1+ai ?1+ai??1-ai? 1+a 1+a 1+a 1-a2 3 =- , 5 1+a2 2a 4 化简得 5a2-5=3a2+3,a2=4,则 a=± 2,由- 2= 可知 a<0,仅有 a=-2 满足, 1+a 5 故选 B. 答案:B 6.(2013 年高考陕西卷)设 z1,z2 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若|z1-z2|=0,则 z 1= z B.若 z1= z 2,则 z 1=z2 C.若|z1|=|z2|,则 z1·z 1=z2·z
2 D.若|z1|=|z2|,则 z2 1=z2 2 2

)

解析:设 z1=a+bi,z2=c+di.若|z1-z2|=0,则 z1-z2=(a-c)+(b-d)i=0,a=c,b =d,所以 z 1= z 2,故 A 项正确;若 z1= z 2,则 a=c,b=-d,所以 z 1=z2,故 B 项正
2 2 确;若|z1|=|z2|,则 a2+b2=c2+d2,所以 z1·z 1=z2·z 2,故 C 项正确;z2 1=(a -b )+2abi, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, z2 2=(c -d )+2cdi,在 a +b =c +d 的条件下,不能保证 a -b =c -d 2ab=2cd,故 D

项错误. 答案:D 二、填空题 ?1-i??1+i? 7.(2014 年九江模拟)复数 在复平面内对应的点到原点的距离为________. i ?1-i??1+i? 2 解析: = =-2i,故复数在复平面内对应的点为(0,-2),所求距离为 2. i i 答案:2 1 1 1 1 8.i 为虚数单位, + 3+ 5+ 7=________. i i i i 1 1 1 1 解析: + 3+ 5+ 7=-i+i-i+i=0. i i i i 答案:0 9.已知复数 x2-6x+5+(x-2)i 在复平面内对应的点在第三象限,则实数 x 的取值范 围是________. 解析:∵x 为实数,∴x2-6x+5 和 x-2 都是实数.

2 ? ? ?x -6x+5<0, ?1<x<5, 由题意,得? 解得? ?x-2<0, ? ? ?x<2,

即 1<x<2.故 x 的取值范围是(1,2). 答案:(1,2) 三、解答题 10.实数 m 分别取什么数值时,复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i (1)与复数 2-12i 相等; (2)与复数 12+16i 互为共轭复数; (3)对应的点在 x 轴上方. 解析:(1)根据复数相等的充要条件得
?m2+5m+6=2, ? ? 2 解之得 m=-1. ?m -2m-15=-12. ?

(2)根据共轭复数的定义得
?m2+5m+6=12, ? ? 2 解之得 m=1. ? ?m -2m-15=-16.

(3)根据复数 z 对应点在 x 轴上方可得 m2-2m-15>0, 解之得 m<-3 或 m>5. 11.已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1· z2 是 实数,求 z2 . 1-i 解析:由(z1-2)(1+i)=1-i 得 z1= +2=2-i. 1+i 已知复数 z2 的虚部为 2,设 z2=a+2i,a∈R,则 z1· z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1· z2∈R,∴4-a=0,解得 a=4,∴z2=4+2i. 3 2 12.(能力提升)复数 z1= +(10-a2)i,z2= +(2a-5)i,若 z 1+z2 是实数,求实 a+5 1-a 数 a 的值. 解析: z 1+z2= 3 2 +(a2-10)i+ +(2a-5)i a+5 1-a

3 2 =?a+5+1-a?+[(a2-10)+(2a-5)]i ? ? = a-13 +(a2+2a-15)i. ?a+5??a-1?

∵ z 1+z2 是实数, ∴a2+2a-15=0.解得 a=-5 或 a=3. ∵分母 a+5≠0,∴a≠-5,故 a=3.

[B 组 因材施教· 备选练习] 1.已知复数 z=1+i, z 为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是( A. z =-1-i B. z =-1+i C.| z |=2 D.| z |= 2 )

解析:因为 z=1+i,所以 z =1-i,| z |= 2. 答案:D 2.若 i 为虚数单位,则复数 z=5i(3-4i)在复平面内对应的点所在的象限为( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

解析:z=5i(3-4i)=20+15i,则复数对应的点在第一象限,选 A. 答案:A 1-3i 3.(2014 年惠州调研)复数 3 的共轭复数是( i A.-3+i C.3+i 1-3i 解析: 3 =(1-3i)i=3+i.故选 C. i 答案:C z1 4. 已知 i 是虚数单位, 且复数 z1=3-bi, z2=1-2i, 若 是实数, 则实数 b 的值为( z2 A.6 C.0 B.-6 1 D. 6 ) )

B.-3-i D.3-i

6-b z1 3-bi 3+2b ?6-b?i z1 解析:∵ = = + ,当 =0 时, 是实数,∴b=6. z2 1-2i 5 5 5 z2 答案:A


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