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浙江省温州市十校联合体2015届高三第一次月考数学(文)试题


温州市十校联合体2015届高三第一次月考 数学(文)试题
(完卷时间:120分钟, 满分:150分,本次考试不得使用计算器) 一.选择题:本大题共10题,每小题5分,共50分. 1.已知集合 M ? {x | x ? 0, x ? R}, N ? {x | x ? 1, x ? R} ,则 M
2

N ?(

/>
A. [0,1]

B. (0,1)

C. (0,1]

D. [0,1) )

2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是( A. y ? x ? 1 B. y ? tan x C.

y ? x3

D. y ? log 2 x ) D.第四象限

3.已知点 P (cos ? , tan ? ) 在第三象限,则角 ? 的终边在( A. 第一象限 B. 第二象限
2

C.第三象限 )

4.设 a ? log 2 ? , b ? log 1 ? , c ? ? ?2 , 则( A. a ? b ? c B. b ? a ? c

C. a ? c ? b

D. c ? b ? a

5.在 ?ABC 中, G 为 ?ABC 的重心, D 在边 AC 上,且 CD ? 3DA ,则

A

D

1 7 AB ? AC 3 12 1 7 (C) GD ? ? AB ? AC 3 12
(A) GD ? A.
61 16
log 2 x

1 1 AB ? AC 3 12 1 1 (D) GD ? ? AB ? AC 3 12
(B) GD ? ? C.
25 16

G
B

C

6. 数列{an}中,a1 =1,对所有 n∈N+都有 a1 a2?an =n2,则 a3+ a5 等于----B.
25 9





D.

31 15

7.函数 f ( x) ? 2

? x?

1 的图像为 x

(

)

8 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别 a, b, c, ,若 c 2 ? (a ? b) 2 ? 6, C ? 则 ?ABC 的面积( )
·1 ·

?
3

,

A.3

B.

9 3 2

C.

3 3 2

D. 3 3

9.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,若 x1 , x2 ? (?


? ?

, ) ,且 6 3

f ( x1 ) ? f ( x2 )

( x1 ? x2 ),则 f ( x1 ? x2 ) ? (

A. 1

1 B. 2

2 C. 2

3 D. 2


10.已知函数 f ( x) ? ? (A) [?2, 0]

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ,若 | f ( x) |? ax ? 1 恒成立,则 a 的取值范围是( ? ln( x ? 1), x ? 0
(B) [?2,1] (C) [?4, 0] (D) [?4,1]

二.填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. log 2 3 log 3 4 ? lg 2 2 ? lg 2 lg 5 ? lg 5 ? 12. 设集合 M={1,2},N={a },则“a=1”是“N?M”的 13、奇函数 f ( x) 在 (0, ??) 上的解析式是
2

条件

f ( x) ? x(1 ? x) ,则 f ( x) 的函数解析式是
1 } 的前 2015 项和为 a n a n ?1


14.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , S 5 ? 3a5 ? 15 则数列 {

15.如图所示,为了研究钟表与三角函数的关系 ,建立如图所示的坐标系 ,设秒针针尖位置P(x,y).若 初始位置为P0( ,),当秒针从P0(注此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系



·2 ·

16.如图在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 8, AD ? 5 , CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,则 AB ? AD 的 值是

17. 设函数 f ( x) ? ? 个.

? x 2 ? bx ? 2, x ? 0 ? | 2 ? x |, x ? 0

,f (?4) ? f (0) , 则函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 2) 的零点有

三.解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.已知向量 a ? (cos α, sin α ),b = (cos β, sin β ), | a ? b |? (1) 求 cos(α ? β ) 的值; (2) (2)若 0 ? α ?

2 5 , 5

π π 5 , ? ? β ? 0,且 sin β ? ? ,求 sin α 的值。 2 2 13

19.已知函数 f ( x) 的定义域是 (0,??) 且满足

1 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) , f ( ) ? 1 , 如果对于 0 ? x ? y ,都有 f ( x) ? f ( y ) . 2
(1)求 f (1) , f (2) ; (2)解不等式 f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 20.在锐角△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c , 若 ac sin C ? (a ? c ? b ) sin B ,
2 2 2

(1) 若 ?C ?

?
4

,求 ?A 的大小。

·3 ·

(2) 若三角形为非等腰三角形,求

c 的取值范围。 b

21.在等差数列 {an } 中,已知公差 a1 ? 2 , a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 bn ? a n ( n ?1) ,记 Tn ? ?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? … ? (?1) n bn ,求 Tn .
2

22.. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象过点 (1,13) ,且函数对称轴方程为 x ? ?
2

1 . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 13 ? x ,求 g ( x) 在区间 [t ,2] 上的最小值 H (t ) ;
2

?

?

(Ⅲ)探究:函数 y=f ( x) 的图象上是否存在这样的点,使它的横坐标是正整数,纵坐标是一个完 全平方数?如果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由.

.

·4 ·

一.选择题:本大题共10题,每小题5分,共50分. 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 C 5 B 6 A 7 D 8 C 9 A 10 C

二.填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11

3

12

充分不必要

13

? x(1 ? x).....x 0 ? f ( x) ? ? 0......x ? 0 ? x(1 ? x)....x ? 0 ?
22 17 4

14

2014 2015

15

y=sin

16

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解:(1)因为 a ? (cos α, sin α ),b = (cos β, sin β ), 所以 a ? b ? (cos α ? cos β, sin α ? sin β ), 又因为 | a ? b |? .................................. ..3 分

2 5 2 5 ,所以 (cos α ? cos β ) 2 ? (sin α ? sin β ) 2 ? , 5 5
4 5 3 ; 5
.................................. ..7 分

即 2 ? 2 cos(α ? β ) ? , cos(α ? β ) ? (2) 0 ? α ?

π π .................................. ..9 分 , ? ? β ? 0, 0?α? β ?π, 2 2 3 4 又因为 cos(α ? β ) ? ,所以 sin(α ? β ) ? , 5 5 5 12 63 sin β ? ? ,所以 cos β ? ,所以 sin α ? sin[(α ? β ) ? β ] ? ? 13 13 65
..................................14 分

·5 ·

..................13 分 解得 ?1 ? x ? 0
2

? 原不等式的解集为 [?1, 0) . .................14 分
2 2

20.解:(1)? ac sin C ? (a ? c ? b ) sin B

sin C a 2 ? c 2 ? b 2 a2 ? c2 ? b2 .................2 分 ? ?2 ? 2 cos B ? sin B ac 2ac .................3 分 ? sin C ? sin 2 B 所以 C ? 2 B或C ? 2 B ? ? .................4 分 ? ? (a)若 C ? 2 B , ?C ? ,则 ?A ? . .................5 分 4 4 ? 3? (b)若 C ? 2 B ? ? , ?C ? ,则 ?A ? . ..................6 分 4 8 (2) 若三角形为非等腰三角形,则 C ? 2 B 且 ?A ? ? ? B ? C ? ? ? 3B .......8 分 ? ? 又因为三角形为锐角三角形, 0 ? 2 B ? ,0 ? ? ? 3B ? 2 2 ? ? 故 ...................10 分 ? ?B ? 6 4 c sin C 而 ...................12 分 ? ? 2 cos B b sin B c 所以 ...................14 分 ? ( 2 , 3) b
21. 解: (I)由题意知 (a1 ? d ) 2 ? a1 (a1 ? 3d ) , 即 (a1 ? 2) 2 ? a1 (a1 ? 6) , 解得 a1 ? 2 , 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n . (II)由题意知 bn ? a n ( n ?1) ? n(n ? 1) .
2

................... 2 分

...................

4分

................... 6 分

................... 8 分

所以 Tn ? ?1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ?

? (?1) n n ? ( n ? 1) .
·6 ·

因为 bn ?1 ? bn ? 2(n ? 1) . 可得,当 n 为偶数时,

................... 10 分

Tn ? (?b1 ? b2 ) ? (?b3 ? b4 ) ?

? (?bn ?1 ? bn )
? n(n ? 2) 2

? 4 ? 8 ? 12 ?

n (4 ? 2n) 2 ? 2n ? 2

当 n 为奇数时, Tn ? Tn ?1 ? (?bn ) ?

(n ? 1) 2 (n ? 1)(n ? 1) ? n(n ? 1) ? ? 2 2

? (n ? 1) 2 ? , n为奇数 ? ? 2 所以 Tn ? ? . ? n(n ? 2) ,n为偶数 ? ? 2
22.解:(Ⅰ) ∵
2

................... 14 分

1 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 的对称轴方程为 x ? ? ,∴ b ? 1 . ??? 2 分 2
1 ? b ? c ? 13 ,∴ c ? 11 .

又 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象过点(1,13) ,∴ ∴

f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x 2 ? x ? 11 . ???????????????? 4 分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得: g ( x) ? ( x ? 2)? | x | =?

? ( x ? 1) 2 ? 1, ( x ? 0), ???????? 6 分 2 ?? ( x ? 1) ? 1, ( x ? 0).
2

结合图象可知:当 1 ? t ? 2 , g ( x) min ? t ? 2t ; 当 1 ? 2 ? t ? 1 , g ( x) min ? ?1 ; 当 t ? 1 ? 2 , g ( x) min ? ?t ? 2t .???????????? 9 分
2

? t 2 ? 2t , (1 ? t ? 2), ? ∴ 综上: H (t ) ? ? ? 1, (1 ? 2 ? t ? 1), 2 ?? t ? 2t , (t ? 1 ? 2 ). ?

??????????????? 11 分

·7 ·

(法二)从而 m(m ? 1) ? n ? 11>0 的偶数,∴
2

n ? 4 的奇数



取 n ? 5,7,9,11, ? 验证得,当 n ? 11 ? m ? 10 时符合

因此,函数 y ? f ( x) 的图象上存在符合要求的点,它的坐标为 (10,121) .???? 16 分

·8 ·


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