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双曲线渐近线的一个几何性质


专论荟萃 ?  


数 学 通讯 — — 2 O 1 3年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

8 1  

双 曲 线渐 近 线 的 一 个 几何 性质 
李世臣  
( 河南省周 1 : 1 市川汇区教体局教研室 , 4 6 6 0 0 1 )  

笔 者研

究 发 现 , 双 曲线 的渐 近 线 有 一 个 非 常 



s  

美 妙 的几何 性质 .   定理  如 图 1 , A、 B是 双  曲线 上两 定 点 , P是 双 曲线 上 


_ y?     l
‘  

一  
一  



 

动点, 则 渐近 线 Z 被 直 线 

P A、 P B 截 得 的 线 段 长 为 
定值 .  
  .

( c 。 s 专 一 s i n 专 ) ( c 。 s 号 一 s i n 号 ) ( c 。 s 导 一  
s i n ̄ 2) ( x c- x v )  

证 明  设 双 曲线 方 程 为 
6 。  2 一a 。 Y  一 口   b   ( 口> 0, b > 

: n ( c o s 导 _ S i n 导 ) c 0 s 丁 y + a  


0 , c

一 



) , A( a s e c a , b t a n a ) , B( a s e c l f ,  

b t a n S ) , P( a s e c y , b t a n ¥ ) , 渐 近线 为 Z : 如 一a y一 0 ,  

( c o s 号  n 号 ) c o s   ]  

直线 P A、 P B分别 与直 线 z 交 于 C( x c , Y c ) 、 D( X D ,  

) , 则 

- A - d一 ( z c —a s e c a , 3 , c —b t a n a ) ,   声一 ( a s e c y —a s e c a , b t a n y —b t a n a ) .  
因 为 A、 C 、 P共 线 , 所 以( x c —a s e c a ) ( b t a n ¥ 一 
b t a n a ) 一( 3 , c —b t a n a ) ( a s e c Y- -a s e c f )一 0 , 整理 ,  
得 
缸c ( t a n y— t a n a )一 a yc ( a s e c 7一 a s e c a )  
= a b ( s e c a t a n y— —t a n a s e c y ) .  

= 口 ( c o s 导 一 s i n 导   c c 。 s 号 c 。 s 号 一 s i n 手 。   s i n 号 ) 一 ( c 。 s 号 一 s i n 号 ) ( c 。 s   c 。 s 售 一  
s i n 号 s i n 导 ) ]  

= n [ c 。 s 号 ( s i n 号 c 。 s 售 一 c 。 s 号 s i n 导 ) 一   s i n 舌 ( s i n 号 c 。 s 譬 - C O S 号 s i n 售 ) ]  
一   。s

所以 b x c s i n ( y— d )+ a y c ( c o s y— c o s a )一  
a b( s i n y— —s i n a ) .  

等 s i n   2   n 舌 s i n   )  

因 为 D( x D , Y D ) ∈Z , 所 以  c -a y c一 0 , 所 以 

一  n   ( c 。 s 号  n 专 )  
故 c ~z 。  
口s i n   2  

z c [ s i n ( y -a ) +( c o s y -c o s  ̄ ) =a ( s i n y -s i n a ) ?  
所 以 


a ( s i n ? ' 一 s i n a )   : = =   s i n( y— a )+ ( c o s y— c o s a )  

( c 。 s 号 一 s i n 号 ) ( c 。 s 导 一 s i n 售 )  
所 以,  
CD 一   x  XC- - 5 C D  

口 c 。   T y +a  
c 。 s   2 一 s i n  

a cos —

y   + a  
= = : C 

s i n   2  

( c o s 号 一 s i n 号 ) ( c 。 s 号 一 s m 号 )  
同理 可 得 ,  

( c o s 号 一 s i n 号 ) ( c 。 s 售 一 s i n 售 )  
同理 , 渐 近线 z : 如 +  : 0 被直 线 P A、 P B截 

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数 学 通讯 — — 2 0 1 3年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

? 专论荟 萃 ?  

得 的线 段 
一  

  l

s i n  

l  

4   I   C O S O  ̄ C O s l f   1 l . ‘  
E F是渐近线 被直 线 B A、 B C截 得 的线 

一  I ( c o s   + s i n 詈 ) ( c o s   + s i n 鲁 ) 1 l   .  
显然 , C D、 E F 的长 只 与 A、 B 的坐 标 有关 , 故 
为定值.  

推论 2   如图 3 , 四边 形 A BC D 内接 于 双 曲 

线, 直线 A B、 B C、 C D、 D A 分别 与 同一 条渐 近线交 
于 E、 F、 G、 H. 则 E F—G H.  

简析

该命 题 可得 以下 推论 :  

段, G H 是 渐 近线 被 直 线 DA、 D C 截得 的线 段 , 由   定理 知 , E F、 G H 的大小 只 与 A、 c 的坐标 有关 , 长 
度表 达式相 同 , 所以 E F、 G H 相等.   推论 3   如图 4 , 过双 曲线 的渐 近线上 一点 P  

推论 1   如图2 , A、 B是双 曲线上 的定点 , P是 
双 曲线 上 的动点 , 直线 P A 交渐 近线 于点 C、 D, 直 

线尸 B 交渐 近线 于 点 E、 F, G、 H、 I 、 J分别 是 C D、  
D E、 E F、 F C的 中点 , 则 四边形 G HI J是形 状 、 大小 
都 不改变 的平 行 四边形.  
J , J  

作两 条 割 线 分 别 和 双 曲线 交 于 A、 B、 C、 D, 直线 
A C、 B D 分别 和 同 一 条 渐 近 线 交 于 E、 F, 则 P E  

  J

J   I  



 



 

’  



 



 

i  

\   \  
图 2   图 3  
图 4  

\ \ \  
图 5  

简析  由于 A、 B是 双 曲线 上 的定 点 , P是 双  曲线 上 的动 点 , 由定 理 得 C E、 D F 为定 长 , 且 所 成 
角 与渐 近线 所 成 角 相 等. 由 于 中点 四 边 形 G HI J   的两组对 边 分别平 行且等 于 C E、 DF 的一 半 , 所 以  四边形 G HI J是边 长及夹角 都为 定值 的平 行 四边  形, 因此 , 其 形状 、 大小都 不随着 P 的移 动而 改变.   这 个特 殊 的 四边形 的面积 是怎样 的呢 ?   设渐 近 线 的 夹 角 为 0 ,则 s i n O一 
C  

简析  P E是 渐近线 被直 线AB、 A C截 得 的线 
段, P F是 渐近线 被直线 DC、 D B 截得 的线 段 , 由定 
理知, P E、 l P F 的大小 只与 B、 C的坐 标有 关 , 长 度  表 达式相 同, 所以P E—P l F.  

推论 4   如图 5 , △A BC 内接 于双 曲线 , 直 线  A B、 B C、 C A 分别 和同一 条渐近 线交 于点 D、 E、 F,   点 A 处 的 切 线 交 同 一 条 渐 近 线 于 点 G, 则 E F  
= ==

.设 

A( a s e c a , b t a n a ) , B( a s e e t f , b t a  ) , 由定理得 
1  

. DG .  

简析
段,  

E F是 渐近线 被 直线 C B、 C A 截得 的线 
的大 小 只与 A、 B 的 坐 标 有 

G J一 ÷D F  

是 渐 近 线 被 直 线 AB、 A A( 切线) 截 得 的 线 

l I  
G H 一 丢 C E  
一  

s i n   鹂 

l   ,  

段, 由定理 知 , E F、  

关, 长度表 达式相 同 , 所以 E F— D G.  

由推 论 4 可 以得 到经 过 双 曲线 上一 点 的切 线  的尺规作 法.   已知 : 双 曲线 、 双 曲线 的 渐近 线和 双 曲线 』 二 一  点 A, 求作 : 双 曲线过 已知点 A 的切线 .   作法: ( 1 ) 如图 5 , 在 双 曲线 上 取 两点 B、 C, 作  直线 A B、 AC, 分别 和 同一 条 渐 近 线 交 于 D、 F, 作  直线 B C交 同一 条渐近 线于 点 E;  


a b  

1 .  
2  

( 2 )在渐 近线上 截取点 G, 使  一 面 ;  
s i  

( 3 )作直线 A G, 即为所求 切线 .   证明  如 图 5 , 设 双 曲线 方 程 为 b 。 - r  一 “ 。 Y 。  
一a 。 b   ( “> 0 , 6 > 0 ) , 渐近 线 为 Z :   —a y一 0 ,  

==



 

2  

( c o S 2 号 一 s i n 2 号 ) ( c 。 s 2   i f 2 - - s i n z 售 )  

?

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A( a s e c a ’ b t a n a ) ’  ( a s e c p ’ b t a n  , C ( a s e c ) " '  
b r a n T ) , D( xD,  D ), E( xE , Y E ) , F( x F , Y F ) ,   G( x G,  G ) .  

双 曲线的割线 , 分 别和 双 曲线交 于 A、 B, 过点 A、 B   的切 线分别 和 同一条渐 近线 交 于点 C、 D, 则P C— 
PD .  

由定 理 的证 明知 
口 s i n— a — -  7  
S CD - XE 一  

简析

P C是渐 近线 被直 线AB、 A A( 切 线) 截 

得 的线段 , P D 是渐 近线 被 直 线 B A、 B B( 切 线 )截  得 的线段 , 由定 理知 , P C、 P D 的大小 只 与 A、 B 的  推论 2至推论 5可 以认 为是 渐 近线 上 的蝴 蝶 

长度 表达 式相 同 , 所以P C= = : P D.   ( c o s   号 一  号 面 s i n   ) ( c o s 再 号 一   s i n)   ’   坐标 有关 ,
acos   9 

定理, 美 妙之 至 , 耐人 寻 味.  

( c 。 s 号 一 s i n 号 ) ( c 。 s 专 一 s i n 号 )  
因为 
所以,  
X G = XD— zE+ X F  

Y    J

. y   J  

= 

, 所 以 

一z  = z 。一   ,  

\  
一  

卜  一  
。 

口 ( S i n   + c 。 s 字)  
( c 。 s 号 一 s i n 号 ) ( c 。 s 吾 一 s i n 号 )  
口 ( c 。 s 号 + s i n 号 )  
。  一   m  


。 \ \ \  
图 6  

I 墨 l   7  

推论 6   如图7 , A、 B是 双曲线 上 的定 点 , P是  双 曲线上 的动点 , 直线 P A、 P B 交 同一 条渐 近线 于  点C 、 D, 若渐 近线 上一 点 E是C   的定 比分 点 , 则  直线 P E 经过 双 曲线 上一定 点.   简 析  因为 A、 B是 双 曲线 上 的定 点 , 由定理  知C D 为定 长 , 又 E是C   的定 比分 点 , 所以 C E、  

a( 1   q - - s i n a )



一 口 ( s e c 口+ t a n a ) .  

C O S口 

因为 G( x G , Y G )∈ l : b x— a y一 0 , 所 以 
3 , G 一  G 一  e c 口+ t a n  

E D 为定 长 , 则 直线 P E必 过 双 曲线 上一定 点.  
参考 文献 :  

将z G , Y G代入 A 点 的切 线方程 
“  

一下 y t a n a  
【 ,  

[ - 1 - ]   蒋 声译 . 圆锥 曲线 的几何 性 质[ M] . 上海: 上 
海教 育 出版社 , 2 0 0 2年.  

一 1.  

左边一 ( s e c 口+ t a n a ) ( s e c a— t a n a )  

一 s e c   a —t a n   a一 1一 右 边 .  

所 以点 G在A 点 处切线 上 , 即直线 G A 是双 曲  线 的切 线.  
推论 5   如图 6 , 过 双 曲线渐 近线上 一 点 P引 

( 收 稿 日期 : 2 0 1 2 —1 1 —2 6 )  


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