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2017优化方案高考总复习·数学(理)山东专用第六章第5讲知能训练轻松闯关


1.如果 x>0,比较( x-1)2 与( x+1)2 的大小. 解:( x-1)2-( x+1)2 =[( x-1)+( x+1)][( x-1)-( x+1)] =-4 x. 因为 x>0,所以 x>0,所以-4 x<0, 所以( x-1)2<( x+1)2. a2-b2 a-b 2.设 a>b>0,求证: 2 2> . a +b a+b a2-b2 a-b 证明:法一: 2 - a +b2 a+b a3-b3-ab2+a2b-a3+b3+a2b-ab2 = (a2+b2)(a+b) 2 2a b-2ab2 = (a2+b2)(a+b) 2ab(a-b) = , (a2+b2)(a+b) 因为 a>b>0, 所以 a-b>0,ab>0,a2+b2>0,a+b>0. a2-b2 a-b 所以 2 - >0, a +b2 a+b a2-b2 a-b 所以 2 > . a +b2 a+b 法二:因为 a>b>0, 所以 a+b>0,a-b>0. a2-b2 a2+b2 a2-b2 a+b 所以 = · a-b a2+b2 a-b a+b (a+b)2 = 2 a +b2 a2+b2+2ab = a2+b2 2ab =1+ 2 >1. a +b2 a2-b2 a-b 所以 2 > . a +b2 a+b 1 1 3.(2015· 高考湖南卷)设 a>0,b>0,且 a+b= + .证明: a b (1)a+b≥2; (2)a2+a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立. 1 1 a+b 证明:由 a+b= + = ,a>0,b>0,得 ab=1. a b ab (1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b≥2 ab=2,即 a+b≥2. (2)假设 a2+a<2 与 b2+b<2 同时成立,则由 a2+a<2 及 a>0,得 0<a<1; 同理,0<b<1,从而 ab<1,这与 ab=1 矛盾. 故 a2+a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立. 1 1 1 4.已知 a,b,c 均为正实数,且互不相等,且 abc=1,求证: a+ b+ c< + + . a b c 证明:法一:因为 a,b,c 均为正实数,且互不相等,且 abc=1, 1 1 1 1 1 1 + + + 1 1 1 b c c a a b 1 1 1 所以 a+ b+ c= + + < + + = + + . bc ca ab 2 2 2 a b c 1 1 1 所以 a+ b+ c< + + . a b c 1 1 1 法二:因为 + ≥2 =2 c; a b ab 1 1 1 1 1 1 + ≥2 =2 a; + ≥2 =2 b. b c bc c a ac 1 1 1 所以以上三式相加,得 + + ≥ a+ b+ c. a b c 1 1 1 又因为 a,b,c 互不相等,所以 + + > a+ b+ c. a b c 法三:因为 a,b,c 是不等正数,且 abc=1, bc+ca ca+ab ab+bc 1 1 1 所以 + + =bc+ca+ab= + + > abc2+ a2bc+ ab2c= a+ b a b c 2 2 2 + c. 1 1 1 所以 a+ b+ c< + + . a b c 1 1 5.(2014· 高考课标全国卷Ⅰ)若 a>0,b>0,且 + = ab. a b (1)求 a3+b3 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. 1 1 2 解:(1)由 ab= + ≥ ,得 ab≥2,且当 a=b= 2时等号成

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