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等比数列及前n 项和导学案


7.3 等比数列及前 n 项和(课前案)
梁山一中 李小焕

【最新考纲】
1.理解等比数列的概念 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题 4.了解等比数列与指数函数的关系 【知识梳理】 1.等比数列的定义 如果一个数列__________________________, 那么这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等 比数列的________,通常用字母______表示(q≠0). 数学语言表达式: ________________________. 2.等比中项: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的______, 其中 G= _______. 3.等比数列的通项公式及前 n 项和公式 (1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=______________. 通项公式的推广: ________________________. (2)等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=_____________; 当 q≠1 时,Sn=_____________ =_____________ 4.等比数列的常用性质 (1) 若{an}为等比数列,且 m+n=p+q=2r,(m,n, p,q,r∈N*),则___ =____=____. (2)数列 ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…仍是等比数列,公比为_______. (3) 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列, 其公比为________. ?1? ?an? (4)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),?a ?,{a2 bn},?b ?仍是等比 n},{an· ? n? ? n? 数列. ? ?a1<0 ?a1>0, (5)单调性:? 或? ?{an}是________数列; ?0<q<1 ?q>1 ?
?a1>0, ?a1<0 ? ? 或? ?{an}是________数列; ?q>1 ?0<q<1 ?

q=1?{an}是____数列;q<0?{an}是________数列. 5.等差数列与等比数列的关系是: (1)若一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列是非零常数列; (2)若{an}是等比数列,且 an>0,则{lg an}构成等差数列. 【小题体验】 1.若数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-a,数列{an}为等比数列,则实数 a 的值是 A.3 B.1 C.0 D.-1 2.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比 q=( A.3 B.4 C.5 D.6 3. 正项等比数列{an}中,a2=4,a4=16,则数列{an}的前 9 项和为_______.
5

( )

)

4. 若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e ,则 lna1+lna2+…+lna20= ________. 【典型例题】 题型一 等比数列的基本量的运算

例1

(1)在等比数列{an}中,已知 a3=2,a2+a4=

20 3

,求{an}通项公式;

(2)已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,Sn=93,an=48, 公比 q=2,求项数 n.

题型二 等比数列的判定与证明 例 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

题型三 等比数列的性质及应用 例 3(1)若等比数列{an}中,满足 an>0,(2a4+a2+a6)a4=36,则 a3+a5=________ (2) 设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和, Sn=54, S2n=60,则 S3n =________


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