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人教版选修【1-2】第二章《推理与证明》章末检测及答案


数学·选修 1-2(人教 A 版)

章 末 检 测
(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般 的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到 一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ 答案:D 2.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 ) A.有两个内角是直角 B.有三个内角是直角 C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角 解析:至多有一个的否定是至少存在两个,所以选 C. 答案:C 3.有一段演绎推理是这样的:“有些有理数是真分数,整数是 有理数,则整数是真分数.”这段推理的结论显然是错误的,是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 答案:C D.非以上错误 D.①③⑤

(

4.我们把平面几何里相似的概念推广到空间:如果两个几何体 大小不一定相等,但形状完全相同,就称它们是相似体.给出下面的 几何体中:①两个球体;②两个长方体;③两个正四面体;④两个正 三棱柱;⑤两个正四棱锥. 则一定是相似体的个数为( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 解析:根据相似体的定义,只有①③是相似体,选 C. 答案:C 5.下面几种推理是合情推理的是( ) ①由正三角形的性质,推测正四面体的性质; ②由平行四边形、梯形内角和是 360° ,归纳出所有四边形的内 角和都是 360° ; ③某次考试金卫同学成绩是 90 分,由此推出全班同学成绩都是 90 分; ④三角形内角和是 180° ,四边形内角和是 360° ,五边形内角和 是 540° ,由此得凸多边形内角和是(n-2)180° . A.①② B.①③ C.①②④ D.②④ 答案:C 1 6.证明命题:“f(x)=ex+ x在(0,+∞)上是增函数”.现给出 e 1 1 的证法如下:因为 f(x)=ex+ x,所以 f′(x)=ex- x.因为 x>0,所以 e e 1 1 ex>1,0< x<1.所以 ex- x>0, 即 f′(x)>0.所以 f(x)在(0, +∞)上是增函 e e 数.使用的证明方法是( ) A.综合法 B.分析法 C.反证法 答案:A D.以上都不是

7. 在△ABC 中, 若 sin2A+sin2B<sin2C, 则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定

)

解析:用正弦定理将正弦关系转化为边的关系. a b c 由正弦定理知 = = =2R, sin A sin B sin C a b c ∴sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R 2 2 2 ∵sin A+sin B<sin C, a2 b 2 c2 ∴ 2+ 2< 2, 4R 4R 4R ∴a2+b2<c2, a2+b2-c2 ∴cos C= <0. 2ab ∴C 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形. 答案:C 8.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则 a2 009 和 a2 014 分别等于( ) A.1,1 B.1,0 C.0,0 D.0,1 解析:本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题 意,得 a2 009=a4×503-3=1,a2 014=a2×1 007=a1 007=a4×252-1=0.所以应 选 B. 答案:B π 2π nπ 9.若 Sn=sin +sin +?+sin (n∈N*),则在 S1,S2,?, 7 7 7 S100 中,正数的个数是( ) A.16 个 B.72 个 C.86 个 D.100 个 分析: 本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题. 解决 此类问题需要找到规律, 从题目出发可以看出每隔 13 或 14 项的和为 0,这就是规律,考查综合分析问题和解决问题的能力. 解析: 依据正弦函数的周期性, 可以找其中等于零或者小于零的 项.

答案:C 10. 我国的 《洛书》 中记载着世界上最古老的一个幻方: 将 1,2, ?, 9 填入 3×3 的方格内,使三行、三列、二对角线的三个数之和都等 于 15, 如下图所示, 一般地, 将连续的正整数 1,2,3, ?, n2 填入 n×n 个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方 形就叫做 n 阶幻方.记 n 阶幻方的对角线上数的和为 N,右上图的 幻方记为 N3=15,那么 N12 的值为( )

A.869 B.870 C.871 D.875 答案:B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填 在题中横线上) 11.用火柴棒摆“金鱼”,如下图所示:

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 ________. 答案:6n+2

12.对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直, 那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得 到命题: “_________________________________________________________ _______________” 这个类比命题的真假性是 ___________________________________________________________ _____________. 答案: 如果两个二面角的两个半平面分别垂直, 那么这两个二面 角相等或互补 假命题 13.(2013· 广州一模)已知经过同一点的 n(n∈N*,n≥3)个平面, 任意三个平面不经过同一条直线. 若这 n 个平面将空间分成 f(n)个部 分,则 f(3)=________,f(n)=________. 答案:8 n2-n+2

14.下列为一组等式: S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65, ? 某学生据此猜测 S2n-1=(2n-1)(an2+bn+c), 老师回答正确, 则 a+b+c=________. 答案:1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分, 解答时应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12 分)若 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,试用分析法或综合 ?1 ??1 ??1 ? 法证明:?a-1??b-1??c-1?≥8. ? ?? ?? ? 证明:证法一:(综合法) ?1 ??1 ??1 ? ? -1?? -1?? -1? ?a ??b ?? c ? ?a+b+c ??a+b+c ??a+b+c ? ?? ?? ? =? - 1 - 1 - 1 a b c ? ?? ?? ? b+c a+c a+b = a ·b · c ?b+c??c+a??a+b? = abc 2 bc· 2 ac· 2 ab ≥ =8(当且仅当 a=b=c 时取等号),所以不等 abc 式成立. 证法二:(分析法) ?1 ??1 ??1 ? 要证?a-1??b-1??c -1?≥8 成立, ? ?? ?? ? 1-a 1-b 1-c 只需证 a · b · c ≥8 成立. 因为 a+b+c=1,所以只需证 ?a+b+c?-a ?a+b+c?-b ?a+b+c?-c · · ≥8 成立, a b c b+c a+c a+b 即 a · b · c ≥8. b+c a+c a+b 2 bc 2 ac 2 ab 只需证 a · b · c ≥ a · b · c =8 成立. 2 bc 2 ac 2 ab 而 a · b · c =8 显然成立, ?1 ??1 ??1 ? ∴?a-1??b-1??c -1?≥8 成立. ? ?? ?? ?

16

a ?a .(12 分)请你把命题“若 a1,a2 是正实数,则有 a a
1 2

2

2 2 1



a1+a2”推广到一般情形,并证明你的结论. 解析:推广的命题: 若 a1,a2,?,an 都是正数, a2 a2 a2 a2 n- 1 1 2 n + +?+ a + ≥a1+a2+?+an. a2 a3 a1 n 证明:∵a1,a2,?,an 都是正数, a2 1 ∴ +a2≥2a1, a2 2 a2 +a3≥2a2, a3 ? a2 n- 1 an +an≥2an-1, a2 n +a1≥2an, a1 a2 a2 a2 a2 n- 1 1 2 n 以上各式相加得: + +?+ a + ≥a1+a2+?+an. a2 a3 a1 n

17.(14 分)已知 a,b,c 是不为 1 的正数,x,y,z∈R+,且有 1 1 2 ax=by=cz 和x+ z =y.求证:a,b,c 顺次成等比数列. 证明:令 ax=by=cz=k>0,则有:x=logak,y=logbk,z=logck. 1 1 2 1 1 2 因为x+ z =y ,所以有 + = . logak logck logbk lg a lg c 2lg b 所以 + = ,即 lg a+lg c=2lg b,即有 b2=ac,所以 lg k lg k lg k a,b,c 顺次成等比数列.

18.(14 分)如右下图所示,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB, S△ADE a1b1 AC 上的点,若 AD=a1,AE=b1,AB=a,AC=b,则 = . S△ABC ab 试在立体几何中写出类似的四面体性质的猜想,并予以证明.

解析: 如图所示, 在三棱锥 SABC 中, D, E, F 分别是侧棱 SA, SB,SC 上的点,且 SA=a,SB=b,SC=c,SD=a1,SE=b1,SF VS-DEF a1b1c1 =c1,则 = . VS-ABC abc

证明:过点 A 作 AH⊥平面 SBC 于点 H,过点 D 作 DH1⊥平面 SBC 于点 H1,则 DH1∥AH,且 S,H1,H 三点共线. 1 1 1 1 ∵VS-DEF= VD-SEF= S△SEF· DH1= × · SE· SF· sin∠ESF· DH1= 3 3 2 6 1 1 b1c1· DH1· sin∠ESF, VS-ABC=VA-SBC= S△SBC· AH= bc· AH· sin∠BSC, 3 6 且 sin∠ESF=sin∠BSC,DH1∥AH, DH1 SD a1 VS-DEF a1b1c1 ∴ AH =SA= a .∴ = abc . VS-ABC 1 19.(14 分)已知△ABC 中,角 A、B、C 成等差数列,求证: a+b 1 3 + = . b+c a+b+c 1 1 3 + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c 需证: + =3, a+b b+c 即证:c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 即证:c2+a2=ac+b2, 因为△ABC 中,角 A、B、C 成等差数列,所以 B=60° ,由余弦 2 2 2 定理得 b =c +a -2cacos B, 即 b2=c2+a2-ca,所以 c2+a2=ac+b2, 1 1 3 因此 + = . a+b b+c a+b+c 证明(分析法):要证

20.

(14 分)如图, 已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面, M, N 分别是 AB, PC 的中点. (1)试用分析法证明 MN //平面 PAD; (2)试用分析法证明 MN⊥CD; (3)若∠PDA=45° ,求证 MN⊥平面 PCD. 证明: (1)要证明 MN//平面 PAD, 需让 MN 平行于平面 PAD 内 某一直线.注意到 M,N 分别为 AB,PC 的中点,可取 PD 的中 点 E,连接 AE,从而只需证 MN//AE 即可. 1 证明如下:取 PD 的中点 E ,连接 AE,EN ,则 EN 綊 CD 2 1 綊 AB 綊 AM,故四边形 AMNE 为平行四边形,∴MN//AE. 2 ∵AE?平面 PAD,MN?平面 PAD. ∴MN//平面 PAD. (2)要证 MN⊥CD,可证 MN⊥AB, 由(1)知需证 AE⊥AB. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AD⊥AB,∴AB⊥平面 PAD, ∴AB⊥AE,即 AB⊥MN. ∵CD//AB ,∴MN⊥CD. (3)由(2)知 MN⊥CD,即 AE⊥CD,再证 AE⊥PD 即可. ∵ PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AD.又∠PDA=45° ,E 为 PD 的 中点,∴AE⊥PD,即 MN⊥PD. 又 MN⊥CD,PD∩CD=D,∴MN⊥平面 PCD.


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