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[套卷]湖南省永顺县第一中学2013届高三高考仿真考试数学(理)试题


湖南省永顺县第一中学 2013 届高三高考仿 真考试数学(理)试题
一、选择题(5 分×8=40 分) 1. 已知集合 A=??1, 0,1, 2? , B= x x ? 1 ? a ,若 A ? B A. (1, ??) B. (1, 2)

?

?

则 a 的取值范围为 D.

C.

(2, ??)

? 2, ?? ?
2. 设复数 z 满足 z (2 ? i ) ? i ( i 为虚数单位),则复数 z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第 四

3. 设 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 3 在区间 (?1,1) 上为单调函数”的
2

A. 充分不必要条件 C.充分必要条件

B. 必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件

4. 执行右图示的程序框图,该程序运行后输出的 K 值为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 公比为 2 的等比数列 ? an ? 的各项均为正数,且 a3 ?a11 ? 16 , 则 log 4 a10 = A. 2 B.

5 2

C. 3

D.

7 2

6. 在区间 (0, ? ) 上随机取一点 a , s ? 记 事件“ s ? 1 ”发生的概率为 A.

?

a

0

( o x sin ) x d ,则 cs ? x
3 5 3 4

1 4

B.

1 2

C.

D.

7. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合, 抛物线的 a 2 b2

准线交双曲线所得的弦长为 5,则双曲线的离心率 e ? A.

6 2

B.

3 2

C.

3 5 5

D.

3

8. 在 ?ABC 中 , E , F 分 别 为 AB, AC的 中 点 , P 为 EF 上 任 一 点 , 实 数 x, y 满 足

??? ? ??? ? ???? ?? P A? x P B? y P C ,设 ?ABC, ?PBC, ?PCA, ?PAB 的面积分别为 S , S1 , S 2 , S3 , ? O



S S1 S ? ? =?1 , 2 =?2 , 3 =?3 , f ( p) ? ?1 ? 2 ? 3 ,则当函数 f ( p) 取最大值时, x ? y S S S
3 2
B. -1 C. 1 D.

的值为 A. ?

3 2

二、填空题(5 分×7=35 分) ㈠选做题(考生在第 9,10,11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)

? 3 t ?x ? 1? ? 2 ( t 为参数),在极坐标系(与直 9. 在直角坐标系 xoy 中,曲线 c1 的参数方程为 ? ?y ? 1 t ? ? 2
角坐标系 xoy 取相同的长度单位, 且以原点 o 为极点, x 轴正半轴为极轴) 曲线 c2 以 中, 的方程为 ? ? 4cos ? ,则曲线 c2 上到曲线 c1 的距离为 1 的点的个数为_______。 10.不等 式 x ? a ? x ? 1 ? 2a 对 ?x ? R 恒成立 ,则实数 a 的 取值范围 为 ____ 11.如图,PC 切圆 O 于点 C , 割线 PAB 经过圆心 O , C ? B 弦 D A 若圆 O 的半径为 2, PA ? 1 ,则 BC=_________ ㈡必做题(12—16 题) 12. 若 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数是-84,则 a ? _________
9

于点 E ,

第 11 题
3

a x

13.如图是某几何体的三视图,其中正视图是边长为 2 的等边三角形,俯视图 是半圆,则该几何体的体积为_________ 14. 样本 ( x1 , x2 ,? xn ) 的平均数为 x ,样本 ( y1 , y2 ,? ym ) 的平均数为 y ( x ≠ y ),设样本 ( x1 , x2 ,? xn , y1 , y2 ,? ym ) 的平均数 z ? ? ?x ? ? ?y , 则 ? ? ? 的取值范围为
2 2

正视图

左视图

俯视图

第 13 题

?x ? y ? 2 ? 15. 不等式组 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 构成的三角形平面区域记为 ? 。 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?
⑴设 P( x, y ) 为 ? 内任一点,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为_______ ⑵设 P( x,??? 为构成区域 ? 的三角形的内切圆上的任一点, 记定点 Q 的坐标为 (4, ?2) , y ) ???? ? OQ (O 为坐标原点)的最大值为________ 则乘积 OP ? 16. 设集合 2 ? 2 0 ? s ? t , 且S , t ? Z 中的元素由小到大构成数列 ? an ? ,
s t

?

?

3 6 9 10 12 ? ? ? ? ? 第 16 题 5

即 a1 ? 3 , a2 ? 5 , a3 ? 6 , a4 ? 9 , a5 ? 10 , a6 ? 12 , ? ,现将数列

?an ? 中的各项按照上小下大,左小右大的原则排成一个三角形数阵。如图
⑴ 写出数阵中第四行的第一个数即 a7 为 ⑵ 数阵中第 n 行中的各数自左至右分别记为 an1 , an 2 , ? ann ;

a a a a 则和式 1? n1 ? 2? n 2 ? 3? n 3 ? ? ? n? nn=
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ⑴ 求函数 f ( x) 在 ?0, ? ?上的单调递增区间; ⑵设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c , f ( A ? , 且 ) 0 若向量 m ? (1,sin B) 与 向量 n ? (2,sin C ) 共线,求

?
6

) ? 2cos 2 x .

??

?

a 的值. b

18. (本小题满分 12 分)湖南省举办科技创新大赛,某地区有 20 件科技创新作品参赛,大 赛组委会对这 20 件作品分别从“创新性”和“实用性”两个方面进行评分,每个方面评分 均按等级采用 3 分制(最低 1 分, 最高 3 分), 若设“创新性”得分为 x , “实用性”得分为 y , 得到统计结果如下表,若从这 20 件产品中随机抽取 1 件. ⑴求事件 A:“x ≥2 且 y≤2”的概率; ⑵ 设 ξ 为抽中作品的两项得分之和,求 ξ 的数学期望.
作品数

x 1分 2分 3分 1分 2 1 2







y
实 用 性

2分 0 4 2

3分 2 1 6

19. (本小题满分 12 分)如图所示,直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90o,AD=2,AB=3, CD=4,P 在线段 AB 上,BP=1,O 在 CD 上,且 OP∥AD,将图甲沿 OP 折叠使得平 面 OCBP⊥底面 ADOP,得到一个多面体(如图乙),M、N 分别是 AC、OP 的中点. (1) 求证:MN⊥平面 ACD; C (2) 求平面 ABC 与底面 OPAD 所成角(锐角)的余弦值.
C O D B B P
(甲)

M N O D A

A

P

(乙)

(第 19 题图)

20. (本小题满分 13 分)提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 一般情况下, 大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当车流密 度不超过 50 辆/千米时,车流速度为 30 千米/小时.研究表明:当 50<x≤200 时,车流 速度 v 与车流密度 x 满足 v ( x ) ? 40 ?
k 250 ? x

,当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,

造成堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时. (1) 当 0<x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2) 当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数,单位: 辆/小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到个位,参考数据

5 ? 2.236 )

21. (本小题满分 13 分)在直角坐标系 xoy 中,椭圆 C1:
y a
2 2

?

x b

2

2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率 e ?

3 2

y


M l P O F N
(第 21 题图)

F 是抛物线 C2:y2=4x 的焦点, C1 与 C2 交于 M,N 两点(M 在第一象限),且|MF|=2. (1) 求点 M 的坐标及椭圆 C1 的方程; (2) 若过点 N 且斜率为 k 的直线 l 交 C1 于另一点 P, 交 C2 于另一点 Q,且 MP⊥MQ,求 k 的值.

x

Q

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? p x . (1) 若函数 f ( x) 在定义域内为减函数,求实数 p 的取值范围; (2) 如果数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an ?1 ? [1 ? 当 n ? 2 时, 4 ? an ? 4e 4 .
3

1 n ( n ? 1)
2 2

]an ?

1 4n

,试证明:


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