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北京市东城区2015-2016学年高二下学期期末考试数学试题Word版含答案.doc


北京市东城区 2015-2016 学年下学期高二期末考试 数学试卷(文科)
本试卷共 100 分,考试时长 120 分钟。 参考公式: 若 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , … , ( xn , yn ) 为 样 本 点 , y ? b x ? a 为 回 归 方 程 , 则
?
? ? ?

b?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( xi ? x)
i ?1

n


2

a ? y ?b x , 其 中

?

?

x?

1 n ? xi n i ?1



y?

1 n ? yi n i ?1

.

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量。 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 设集合 A ? ?x | x( x ? 2) ? 0? , B ? ?x | x ?1 ? 0? ,则 A ? B ? A. (-2,1) B. [1,2) C. (-2,1 ] D. (1,2)

2. 已知数列 2, 5, 2 2, 11? ,则 2 5 是这个数列的 A. 第 6 项 B. 第 7 项 C. 第 11 项 D. 第 19 项

3. 下列四个命题中的真命题为 A. ?x0 ? Z ,1 ? 4x0 ? 3 C. ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 4. 函数 y ? A. 1
2

B. ?x0 ? Z ,5x0 ? 1 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0

ln x 在 x ? 1 处的导数等于 x
B. 2 C. 3 D. 4

5. “ a ? ?2 ”是“复数 z ? (a ? 4) ? (a ?1)i( a ? R) 为纯虚数”的 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 已知 a ? 30.2 , b ? log6 4, c ? log3 2 ,则 a, b, c 的大小关系为 A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. b ? c ? a

7. 设函数 f ( x)( x ? R) 为奇函数, f (1) ? A. 0

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) ? 2
B. 1 C.

5 2

D. 5 8. 高二第二学期期中考试,按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人 数后,得到 2× 2 列联表,则随机变量 K 的观测值为 班级与成绩统计表 优秀 甲班 乙班 总计 A. 0.600 6.004 9. 已知函数 f ( x) ? x x ? 2x ,则下列结论正确的是 A. f ( x) 是偶函数,递增区间是 (0, ??) B. f ( x) 是偶函数,递减区间是 (??,1) C. f ( x) 是奇函数,递减区间是(-1,1) D. f ( x) 是奇函数,递增区间是 (??, 0) 10. 为提高信息在传输中的抗干扰能力, 通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传 输 信 息 。 设 定 原 信 息 为 a0 a1a2 , 其 中 ai ??0,1 , 传 输 信 息 为 h0 a0 a1a2 h1 , i ? 0,1, 2) ?( 11 8 19 不优秀 34 37 71 B. 0.828 总计 45 45 90 C. 2.712 D.
2

h0 ? a0 ? a1 , h1 ? h0 ? a2 , ? 运算规则为: 0 ? 0 ? 0, 0 ? 1 ? 1,1? 0 ? 1,1? 1? 0.例如原
信息为 111,则传输信息为 01111. 传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错, 则下列信息一定有误的是 A. 11010 B. 01100 C. 10111 D. 00011

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. 若复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则 z ? ___________________. 12. 函数 f ( x ) ?

2x 的值域为_______________. x ?1

13. 若 P ? 7 ?1, Q ? 11 ? 5 , 则 P 与 Q 的大小关系是______________. 14. 已知变量 x, y 具有线性相关关系, 测得 (x, y) 的一组数据如下: (0,1) , (1,2) , (2,4) , (3,5) ,其回归方程为 y ? 1.4 x ? a ,则 a 的值是___________. 15. 已知函数 f ( x) ? ?
? ?
?

?3x, x ? 0, 5 则 f ( ) ? ________________. 6 ? f ( x ? 1), x ? 0,

16. 按下列程序框图运算:若 x=5,则运算进行____________次才停止;若运算进行 3 次

才停止,则 x 的取值范围是_____________.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? loga (1 ? x), a ? 0 ,且 a≠1. (I)求 f ( x) 的定义域; (II)判断 f ( x) 的奇偶性并予以证明. 18. (本小题满分 10 分) 已 知 命 题 p : 方 程 x ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 等 的 正 实 数 根 ; 命 题 q : 方 程
2

“p 且 q”为假命题, 求 m 的取值范围。 4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根.若“p 或 q”为真命题, 19.(本小题满分 10 分) 在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角上切去全等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做 成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时箱子的容积最大?最大容积是多少?

20. (本小题满分 11 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x(a ? R) . (I)若 a=2,求曲线 y ? f ( x) 在 x=1 处切线的斜率; (II)求 f ( x) 的单调区间;

2 ( III ) 设 g ( x) ? x ? 2 x? 2, 若 对 任 意 x1 ? (0, ??) , 均 存 在 x2 ?[0,1] , 使 得

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范围.
21. (本小题满分 11 分) 在无穷数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,对于任意 n ? N ,都有 an ? N ? ,且 an ? an?1 . 设集合
?

Am ? ?n | an ? m, m ? N ? ? ,将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm ,即 bm 是数列 ?an ? 中满
足不等式 an ? m 的所有项的项数的最大值,我们称数列 ?bn ? 为数列 ?an ? 的伴随数列。 例如:数列 ?an ? 是 1,3,4,…,它的伴随数列 ?bn ? 是 1,1,2,3,…. (I)设数列 ?an ? 是 1,4,5,…,请写出 ?an ? 的伴随数列 ?bn ? 的前 5 项; (II)设 an ? 3n?1 (n ? N ?) ,求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bn ? 的前 20 项和。

参考答案
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. D 2. B 3. D 4. A 5. A 6. B 7. C 8. A 9. C 10. C

二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. ?1 ? i 14. 0.9 12. (??, 2) ? (2, ??) 15. ? 13. P>Q 16. 4 (10,28]

1 2

三、解答题(共 5 小题,共 52 分) 17. (本小题满分 10 分) 解: (I) f ( x) ? loga ( x ? 1) ? loga (1 ? x) , 则?

? x ? 1 ? 0, 解得 ?1 ? x ? 1 . ?1 ? x ? 0.

故所求定义域为 ?x | ?1 ? x ? 1? .………………………………5 分 (II)由(I)知 f ( x) 的定义域为 ?x | ?1 ? x ? 1? , 且

f (? x) ? log a (? x ? 1) ? log a (1 ? x) ? ?[log a ( x ? 1) ? log a (1 ? x)] ? ? f ( x)

.

所以 f ( x) 为奇函数.………………………………10 分 18. (本小题满分 10 分) 解:因为命题 p:方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根,
2

设方程的两根为 x1 , x2 ,

??1 ? 0, ? 则 ? x1 ? x2 ? ? m ? 0, ? x x ? 1 ? 0, ? 1 2
所以命题 p: m ? ?2 .…………………………3 分 因为命题 q:方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根,
2

?2 ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0 ,
所以命题 q: ?3 ? m ? ?1 .……………………5 分 若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题, 则 p 真 q 假,则 m ? ?3 ;…………………………7 分 p 假 q 真,则 ?2 ? m ? ?1 .………………………………9 分 综上, m ? ?3 或 ?2 ? m ? ?1 。………………………………10 分 19. (本小题满分 10 分)

解:设箱高为 xcm,箱底边长为(60-2x)cm,则箱子容积 V 关于 x 的函数为

V ( x) ? (60 ? 2x)2 ? x(0 ? x ? 30) .………………………………2 分
因为 V '( x) ? 12x2 ? 480x ? 3600 , 所以令 V '( x) ? 0 ,即 12 x ? 480 x ? 3600 ? 0 .
2

解得 x=10 或 x=30(舍). x=10 是 V(x)唯一的极大值点,也就是最大值点. 所以当 x=10cm 时,箱底的边长为 40cm 时,箱子的容积最大, 最大容积为 V (10) ? 16000cm3 .………………………………10 分 20.(本小题满分 11 分) 解: (I)由已知 f '( x) ? 2 ?

1 ( x ? 0) , x

f '(1) ? 2 ? 1 ? 3 .
故曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率为 3.…………………………3 分 (II) f '( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? ( x ? 0) . x x

①当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0, f '( x) ? 0 , 所以, f ( x) 的单调递增区间为(0,+∞). ②当 a<0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?

1 . a 1 , ??) 上, f '( x) ? 0 , a 1 a

在区间 (0, ? ) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (?

1 a

所 以 , f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0, ? ) ; 单 调 递 减 区 间 为

1 (? , ??) .……………………7 分 a
(III)依题意,问题转化为 f ( x)max ? g ( x)max 时,求 a 的取值范围. 由已知 g ( x)max ? 2 . 由(II)知,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为 R,故不符合题意. 当 a<0 时,f(x)在 (0, ? ) 上单调递增,在 (?

1 a

1 , ??) 上单调递减, a 1 a

故 f(x)的极大值即为最大值, f (? ) ? ?1 ? ln(? ) ? ?1 ? ln(? a) , 所以 ?1 ? ln(?a) ? 2 ,解得 a ? ?

1 a

1 . e3

综上,a 的取值范围为 ( ??, ? 21. (本小题满分 11 分)

1 ) .………………………………11 分 e3

解: (I)1,1,1,2,3.……………………………………3 分 (II)由 an ? 3n?1 ? m ,得 n ? 1 ? log3 m(m ? N ?) …………………………4 分 所以当 1 ? m ? 2 , m ? N ? 时, b1 ? b2 ? 1 …………………………6 分 当 3 ? m ? 8 , m ? N ? 时, b3 ? b4 ? ? ? b8 ? 2 .…………………………8 分 当 9 ? m ? 20 , m ? N ? 时, b9 ? b10 ? ? ? b20 ? 3 .…………………………10 分 所以 b1 ? b2 ? ? ? b20 ? 1? 2 ? 2 ? 6 ? 3?12 ? 50 .………………………………11 分


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