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2017届云南省玉溪第一中学高三上学期期中考试数学(理)试卷 含解析


2016-2017 学年云南省玉溪第一中学高三上学期期中考试数学(理)

一、选择题:共 12 题
1.设集合 = {| = 3 + 2, ∈ }, = {6,8,10,12,14},则集合 ∩ 中的元素个数为

A.5 【答案】D

B.4

C.3

D.2

【解析】本题考查集合的基本运算.由题意得 ∩ = {8,14},其元素个数为 2.选 D.

2.复数 = (2 ? i)(1 + 2i)在复平面内对应的点位于

A.第一象限 【答案】A

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】本题考查复数的概念与运算.由题意得 = (2 ? i)(1 + 2i)=4 + 3i;所以复数在复平面内对应的点 (4,3)位于第一象限.选 A.

3.下列说法错误的是

A.命题“若 = 0,则 = 0”的否命题是:“若 ≠ 0,则 ≠ 0”. B.如果命题“? ”与命题“ ∨ ”都是真命题,则命题一定是真命题. C.若命题:?0 ∈ ,0 2 ? 0 + 1 < 0,则? :? ∈ , 2 ? + 1 ≥ 0. D.“sin = 2”是“ = 6 ”的充分不必要条件. 【答案】D 【解析】本题考查命题及其关系,逻辑联结词,充要条件,全称量词与特称量词.命题“若 = 0,则 = 0”的否 命题是:“若 ≠ 0,则 ≠ 0”正确,排除 A;如果命题“? ”与命题“ ∨ ”都是真命题,则为假命题,是真命 题,排除 B;特称命题的否定为全称命题,排除 C.“sin = 2”是“ = 6 ”的必要不充分条件,D 错误.选 D.
1 π 1 π

2 4.已知函数 () = + 1

cos

> 0,则下列结论正确的是 ≤ 0 B.()的值域为[?1, +∞) D.()是增函数

A.()是偶函数 C.()是周期函数 【答案】B

第1页

2 + 1 > 0, 【解析】本题考分段函数、三角函数的性质.因为() = 所以()不是偶函数,排除 A;不是 cos ≤ 0 周期函数,排除 C;有增有减,排除 D.选 B.

5. 《张丘建算经》是中国古代的数学著作,书中有一道题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第 2 天开始,

每天比前一天多织相同量的布),第一天织 5 尺布,现一月(按 30 天计)共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天 比前一天多织( )尺布. A.2 【答案】D 【解析】本题考查等差数列,数列求和.令等差数列{ }中的1 = 5,公差为;由题意得 = 5 + 390,解得 = 29.即从第 2 天起每天比前一天多织29尺布.选 D. 【备注】等差数列: = 1 + ( ? 1), = 1 +
(?1) 2 16 16 30(30 ?1) 2 1

B.15

8

C.31

16

D.29

16

=



6.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图可能为:

①长、宽不相等的长方形;②正方形;③圆;④椭圆.其中正确的是 A.①② 【答案】C 【解析】本题考查三视图.由题意得其俯视图可能为长、宽不相等的长方形,排除 B,D;不可能为正方形,圆, 排除 A.选 C. B.②③ C.①④ D.③④

7.设函数() = sin(2 + ),则下列结论正确的是
6

π

A.()的图像关于直线 = 3 对称. B.()的图像关于点( 6 , 0)对称. C.()的最小正周期为π,且在[0, 6 ]上为增函数.
第2页
π π

π

D.把()的图像向右平移6 个单位,得到一个奇函数的图像. 【答案】C 【解析】 本题考查三角函数的图像、 性质.( 3 ) = sin( 3 + 6 ) ≠ ±1,排除 A;( 6 ) = sin( 3 + 6 ) ≠ 0,排除 B;() 的最小正周期为π,且在[0, 6 ]上为增函数,C 正确.选 C.
π π 2π π π π π

π

8.函数 =

lg | | 3

的图象大致是

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】本题考查对数函数,函数的图像.因为 = 当 ≥ 1时, ≥ 0,排除 C.选 D.
lg | | 3

,所以 =

lg | | 3

为奇函数,排除 A,B;当0 < < 1时, < 0,

9.曲线 = ?2 + 1在点(0,2)处的切线与直线 = 0和 = 围成的三角形的面积为

A.2 【答案】B

1

B.3

1

C.3

2

D.1

【解析】本题考查导数的几何意义. ′ = ?2 ?2 ,所以切线的斜率 = ?2 0 = ?2;可得切线方程: ? 2 = ?2,即2 + ? 2 = 0;令 = 0,可得 = 1,即(1,0);联立 = 与2 + ? 2 = 0解得 = = 3,即(3 , 3);所 以围成的三角形的面积 = 2 × 1 × 3=3.选 B.
1 2 1 2 2 2

10.等比数列{ }中,公比 = 2,1 + 4 + 7 ? + 97 = 11,则数列{ }的前 99 项的和99 =

A.99 【答案】C

B.88

C.77

D.66

【解析】本题考查等比数列,数列求和.因为等比数列{ }中,公比 = 2,1 + 4 + 7 ? + 97 = 11,所以 2 + 5 + 8 ? + 98 = 11 = 22,3 + 6 + 9 ? + 99 = 22 = 44;所以数列{ }的前 99 项的和 99 = 11 + 22 + 44=77.选 C.
第3页

11.已知tan( + ) = ,且 ∈ (? , 0),则 2 4 2

π

1

π

2sin 2 +sin 2 cos (? ) 5 5
π 4

= D.3
10 10

A.? 3

5

10

B.? 2

5 5

C.2

【答案】B 【解析】本题考查和角、差角公式,二倍角公式.tan( + 4 )=1?tan = 2,解得tan = ? 3;而 ∈ (? 2 , 0),所以 sin = ?
2 2 10 2sin +sin 2 2sin +2sin cos ; cos (?π ) = 2 =2 (sin +cos ) 10 4 2

π

tan +1

1

1

π

2sin=?

2 5 5

.选 B.

12.Δ中,若动点满足2 ? 2 + 2 · = 0,则点的轨迹一定经过Δ的

A.外心 【答案】A

B.内心

C.垂心

D.重心

【解析】本题考查平面向量的数量积、平面向量的线性运算.如图,取的中点 ;2 ? 2 + 2 · =( + ) ·( ? ) + 2 ·=2 · + 2 ·=2 ·( ? )=2 ·=0,即 ⊥ ; 所以为的垂直平分线,即点在的垂直平分线上,即点的轨迹一定经过Δ的外心.选 A.

二、填空题:共 4 题
13.已知向量 = (1,2), = (?1, ),若 ⊥ ,则 =

.

【答案】2 【解析】本题考查平面向量的数量积.因为 ⊥ ,所以 ·=?1 + 2 = 0,解得 = 2.
1

1

? ≤ 0
14.已知实数, 满足条件 + ≥ 0,则2 + 的最小值为

.

≤ 1

【答案】?1 【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域,如图?所示;(1,1),(?1,1),(0,0).当过点时,2 + 取得 最小值?2 + 1 = ?1.
第4页

15.由曲线 = sin, = cos与直线 = 0, = 所围成的平面图像的面积是 2

π

.

【答案】2 2 ? 2 【解析】本题考查定积分. = sin与 = cos相交于点
π 4 π 2 π 4

π 4 π

, 0 ;所以所围成的平面图像的面积 =
π 2 = sin + cos ? cos) π 4 4 π π 4

0

cos ? sin +
π 4 π 4

sin ? cos =(sin + cos)
π 2 π 2

0

4 +(?sin

? (sin0 +

cos0)+ sin + cos

? (sin + cos )=

2 ? 1 ? 1 + 2=2 2 ? 2.

16.设双曲线

2 2

? 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ,过点 与轴垂直的直线 l 交两渐近线于,两点,
2

2

与双曲线的其中一个交点为,设坐标原点为,若 = + (, ∈ ),且 = 9,则该双曲线 的离心率为 【答案】
3 2 4 c c c c

.

【解析】 本题考查双曲线的标准方程与几何性质.由题意得(, ),(, ? ),所以 = (, ), = (, ? ), 所以 = + =(( + ), ( ? ) );即(( + ), ( ? ) ),而在双曲线上,代入 2 ? 2 = 1
3 2 . 可得4 2 = 1;而 = 9,解得 2 = 8,即双曲线的离心率 = 4 2 9 c c 2 2

三、解答题:共 7 题
17.如图,在Δ中,点在边上,且
1 3

= .记∠ = ,∠ = .

第5页

(1)求证: = ; 3sin (2)若 = 6 , = 2 , = 19,求的长. 【答案】(1)在Δ中,由正弦定理有 sin∠ = sin ; 在Δ中,由正弦定理有sin∠ = sin ; 因为∠ + ∠ = π,所以 sin∠ = sin∠ ; 因为 = 3,所以 = 3sin . (2)因为 = 6 , = 2 ,由(1)得 =
π π
π 2 π 3sin 6



sin

π

π











1



sin

sin

=3

2

设 = 2, = 3, > 0,由余弦定理,2 = 2 + 2 ? 2 · ·cos∠, 代入得到19 = 4 2 + 9 2 ? 2 × 2 × 3cos 所以 = 3. 【解析】本题考查正余弦定理.(1)由正弦定理:在Δ中sin∠ = sin ,在Δ中sin∠ = sin ,而 ∠ + ∠ = π,所以 sin∠ = sin∠ ,所以
2π 3

,13 2 + 6 ? 19 = 0,解得 = 1(舍负);

=

sin 3sin

.(2)由(1)得 = 3,由余弦定理求得 = 3.



2

18.某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况.从全体学生中,随机抽取 12 名进行体质健康测

试,测试成绩(百分制)以茎叶图形式表示如下:

根据学生体质健康标准,成绩不低于 76 分为优良. (1)写出这组数据的众数和中位数; (2)将频率视为概率. 根据样本估计总体的思想, 在该校学生中任选 3 人进行体质健康测试, 记 表示成绩“优 良”的学生人数,求 的分布列及数学期望. 【答案】(1)这组数据的众数为 87,中位数为 84;
第6页

(2)抽取的 12 人中成绩是“优良”的频率为 , 4 故从该校学生中任选 1 人,成绩是“优良”的概率为4, ? (3, 4);
( = ) = 3 ( ) ( )3? ( = 0,1,2,3); 4 4 3 1 3 3

3

所以 的分布列为

= 3 × = .
4 4

3

9

【解析】本题考查茎叶图,众数和中位数,随机变量的分布列、数学期望.(1)众数为 87,中位数为 84;
(2) ? (3, 4),( = ) = 3 (4) (4)3? ,列出 的分布列及 = 4. 3 3 1 9

19.如图,在正三棱柱 ? 1 1 1 中,点是棱的中点, = 2, 1 = 2 3.

(1)求证:1 //平面1 ; (2)求二面角 ? 1 ? 的平面角的正弦值. 【答案】(1)证明:连结1 交1 于点 ,连结 . 在正三棱柱 ? 1 1 1 中,四边形1 1 是平行四边形,∴ = 1 . ∵ = ,∴ ∥1 . ∵ ?平面1 ,1 ?平面1 ,∴1 ∥平面1 C. (2)过点作 ⊥ 交于,过点作 ⊥ 交1 1 于 . 因为平面 ⊥平面1 1 ,所以 ⊥平面1 1 . 分别以, , 所在的直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系; 因为 = 2, 1 = 2 3,Δ是等边三角形,所以为的中点. 则(0,0,0),(0,0, 3), (?1,0,0),1 (0,2 3, 3),( , 0, 2 设平面1 的法向量为 = (, , ),则 ? = 0 ; ? 1 = 0
1 3 2

),

第7页

∵ = ( , 0,
2

3

),1 = (?1, ?2 3, ? 3),∴ 2

3

3 2

; ? ? 2 3 ? 3 = 0
2

+

3

= 0

取 = 3,得平面1 的一个法向量为 = ( 3, 1, ?3). 同理可求平面1 的一个法向量为 = ( 3, 0, ?1). 设二面角 ? 1 ? 的大小为,则cos = |cos < , > | = ∵ ∈ (0, π),∴ sin =
2 13 13 6 13×2

=

3 13 13

.

.

【解析】本题考查线面平行与垂直,空间向量的应用.(1)证得 ∥1 ,∴1 ∥平面1 .(2)先证得 ⊥平 面1 1 .建立恰当的空间直角坐标系;求得平面1 的一个法向量 = ( 3, 1, ?3).面1 的一个法向量 = ( 3, 0, ?1).cos = |cos < , > | =
3 13 13

.∴ sin = 2 13 . 13

20.已知椭圆 :

2 2

+ 2 = 1( > > 0)的离心率为 ,1 , 2 为椭圆的两个焦点,点在椭圆上且
2

2

3

1 2 的周长为 4 + 2 3.过点(0,3)的直线与椭圆 相交于, 两点. (1)求椭圆 的方程; (2)若以为直径的圆恰好经过椭圆 的右顶点,求此时直线的方程. 【答案】(1)由题意得 =
3 2 2 4

且 2 + 2 = 4 + 2 3,解得 = 2, = 3,所以2 = 2 ? 2 = 1; = 1.

所以椭圆 的方程为 2 +

(2)由 1 知 1,0 且根据题意知 ? = 0 当斜率不存在时,(0,2), (0, ? 2), ∴ = (?1,2), = (?1, ? 2) ∴ ? = ?3 ≠ 0,不符合条件; 当斜率存在时,设方程为 = + 3,(1 , 1 ), (2 , 2 ); 则 = (1 ? 1, 1 ), = (2 ? 1, 2 ); 联立 = + 3 和 2 +
2 4

= 1,可得(4 + 2 ) 2 + 6 + 5 = 0;
6k 4+ 2

由 = 16 2 ? 80 > 0得 2 > 5;1 + 2 = ?

,1 2 = 4+ 2 ;
36 ?4 2 4+ 2

5

所以1 2 =(1 + 3)(2 + 3)= 2 1 2 + 3(1 + 2 ) + 9= 所以 ? =1 2 ? (1 + 2 ) + 1 + 1 2 =
?3 2 +6 +45 4+ 2



=0,解得 = ?3 或 = 5;

所以直线的方程为 = ?3 + 3 或 = 5 + 3.

第8页

【解析】 本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)由题意解得 = 2, = 3,2 = 2 ? 2 = 1;所以椭圆 为 2 +
2 4

= 1.(2)由 1 知 ? = 0;当斜率不存在时, 不符合条件;当斜率存在时,设

方程为 = + 3,联立方程,套用根与系数的关系得 = ?3 或 = 5;所以直线的方程为 = ?3 + 3 或 = 5 + 3.

21.已知函数() = ln ? ? 3( ≠ 0).

(1)讨论()的单调性; (2)若() + ( + 1) + 4 ? ≤ 0对任意 ∈ [, 2 ]恒成立,求实数的取值范围(为自然常数); (3)求证:ln(22 + 1) + ln(32 + 1) + ln(4 2 + 1)+. . . +ln( 2 + 1) < 1 ( ≥ 2, ∈ ? ). 【答案】(1)函数的定义域为(0, +∞), ′ () =
(1? ) 1 1 1 1

,

当 > 0时,()的单调增区间为(0,1],单调减区间为[1, +∞); 当 < 0时,()的单调增区间为[1, +∞),单调减区间为(0,1]; (2)令() = ln ? ? 3 + ( + 1) + 4 ? e = ln + + 1 ? e, 则 ′ () =
+

,令 ′ () =

+

= 0,则 = ?

(a)若? ≤ e,即 ≥ ?e则 ()在[e, e2 ]是增函数, ()max = (e2 ) = 2 + e2 + 1 ? e ≤ 0 ≤
e ?e 2 ?1 2

,无解.

(b)若? ≥ e2 即 ≤ ?e2 ,则 ()在[e, e2 ]是减函数, ()max = (e) = + 1 ≤ 0 ≤ ?1,所以 ≤ ?e2 ; (c)若e < ? < e2 ,即?e2 < < ?, ()在[e, ?]是减函数, 在[?, e2 ]是增函数, (e2 ) = 2 + e2 + 1 ? e ≤ 0可得 ≤ 所以?e2 ≤ ≤ 综上所述 ≤
e ?e 2 ?1 2 e ?e 2 ?1 2

, (e) = + 1 ≤ 0可得 ≤ ?1

;

e ?e 2 ?1 2

(3)令 = ?1(或 = 1)此时() = ?ln + ? 3,所以(1) = ?2, 由(1)知() = ?ln + ? 3在[1, +∞)上单调递增, ∴当 ∈ (1, +∞)时,() > (1)即?ln + ? 1 > 0,∴ln < ? 1对一切 ∈ (1, +∞)成立, ∵ ≥ 2, ∈ ? ,则有ln( 2 + 1) < 2 < (?1) = ?1 ? , 所以ln
1 22 1 1 1 1 1 1

+ 1 + ln
1 1

1 32 1

+ 1 + ln
1

1 42 1

+ 1 + ? + ln
1 1

1 2

+1

< (1 ? 2) + (2 ? 3) + (3 ? 4)+. . . (?1 ? ) = 1 ? < 1.
第9页

【解析】 本题考查导数在研究函数、 不等式中的应用.(1)求导,分类讨论得()的单调区间.(2)构造函数,求导, 分类讨论得 ≤
e ?e 2 ?1 2

;(3)由(1)知() = ?ln + ? 3在[1, +∞)上单调递增,∴() > (1),∴ln < ? 1
1 1 1 1 1 1 22

对一切 ∈ (1, +∞)成立,则有ln( 2 + 1) < 2 < (?1) = ?1 ? ,累加得ln ln
1 42

+ 1 + ln

1 32

+1 +

+ 1 + ? + ln

1 2

+ 1 < 1 ? < 1.

1

22.在平面直角坐标系中,曲线 的参数方程

= 1 + cos (为参数).以为极点,轴的非负半轴为 = sin

极轴建立极坐标系. (1)求曲线 的极坐标方程; (2)若直线的极坐标方程是2sin( + 3 ) = 3 3, 射线: = 3 与曲线 的交点为, , 与直线的交点为, 求线段的长. 【答案】(1)曲线 的普通方程为( ? 1)2 + 2 = 1,极坐标方程为 = 2cos; (2)设(1 , 1 ),则有 = 2cos π π ,解得1 = 1, 1 = ; 3 =
3 π π π

2sin( + ) = 3 3 π 3 设(2 , 2 ),则有 ,解得2 = 3, 2 = 3 ; π = 3 所以|| = 2. 【解析】本题考查极坐标,曲线的参数方程,直线的极坐标方程.(1)削去参数得:曲线 :( ? 1)2 + 2 = 1,极坐 标方程为 = 2cos;(2)联立方程解得1 = 1, 1 = 3 ,2 = 3, 2 = 3 ;所以|| = 2.
π π

23.已知函数() = | ? 2|.

(1)解不等式:() + ( + 1) ≤ 2 (2)若 < 0,求证:() ? (2) ≥ () 【答案】(1) + + 1 = ? 1 + | ? 2|, 当 x≤1 时,原不式等价于-2x+3≤2,即2 ≤ ≤ 1; 当1 < ≤ 2时,原不式等价于 1≤2,即1 < ≤ 2; 当 x>2 时,原不式等价于 2x-3≤2,即2 < ≤ 2; 原不等式的解集为
1 2 5 1

≤ ≤ 2 .

5

(2)因为 < 0,所以 ? = ? 2 ? ? 2 = ? 2 + ? 2
第 10 页

≥ |( ? 2) ? ( ? 2)| = |2 ? 2| = (2); 所以() ? (2) ≥ ()成立. 【解析】本题考查绝对值不等式.(1)分段求解得原不等式的解集为 意义可得 ? ≥ (2),所以() ? (2) ≥ ()成立.
1 2

≤ ≤ 2 .(2)由绝对值不等式的几何

5

第 11 页


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