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2014成都树德中学高三3月阶段性考试文


成都树德中学高三 3 月阶段性考试 数学试题(文科)
一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1.在复平面内,复数 A.第一象限
2

? 2 ? 3i ( i 是虚数单位)所对应的点位于( 3 ? 4i
B.第二象限 C.第三象限
<

br />)

2.设集合 M ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? x 2 x ? 2 ,则 M ? CR N 等于( A. ?? 1,1? 3. 已知 sin 2? ? B. (?1,0) C. ?1,3? D. (0,1)

?

?

D.第四象限 )

1 ? ,则 cos 2 (? ? ) ? ( ) 3 4 1 2 1 2 A. ? B. ? C. D. 3 3 3 3 4. 在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个三等 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ? ( ) 9 9 A.0 B. C. ? D.4 4 4 a S 9 5.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 6 ? ,则 11 =( ) S9 a5 11
A.1 B.-1 C.2 D.

1 2

6.已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图面 积为( ) A.

3 2

B.

3 4

C. 1

D.

1 2
俯视图

7. 若方程 x3 ? 3x ? m ? 0 在 [0, 2] 上有解,则实数 m 的取值范围是( A. [?2,2]
2

)

B. [0, 2]

C. [?2,0]

D. (??, ?2) ∪ (2, ??) )

8.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线 A. ?2 B. 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 2 2
C. 4 ) D. ?4

2 9. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2ax ? b ( x ? R ),则(

A. f ( x) 必是偶函数

B.当 f (0) ? f (2) 时, f ( x) 的图象必须关于 x ? 1 直

线对称; C. f ( x) 有最大值 a 2 ? b D. 若 a 2 ? b ? 0 ,则 f ( x) 在区间 ?a,??? 上是增函数;

10. D 是 ?ABC 边 BC 延长线上一点,记 AD ? ? AB ? (1 ? ? ) AC . 若关于 x 的方程

????

??? ?

????

2sin 2 x ? (? ? 1)sin x ? 1 ? 0 在 [0, 2? ) 上恰有两解,则实数 ? 的取值范围是
A. ? ? ?2 C. ? ? ?2 2 ? 1 B.

( )

? ? ?2 或 ? ? ?2 2 ? 1
D. ? ? ?4 或 ? ? ?2 2 ? 1

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡中的横线上.) 11. 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出 n 的值为 . 12. 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如下 图所示,时速在 ? 50, 60 ? 的汽车大约有______辆. S N M A B
第 13 题
0.04 0.03 0.02 0.01 40 50 60 70 80 时速 频率 组距

开始

n ? 1, S ? 0

C

3 S? ? 7




13. 如图,三棱锥 S-ABC 中,SA=AB=AC=2,

第 12 题

输出 n

S?S?

1 n(n ? 2)

?ASB ? ?BSC ? ?CSA ? 30? ,
M、N 分别为 SB、SC 上的点, 则△AMN 周长最小值为 .

结束

n ? n?2
(11 题)

?(2 ? 3) x ? y ? 6 ? 2 3 ? 0 ? xy 14.实数 x,y 满足 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 ,则 的取值范围是______. ( x ? y )( x ? y ) ? ? y? 3?0
15.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,若存在常数 M ? 0 ,使 | f ( x) |? M | x | 对一切实数 x 均成立,则称为“有界泛函”.现在给出如下 5 个函数:

x ; ③ f ( x) ? sin x ; ④ y ? x cos x ; x ? x ?1 ⑤ f ( x) 是 R 上的奇函数,且满足对一切 x1 , x2 ? R ,均有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | .
① f ( x) ? x ;
2

② f ( x) ?

2

其中属于“有界泛函”的函数是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?log 2 (an ? 1)? (n ? N ? ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明

1 1 1 ? ?…? ?1 . a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an


17.(本小题满分 12 分) 如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB 的大小等于

? ,半径为 2,在半 3

径 OA 上有一动点 C,过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P. (1)若 C 是半径 OA 的中点,求线段 PC 的长; (2)设 ?COP ? ? ,求 ?POC 面积的最大值及此时 ? 的值. ▲ 18.(本小题满分 12 分) 城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费;若太少又难以满足乘客需求.某市公 交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人, 将他们的候车时间作为样本分成 5 组,如下表所示(单位:分钟) : 组别 一 二 三 四 五 候车时间 人数 2 6 4 2 1

[0,5) [5,10) [10,15)

[15, 20)

[20, 25]

(1)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (2)若从上表第三、四组的 6 人中任选 2 人作进一步的调查,求抽到的两人恰好来自不 同组的概率. ▲ 19. (本题满分 12 分) 如图,已知平面四边形 ABCP 中, D 为 PA 的中点, PA ? AB , CD / / AB , 且 PA ? CD ? 2 AB ? 4 .将此平面四边形 ABCP 沿 CD 折成直二面角 P ? DC ? B , 连接 PA、PB ,设 PB 中点为 E . (I)证明:平面 PBD ? 平面 PBC ; (II) 在线段 BD 上是否存在一点 F , 使得 EF ? 平面 PBC ?若存在, 请确定点 F 的位置; 若不存在,请说明理由. (III)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.

P

P
C

D

E
D
C

A

B

A

B

▲ 20. (本小题满分 13 分)椭圆 C 的两焦点坐标分别为 F1 (?5 3, 0) 和 F1 (5 3, 0) ,且椭圆经 过点 P (?5 3, ? ) . (I)求椭圆 C 的方程; (II)过点 Q(?6, 0) 作直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两点(直线 l 不与 x 轴重合) , A 为椭圆的左 顶点,试证明: ?MAN ? 90? . ▲ 21. (本小题满分 14 分)

5 2

?? x 3 ? x 2 ? bx ? c, x ? 1 f ( x ) ? 已知函数 的图像过坐标原点 O ,且在点 (?1, f (?1)) ? a ln x , x ? 1 ?
处的切线斜率为 ?5 . (1) 求实数 b , c 的值; (2) 求函数 f ( x) 在区间 [?1,1] 上的最小值; (3) 若函数 y ? f ( x) 的图像上存在两点 P, Q ,使得对于任意给定的正实数 a 都满足 且三角形斜边中点在 y 轴上, 求点 P 的 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, 横坐标的取值范围.

成都树德中学高三 3 月阶段性考试答案
一、1—5 B C D D A 二、11. 7 12. 60 6—10 B A C D D 13. 2 2 14.

? 3 ? ,?? ? ? ? ? 2 ?

15. ②③④⑤

前四个结合定义及函数解析式或图象特征易判断之;对于⑤,令 x1 ? 0 ,则 f (0) ? 0 , 已知式化为了 | f ( x2 ) |?| x2 | ,显然也符合定义 三、解答题 16.解析: (1)设等差数列的公差为 d,由 a1 ? 3, a3 ? 9 得

2(log 2 2 ? d ) ? log 2 2 ? log 2 8 即 d=1;
n

…………3 分

17.解析:(1)在 ?POC 中, ?OCP ?

2? , OP ? 2, OC ? 1 ,由 3 2? OP 2 ? OC 2 ? PC 2 ? 2OC ? PC c o s ? PC 2 ? PC ? 3 ? 0 3 ? 1 ? 13 ? PC ? · · · · · · · · · · · · · · 5分 2
(2) CP 平行于 OB ? ?CPO ? ?POB ? 在 ?POC 中 , 由 正 弦 定 理 得

所以 log2 (an ? 1) ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n 即 an ? 2 ? 1 . …………6 分 1 1 1 (2)证明: ………8 分 ? n ?1 ? n n a n ?1 ? a n 2 ?2 2 1 1 1 ? n? 1 1 1 1 1 1 1 ? ?…? ? 1 ? 2 ? 3 … ? n ? 2 2 2 ? 1 ? 1n ? 1 …12 分 1 a2 ? a 1 a 3 ?a 2 an ?1 ? an 2 2 2 2 2 1? 2

?

3

??

OP CP , 即 ? s i? nPCD s i?n

2 CP ? 2? s i?n s i n 3

? CP ?

s in ?, 3 OC OP 4 ? ? 又 , OC ? · · · · · · · · · · · · · 8分 sin( ? ? ) . · ? 2? 3 3 sin( ? ? ) sin 3 3 1 2? 记 ?POC 的面积为 S (? ) ,则 S (? ) ? CP ? OC sin 2 3 1 3 4 4 ? ? ? ? s in ?? s i n ( ??) 2 2 3 3 3

4

?

4

? 3 3 s in ? s i n ( ??) ? s i n 2? ? co2 s? ? 3 3 3 3
2 3 ? 3 , · · · · · · · · · · · · · 10 分 sin(2? ? ) ? 3 6 3 3 ? . · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ?当 ? ? 时, S (? ) 取得最大值 3 6
=

18.解:(1)候车时间少于 10 分钟的概率为 所以候车时间少于 10 分钟的人数为 60 ?

2?6 8 ? , 15 15

………………4 分 ………………………6 分

8 ? 32 人. 15

(2) 将第三组乘客编号为 a1 , a2 , a3 , a4 , 第四组乘客编号为 b1 , b2 . 从 6 人中任选两人有包 含 以下基本事件:(a1 , a2 ), (a1 , a3 ), (a1 , a4 ), ( a1 , b1 ), ( a1 , b2 ) ,(a2 , a3 ), (a2 , a4 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ) ,

(a3 , a4 ), (a3 , b1 ), (a3 , b2 ) , (a4 , b1 ), (a4 , b2 ) , (b1 , b2 ) , 共 15 个基本事件 ………………10 分

8 . …………12 分 15 19.解: (I)直二面角 P ? DC ? B 的平面角为 ?PDA ? 90? ,又 PD ? DC , 则 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BC . 又在平面四边形 ABCP 中,由已知数据易得 BD ? BC ,而 PD ? BD ? D , 故 BC ? 平面 PBD ,因为 BC ? 平面 PBC ,所以平面 PBD ? 平面 PBC ……(4 分) (II)解法一:由(I)的分析易知, PD ? DA, PD ? DC, DC ? DA ,则以 D 为原点建立 空间直角坐标系如图所示. 结合已知数据可得 A(2, 0, 0) , B(2, 2,0) , C (0, 4,0) ,P(0, 0, 2) , z 则 PB 中点 E (1,1,1) , P ? F ?平面 ABCD ,故可设 F ( x, y,0) , ??? ? 则 EF ? ( x ? 1, y ? 1, ?1) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? E ? EF ? 平面 ABCD ,? EF ? PB ? 0, EF ? PC ? 0 ??? ? ??? ? C D y 又 PB ? (2, 2, ?2), PC ? (0, 4, ?2) , A 1 1 1 B 由此解得 x ? y ? ,即 F ( , , 0) x 2 2 2 易知这样的点 F 存在,且为线段 BD 上靠近点 D 的一个四等分点…………..(8 分)
其中两人恰好来自不同组包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 解法二: (略解)如右图所示, 在 ?PBD 中作 EF ? PB ,交 BD 于 F , 因为平面 PBD ? 平面 PBC ,则有 EF ? 平面 PBC . 在 Rt ?PBD 中,结合已知数据,利用三角形相似 等知识可以求得 BF ?
P
H E D
A

3 3 2 ? BD , 2 4 故知所求点 F 存在,且为线段 BD 上靠近点 D 的一个

C

F

四等分点.……..(8 分)

B

??? ? 1 1 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? EF ? AB 6 6 ? ??? ? ? ??? ? ? 则得 cos ? EF , AB ?? ??? ,所以 ? EF , AB ?? ? ? arccos , 6 6 | EF || AB | ??? ? ??? ? 6 记直线 AB 与平面 PBC 所成角为 ? ,则知 sin ? ?| cos ? EF , AB ?|? , 6 6 故所求角的正弦值为 ……..(12 分) 6

(III)解法一:由(II) EF ? (? , ? , ?1) 是平面 PBC 的一个法向量,又 AB ? (0, 2, 0) ,

??? ?

解法二: (略解)如上图中,因为 AB / /CD ,所以直线 AB 与平面 PBC 所成角等于直 线 CD 与平面 PBC 所成角, 由此,在 Rt ?PBD 中作 DH ? PB 于 H ,易证 DH ? 平面 PBC , 连接 CH ,则 ?DCH 为直线 CD 与平面 PBC 所成角,

6 6 ,故所求角的正弦值为 ……..(12 分) 6 6 x2 y 2 20.解: (I)法一:由题意,设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b 75 1 25 2 2 由已知则有 c 2 ? a 2 ? b2 ? 75 , 2 ? 2 ? ? 1 ,联立解得 a ? 100, b ? 25 , a b 4
结合题目数据可求得 sin ?DCH ?

法二:由 2a ?| PF1 | ? | PF2 | 结合距离公式直接求出 a ? 10 ,结合 c ? 5 3 ,求出 b ? 5

b2 5 ? ,再结合 c ? 5 3 ,求出 a ? 10 和 b ? 5 a 2 x2 y 2 故所求椭圆方程为 ? ? 1 ……………………..(4 分) 100 25 (II)设直线 MN 的方程为: x ? my ? 6
法三:利用通径长公式可得

? x 2 ? 4 y 2 ? 100 2 2 由? 得: (m ? 4) y ? 12my ? 64 ? 0 , ? x ? my ? 6 因为点 (?6,0) 在椭圆内部,直线必与椭圆相交于两点,即 ? ? 0 恒成立 12m ?64 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 2 , ………..(8 分) , y1 ? y2 ? 2 m ? 4 m ? 4 ???? ? ???? 法一:则 AM ? AN ? ( x1 ? 10, y1 ) ? ( x2 ? 10, y2 ) ? (my1 ? 4, y1 ) ? (my2 ? 4, y2 )
? (m2 ? 1) y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16 ???? ? ???? 12m ?64 将 y1 ? y2 ? 2 代入上式整理可得 AM ? AN ? 0 , y1 ? y2 ? 2 m ?4 m ?4

??MAN ?

?

2 法二:设弦 MN 的中点 R( x0 , y0 ) ,则 y ? y2 6m ?24 , x0 ? my0 ? 6 ? 2 y0 ? 1 ? 2 2 m ?4 m ?4 4 100m ? 356m2 ? 162 2 2 2 所以 | AR | ? ( x0 ? 10) ? y0 ? ??? ? (m2 ? 4)2
而由弦长公式得

,则 ?MAN 的大小必为定值

? …………………..(12 分) 2

400m4 ? 4 ? 356m2 ? 4 ? 256 (m2 ? 4) 2 2 2 由此则有 | MN | ? 4 | AR | ,即 | MN |? 2 | AR | ? 则知 A 点在以线段 MN 为直径的圆上,故 ?MAN ? ,命题得证 2 21.解: (1)当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x3 ? x 2 ? bx ? c ,? f ?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? b | MN |2 ? (1 ? m2 )[( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? ??? ?
依题意 f ?(?1) ? ?5 , ?3(?1) ? 2(?1) ? b ? ?5,? b ? 0 又 f (0) ? 0,? c ? 0 故 b ? 0, c ? 0 ...............3 分
2

(2)当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x ? x , f ?( x) ? ?3x ? 2 x
3 2 2

令 f ?( x) ? 0, 有 x1 ? 0, x2 ?

2 2 ,故 f ( x) 在 ( ?1, 0) 单调递减;在 (0, ) 单调递增; 3 3

在 ( ,1) 单调递减.又 f (0) ? 0, f (1) ? 0 , 所以当 x ? [?1,1] 时, f ( x) min ? f (0) ? 0 ……………………6 分

2 3

(3)设 P( x1 , f ( x1 )) ,因为 PQ 中点在 y 轴上,所以 Q(? x1 , f (? x1 ))

f ( x1 ) f (? x1 ) ? ? ?1 ① x1 ? x1 (ⅰ)当 x1 ? 1 时, f ( x1 ) ? 0 ,当 x1 ? ?1 时, f (? x1 ) ? 0 .故①不成立……7 分
又? OP ? OQ,?

(ⅱ)当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x1 ) ? ? x13 ? x12 , f (? x1 ) ? x13 ? x12 代人①得:

? x13 ? x12 x13 ? x12 ? ? ?1,? (? x13 ? x12 )( x13 ? x12 ) ? x12 , x1 ? x1
? x14 ? x12 ? 1 ? 0 无解
………8 分 (ⅲ)当 x1 ? 1 时, f ( x1 ) ? a ln x1 , f (? x1 ) ? x13 ? x12 代人①得:

a ln x1 x13 ? x12 1 ? ? ?1 ? ? ( x1 ? 1) ln x1 x1 ? x1 a
设 g ( x1 ) ? ( x1 ? 1) ln x1 ( x1 ? 1) ? g ?( x1 ) ? ln x1 ?



x1 ? 1 则 g ( x1 ) 是增函数. ?0, x1

? g( 1 ) ? ? 0 , g 1x( 的值域是 ) (0, ??) .………………………………………10 分 所以对于任意给定的正实数 a ,②恒有解,故满足条件. 3 2 (ⅳ)由 P, Q 横坐标的对称性同理可得,当 x1 ? ?1 时, f ( x1 ) ? ? x1 ? x1 f (? x1 ) ? a ln(? x1 ) ,代人①得:

a ln(? x1 ) ? x13 ? x12 1 ? ? ?1 ? ? (? x1 ? 1) ln(? x1 ) ③ ? x1 x1 a 设 h( x1 ) ? (? x1 ? 1) ln(? x1 )( x1 ? ?1) ,令 t ? ?x ,则 ? (t) ? (t ?1)ln t, t ?1 由上面知 ? (t ) 的值域是 (0, ??) ? h( x1 ) 的值域为 (0, ??) . 所以对于任意给定的正实数 a ,③恒有解,故满足条件。………………12 分 综上所述,满足条件的点 P 的横坐标的取值范围为 (??, ?1) ? (1, ??) ..........14 分


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