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山东省潍坊市2014-2015学年高二数学第二学期期末考试试题 理


山东省潍坊市 2014-2015 学年高二数学第二学期期末考试试题 理
本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮 擦干净后,再改涂在其它答案标号. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数 z ?

3?i 等于 1? i A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i

2. A ? x x ? 1 ? 1, x ? R , B ? x log 2 x ? 1, x ? R ,则“ x ? A ”是“ x ? B ”的 A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

?

?

?

C. 2 ? i

?

D. 2 ? i

3.类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是 ①平行于同一直线的两条直线平行; ②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直,则必与另一条垂直; ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交,则必与另一条相交. A.①②③ B.①③ C.① D.②③

4.从字母 a,b,c,d,e,f 中选出 4 个数排成一列,其中一定要选出 a 和 b,并且必须相 邻(a 在 b 的前面),共有排列方法 A.36 种 B.72 种 C.90 种 D.144 种

2 2 5.已知命题 p :若 x ? y ,则 ? x ? ? y ;命题 q :若 x ? y ,则 x ? y ;在下列命题中:

(1) p ? q;(2) p ? q;(3) p ? (?q);(4)(?p) ? q ,真命题是
A. (1) (3) B. (1) (4) C. (2) (3) D. (2) (4)

6.下列推理过程是演绎推理的是 A.由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B.某校高二 1 班有 55 人,2 班有 52 人,由此得高二所有班人数都超过 50 人 C.两条直线平行,同位角相等;若 ?A 与 ?B 是两条平行直线的同位角,则 ?A ? ?B D.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ? 2an ?1 ? 1(n ? 2) ,由此归纳出 {an } 的通项公式 7.函数 y=ax -x 在(-∞,+∞)上的减区间是[-1,1],则 1 A.a= 3 B.a=1 C.a=2 D.a≤0
1
3

8.某 12 人的兴趣小组中,有 5 名“三好生”,现从小组中任意选 6 人参加竞赛,用 ξ 表 C5C7 示这 6 人中“三好生”的人数,则下列概率中等于 6 的是 C12 A.P(ξ =2) B.P(ξ =3) C.P(ξ ≤2) D.P(ξ ≤3)
3 3

9.若 (1 ? 2x)2015 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? ... ? a2015 x2015 ( x ? R), 则?

a a a1 a2 a3 ? 2 ? 3 ? ... ? 2014 ? 2015 的值为 2014 2 2 2 2 2 2015
B. ?1 C.1 D. 2

A. ?2

10.已知定义在实数集 R 的函数 f ( x ) 满足 f (1)=4,且 f ( x ) 导函数 f ?( x) ? 3 ,则不等式

f (ln x) ? 3ln x ? 1的解集为
A. (1, ??) B. (e, ??) 第Ⅱ卷 C. (0,1) D. (0, e)

(非选择题 共 100 分)

注意事项: 1. 第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题 2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2, σ ), P(ξ ≤3)=0.841 3, 则 P(ξ ≤1)=________.
2

?2 x ? y ? 40 ? x ? 2 y ? 50 ? 12.设动点 P ( x, y ) 满足 ? ,则 z ? 5 x ? 2 y 的最大值是 x ? 0 ? ? ?y ? 0

.

13.已知函数 f(x)=x +ax +bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与直线 y=0 在原点处相切, 此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 的值为________. 27 , 则a 4

3

2

14.荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去 (每次跳跃 时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的 概率的两倍,如图所示,假设现在青蛙在 A 叶上,则跳三次之后停在 A 叶 上的概率是________.

? ? , 0 ) 15. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 当 x?(

时 f ( x) ? xf '( x) ? 0 恒成立, 若 a ? 3 f (3) ,

2

b ? (log? e) f (log? e) , c ? ?2 f ? ?2? ,则 a, b, c 的大小关系为___

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 命题 p :关于 x 的不等式 x +2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立, q :函数 f(x)=(3-2a) 是增函数.若 p ? q 为真, p ? q 为假.求实数 a 的取值范围. 17. (本小题满分 12 分)已知复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 4 . (Ⅰ)若 z ? az ? b ? 3 ? 3i ,求实数 a , b 的值;
2
2

x

(Ⅱ)解不等式 f ( x ) ? 18. (本小题满分 12 分) 观察下列等式

b . 2

1?1 2?3? 4 ? 9 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 25 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 49

第一个式子 第二个式子 第三个式子 第四个式子

照此规律下去 (Ⅰ)写出第 5 个等式; (Ⅱ)你能做出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明猜想.

19. (本小题满分 12 分) 如图所示, 一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的厚度 d 的平方和宽度 a 的乘积 成正比,与它的长度 l 的平方成反比. (Ⅰ)在 a>d>0 的条件下,将此枕木翻转 90°(即宽度变为了厚度) ,枕木的安全负 荷会发生变化吗?变大还是变小? (Ⅱ)现有一根横截面为半圆(半圆的半径为 R= 3 )的柱形木材,用它截取成横截面 为长方形的枕木,其长度即为枕木规定的长度 l,问横截面如何截取,可使安全负荷最大?

20. (本小题满分 13 分) 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要 么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分, 出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得-200 分).设每次击鼓出现

3

音乐的概率为

1 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. 2

(Ⅰ)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列和数学期望 E ( x ) . (Ⅱ)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a( x ?1)2 ? ln x, a ? R . (Ⅰ)当 a ? ?

1 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; 4

(Ⅱ) a ?

1 1 时,令 h( x ) ? f ( x ) ? 3ln x ? x ? ,求 h( x) 在 ?1,e? 的最大值和最小值; 2 2

(Ⅲ)当 x ? ?1,?? ? 时,函数 域内,求实数 a 的取值范围.

y ? f ( x ) 图像上的点都在不等式组 ?

? x?1, 所表示的区 ? y? x?1

2014-2015 学 年 第 四 学 段 模 块 监 测 高二理科数学试题参考答案 一、选择题 CBAAC,CABBD 二、填空题 11. 0.1587 12.100
2

13.

-3

14.

1 3

15.a>c>b

三、16. 解 :设 g(x)=x +2ax+4, 由于关于 x 的不等式 x +2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,所以函数 g(x)的图像开口向上 且与 x 轴没有交点, 故 Δ =4a -16<0,∴-2<a<2.
x
2 2

????2 分

又∵函数 f(x)=(3-2a) 是增函数, ∴3-2a>1,∴a<1. ????4 分 又由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假.????5 分 (1)若 p 真 q 假,则 ?

??2 ? a ? 2 ?a ? 1

∴1 ? a<2;????8 分 (2)若 p 假 q 真,则 ?

?a ? ?2或a ? 2 ?a ? 1

∴ a ? ?2 . ???11 分 综上可知,所求实数 a 的取值范围为 1 ? a<2,或 a ? -2????12 分 17. 解: (Ⅰ) z 2 ? ?1 ? i ? ? ?2i ,
2

???????????? 1 分
4

由 z 2 ? az ? b ? 3 ? 3i 得 ?2i ? a ?1 ? i ? ? b ? 3 ? 3i ,???????? 2 分
? a?b ? 3 ,解得 a ? ?1, b ? 4 ; ? a ? 2 ? ?3

即 ? a ? b ? ? ? a ? 2? i ? 3 ? 3i ,所以 ?

??6 分

(Ⅱ)由(1)知, b ? 4 .所以 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 4 ? 2 ???????? 7 分

令 y ? 2x ?1 ? x ? 4 ,则

y

1 ? x≤? , ? ? x ? 5, 2 ? 1 ? y ? ?3 x ? 3, ? ? x ? 4, ???? 10 分 2 ? ? x ? 5, x ≥ 4. ? ?

y?2

O 1 ? 2

4

x

作出函数 y ? 2x ?1 ? x ? 4 的图象,它与直线 y ? 2 的交点为 (?7, 2) 和 ? , 2 ? .? 1 分

?5 ? ?3 ?

所以 2 x ? 1 ? x ? 4 ? 2 的解集为 {x x ? ?7或x ? } ??????? 12 分 注:用零点分区间法相应给分。 18. 解: (Ⅰ)第 5 个等式 5 ? 6 ? 7 ? ? ? 13 ? 81 ???????? 3 分
2

5 3

(Ⅱ)猜测第 n 个等式为 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ?(3n ? 2) ? (2n ? 1) 证明: (1)当 n ? 1 时显然成立;???????? 7 分 (2)假设 n ? k (k ? 1, k ? N ? ) 时也成立, 即有 k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ?(3k ? 2) ? (2k ? 1)
2

???? 6 分

??????? 8 分

那么当 n ? k ? 1 时左边 ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? (3k ? 2) ? (3k ? 1) ? (3k ) ? (3k ? 1)

? k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? (3k ? 2) ? (2k ? 1) ? 3k ? 3k ? 1 ? (2k ? 1) 2 ? (2k ? 1) ? (3k ) ? (3k ? 1) ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 8k ? (2k ? 1) 2 ? [2(k ? 1) ? 1]2
而右边 ? [2(k ? 1) ? 1]2 ???????? 11 分

5

这就是说 n ? k ? 1 时等式也成立. 根据(1) (2)知,等式对任何 n ? N ? 都成立.???????? 12 分 19. 解: (Ⅰ)设安全负荷为 y1 ? k

ad 2 (k ? 0) ,??????1 分 l2

翻转 90°后 y2 ? k

da 2 (k ? 0) ,???2 分 l2

可得:

y1 d ? ,?????3 分 y2 a y1 d ? ?1 . y2 a
a 2

当 a>d>0 时,

此时枕木的安全负荷变大.?????5 分
2 ( ) ? d 2 ? ( 3) 2 ,? a 2 ? d 2 ? 12 (Ⅱ)设截取的宽为 a(0<a<2 3 ) ,高为 d,

????????6 分

k 2 其长度 l 及 k 为定值,安全负荷为 y ? f ( a ) ? 2 ad l
令 g (a) ? ad ? a(3 ?
2

a2 ), a ? 0, 2 3 ?????8 分 4

?

?

此时 g ?(a ) ? ?

3 2 a ? 3,由g ?(a) ? 0,得a ? 2 ????9 分 4

由 g ?(a) ? 0 ,可得 2 ? a ? 2 3 , ∴ g (a)在 ? 0, 2 ? 递增,在 2, 2 3 递减 ????????11 分 所以当宽 a ? 2 时, g (a ) 取得取大值,此时高 d ? 所以,当宽 a ? 2 ,高 d ?

?

?

2,

2 时,安全负荷最大?????12 分

20. 解:(Ⅰ)X 可能的取值为 10,20,100,-200. ???????? 1 分

1 2 ?1? ? 1? 3 1 根据题意,有 P(X=10)=C3×? ? ×?1- ? = , ?2? ? 2? 8

P(X=20)=C2 3×? ? ×?1- ? = , 2 2

?1? ? ?

2

? ?

1?1

?

3 8

P(X=100)=C3 P(X=-200)=C0 3×? ? ×?1- ? = , 3×? ? ×?1- ? = .???? 5 分 2 2 2 2

?1? ? ?

3

? ?

1?0

?

1 8

?1? ? ?

0

? ?

1?3 1 ? 8

所以 X 的分布列为:

6

X P

10 3 8 3 8

20 3 8 1 8

100 1 8 1 8 5 4

-200 1 8 ???????? 7 分

X 的数学期望为 EX=10× +20× +100× -200× =- ??????? 9 分
(Ⅱ)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3),则

3 8

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=P(X=-200)= .??????? 10 分
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 3 1 511 ?1? 1-P(A1A2A3)=1-? ? =1- = . 512 512 ?8? 511 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 .???????? 12 分 512 3 1 511 ?1? 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1-P(A1A2A3)=1-? ? =1- = . 512 512 ?8? 511 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 .???????? 13 分 512 21. 解: (Ⅰ) a ? ?

1 8

1 1 2 , f ( x ) ? ? ( x ? 1) ? ln x ,(x>0) ???????? 1 分 4 4

f'(x) ? ?

1 1 1 ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)(x ? 1) x? ? ? ? ,???????2 分 2 2 x 2x 2x

① 当 0< x < 2 时, f' (x)>0, f(x)在 (0,2) 单调递增; 当 x>2 时, f' (x)<0, f(x)在 (2,??) 单调递减;所以函数的单调递增区间是(0,2) ,单调递减区间是 (2,??) 。???4 分 (Ⅱ) h?( x) ? x ?

2 ,令 h?( x) ? 0 得 x ? 2 .????????5 分 x

当 x ? ?1, 2 ? 时 h?( x) <0,当 x ? ? 2,e ? 时 h?( x) >0,

?

?

?

?

故x?

2 是函数 h( x) 在 ?1,e? 上唯一的极小值点,????????6 分
, 又 h(1) ?

故 h( x)min ? h( 2) ? 1 ? ln 2 所以 h( x)max ?

1 , 2

h ( e) ?

1 2 1 e ?2 ? , 2 2
注:列表也可。

e2 ? 4 1 2 e ?2= ???????? 8 分 2 2
2

(Ⅲ)由题意得 a( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 对 x ? [1,??) 恒成立,?????????9 分

7

设 g ( x) ? a( x ? 1) 2 ? ln x ? x ? 1 , x ? [1,??) ,则 g ( x) max ? 0 , x ? [1,??) 求导得 g ' (x) ?

2ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)(x ? 1) ? ,??????????10 分 x x

① 当 a ? 0 时,若 x ? 1 ,则 g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [1,??) 单调递减

g ( x) max ? g (1) ? 0 ? 0 成立,得 a ? 0 ;?????????????????11 分
② 当a ?

1 1 ? 1 , g ( x) 在 [1,??) 单调递增, 时, x ? 2 2a

所以存在 x ? 1 ,使 g ( x) ? g (1) ? 0 ,则不成立;?????????????12 分

1 1 1 1 ? 1 ,则 f ( x) 在 [1, ] 上单调递减, [ ,?? ) 单调递增, 时, x ? 2a 2a 2 2a 1 1 1 1 1 1 ,?? ) ,有 g ( ) ? a( ? 1) 2 ? ln ? ? 1 ? ? ln a ? a ? 1 ? 0 , 则存在 ? [ a 2a a a a a
③ 当0 ? a ? 所以不成立, ????????????????????????????13 分 综上得 a ? 0 。????????????????????????????14 分

8


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