当前位置:首页 >> 数学 >>

三角函数的图像与性质


第3讲 三角函数的图象与性质

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

【2013年高考会这样考】 考查三角函数的值域、最值、单调性、周期性及对称性. 【复习指导】 1.要熟记本节的基础知识,并会将ωx+φ看作一个整体进行 解题. 2.解题时要注意图象的应

用,如利用图象求函数的最值、值 域等. 3.注重三角函数的性质和三角恒等变换的综合问题,这是近 几年高考的热点. 4.注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想 方法的运用.
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

基础梳理 1.“五点法”描图 (1)y=sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
?π ? ?3π ? (0,0),?2,1?,(π,0),? 2 ,-1?,(2π,0). ? ? ? ?

(2)y=cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
?π ? ?3π ? (0,1),?2,0?,(π,-1),? 2 ,0?,(2π,1) ? ? ? ?



考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

2.三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域 y=sin x R y=cos x R y=tan x π {x|x≠kπ+2,k∈Z}

图象

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

对称性

π 对称轴:x=kπ+ 对称轴:x=kπ 2 (k∈Z) (k∈Z) 对称中心: (kπ,0)(k∈Z) 对称中心:
? ? π ?kπ+ ,0?(k∈Z) 2 ? ?

无对称轴 对称中心:
? kπ ? ? ? , 0 ?2 ?(k∈Z) ? ?

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

周期

2π 单调增区间
? π ?2kπ- 2 ?

2π 单调增区间 [2kπ-π, 2kπ](k∈Z); 单调减区间

π

π? ,2kπ+ 2? ?

单调增区间
? π ?kπ- 2 ?

单调性 (k∈Z);单调减区间
? π ?2kπ+ 2 ?

,kπ+

3π? ,2kπ+ 2 ? [2kπ,2kπ+ ? π](k∈Z)

π? ?(k∈Z) 2?

(k∈Z) 奇偶性







考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

(1)周期性 2π 函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 |ω| ,y= π tan(ωx+φ)的最小正周期为|ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx,而偶 函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

三种方法 求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用sin x、cos x的有界性; (2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析 ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域; (3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间 上的值域(最值)问题.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

双基自测
? π? 1.(人教A版教材习题改编)函数y=cos?x+3?,x∈R( ? ?

).

A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案 C

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

?π ? 2.函数y=tan?4-x?的定义域为( ? ? ? ? ? π ? ? A. x x≠kπ-4 ? ? ? ? ? ? π ? ? C. x x≠kπ+4 ? ? ? ? ? ,k∈Z? ? ? ? ? ,k∈Z? ? ?

).
? ? ? π ? ? B. x x≠2kπ-4,k∈Z ? ? ? ? ? ? π ? ? D. x x≠2kπ+4 ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ,k∈Z? ? ?

答案 A

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

3.(2012· 成都质检)函数y=4sin x,x∈[-π,π]的单调性是( A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数
? π π? ? ? π ? ?π B.在?-2,2?上是增函数,在?-π,-2?和?2,π?上都是减函数 ? ? ? ? ? ?

).

C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数
?π ? ? ? π π? π? D.在?2,π?∪?-π,-2?上是增函数,在?-2,2?上是减函数 ? ? ? ? ? ?

解析 答案

由y=sin x的单调性可知B正确. B

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

? π? 4.y=sin?x-4?的图象的一个对称中心是( ? ?

).

A.(-π,0)
?3π ? C.? 2 ,0? ? ?

? 3π ? B.?- 4 ,0? ? ? ?π ? D.?2,0? ? ?

解析

π ∵y=sin x的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),∴令x-4=kπ(k

? π? π 3 ∈Z),x=kπ+ 4 (k∈Z),由k=-1,x=- 4 π得y=sin ?x-4? 的 ? ? ? 3π ? 一个对称中心是?- 4 ,0?. ? ?

答案

B
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

? π? 5.(2011· 合肥三模)函数f(x)=cos?2x+6?的最小正周期为 ? ?

________. 2π 解析 T= 2 =π. 答案 π

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

考向一

三角函数的定义域与值域

【例1】?(1)求函数y=lg sin 2x+ 9-x2的定义域. (2)求函数y=cos x+sin
2

? π? x?|x|≤4?的最大值与最小值. ? ?

[审题视点] (1)由题干知对数的真数大于0,被开方数大于等于 零,再利用单位圆或图象求x的范围. (2)将余弦化为正弦,再换元处理,转化为关于新元的一元二 次函数解决.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练



? ?sin 2x>0, (1)依题意? 2 ? ?9-x ≥0

π ? ?kπ<x<kπ+ ,k∈Z, 2 ?? ? ?-3≤x≤3,

? ? ? π ??x?-3≤x<-2 ? ? ?

? π? ,或0<x<2?. ? ?

(2)设sin

? x=t,则t∈? ?- ?
2

2 2? ? , ?. 2 2? 2 2? ? , , 2 2? ?

∴y=1-sin x+sin

? ? 1?2 5 x=-?t-2? +4,t∈? ?- ? ? ?

1 π 5 故当t=2,即x=6时,ymax=4, 1- 2 2 π 当t=- ,即x=- 时,ymin= . 2 4 2
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等 式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最值(值域); ②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为 关于t的二次函数求值域(最值); ③形如y=asin xcos x+b(sin x± cos x)+c的三角函数,可先设t =sin x± cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

【训练1】 (1)求函数y= sin x-cos x的定义域.
? ? ? π? π? π? (2)已知函数f(x)=cos ?2x-3? +2sin ?x-4? · sin ?x+4? ,求函数f(x)在 ? ? ? ? ? ? ? π π? 区间?-12,2?上的最大值与最小值. ? ?



(1)要使函数有意义,必须使si n x-cos x≥0.利用图象,在同

一坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示. π 5π 在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x为 4 , 4 ,再结合正弦、余弦函 数的周期是2π,所以定义域为
? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ 4 4 ? ? ? ? ? ,k∈Z?. ? ?
考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

考基自主导学

1 3 (2)由题意得:f(x)=2cos 2x+ 2 sin 2x+(sin x-cos x)· (sin x+ 1 3 1 3 2 2 cos x)=2cos 2x+ 2 sin 2x+sin x-cos x=2cos 2x+ 2 sin 2x- cos
? π? 2x=sin?2x-6?. ? ?

? π π? π ? π 5π? 又x∈?-12,2?,∴2x-6∈?-3, 6 ?, ? ? ? ? ? π? ? ∴sin?2x-6?∈? - ? ? ? ?

3 ? ? , 1 ?. 2 ?

π 故当x=3时,f(x)取最大值1; π 3 当x=-12时,f(x)取最小值- 2 .
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

考向二

三角函数的奇偶性与周期性
2

【例2】?(2011· 大同模拟)函数y=2cos A.最小正周期为π的奇函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2

? π? ?x- ?-1是( 4? ?

).

B.最小正周期为π的偶函数 π D.最小正周期为 的偶函数 2

[审题视点] 先化简为一个角的三角函数,再确定周期和奇偶性. 解析 y=2cos 答案 A
2

? ? π? π? ?x- ?-1=cos?2x- ?=sin 4? 2? ? ?

2π 2x为奇函数,T= 2 =π.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

求解三角函数的奇偶性和周期性时,一般先要进行 三角恒等变换,把三角函数式化为一个角的一个三角函数,再 根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周 期求解公式进行.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

【训练2】 已知函数f(x)=(sin x-cos x)sin x,x∈R,则f(x)的 最小正周期是________. 1-cos 2x 解析 由f(x)=(sin x-cos x)sin x=sin x-sin xcos x= 2
2

π? 1 1 2 ? - sin 2x=- sin?2x+4?+ . 2 2 ? ? 2 ∴最小正周期为π. 答案 π

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

考向三 三角函数的单调性 【例3】?已知f(x)=sin 递增区间. [审题视点] 化为形如f(x)=Asin(x+φ)的形式,再求单调区间. 解 f(x)=sin
?π ? x+sin?2-x? ? ? ? π? 2sin?x+4?. ? ? ?π ? x+sin ?2-x? ,x∈[0,π],求f(x)的单调 ? ?

=sin x+cos x=

π π π 由-2+2kπ≤x+4≤2+2kπ,k∈Z, 3π π 得:- 4 +2kπ≤x≤4+2kπ,k∈Z,
? π? 又x∈[0,π],∴f(x)的单调递增区间为?0,4?. ? ?
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

求形如y=Asin(ωx+φ)+k的单调区间时,只需把ωx +φ看作一个整体代入y=sin x的相应单调区间内即可,注意要 先把ω化为正数.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

【训练3】

? π? 函数f(x)=sin?-2x+3?的单调减区间为______. ? ? ? π? ?-2x+ ? 3? ?

解析 f(x)=sin

=-sin

? π? ?2x- ? 3? ?

,它的减区间是y=

? π? sin?2x-3?的增区间. ? ?

π π π π 5π 由2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z,得:kπ-12≤x≤kπ+12,
? π 5π? k∈Z.故所求函数的减区间为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). ? ?

答案

? π 5π? ?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z) 12 12? ?

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

考向四

三角函数的对称性 ).

? π? 【例4】?(1)函数y=cos?2x+3?图象的对称轴方程可能是( ? ?

π π A.x=-6 B.x=-12

π π C.x=6 D.x=12
? ? π ?2x+ +α? 4 ? ?

π (2)若0<α< 2 ,g(x)=sin ________.

是偶函数,则α的值为

[审题视点] (1)对y=cos x的对称轴为x=kπ,把“ωx+φ”看作一 个整体,即可求. π π (2)利用4+α=kπ+2(k∈Z),求解限制范围内的α.
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

kπ π π 解析 (1)令2x+3=kπ(k∈Z),得x= 2 -6(k∈Z), π 令k=0得该函数的一条对称轴为x=- 6 .本题也可用代入验证 法来解.
? ? π π π ? ? (2)要使g(x)=cos 2x+4+α 为偶函数,则须 4 +α=kπ+ 2 ,k∈ ? ?

π π π Z,α=kπ+ ,k∈Z,∵0<α< ,∴α= . 4 2 4 π 答案 (1)A (2)4

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对 称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对 称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

【训练4】 (1)函数y=2sin(3x+φ) π 12,则φ=________.

?? ? π ? ? ?? ?φ?< ? 2? ?

的一条对称轴为x=

(2)函数y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称图形.则φ= ________. π 解析 (1)由y=sin x的对称轴为x=kπ+ (k∈Z), 2 π π 即3×12+φ=kπ+2(k∈Z), π 得φ=kπ+4(k∈Z), π π 又|φ|<2,∴k=0,故φ=4.
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

(2)由题意,得y=cos(3x+φ)是奇函数, π ∴φ=kπ+2,k∈Z. 答案 π π (1)4 (2)kπ+2,k∈Z

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

难点突破9——利用三角函数的性质求解参数问题
含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,难度相 对较大一些.正确利用三角函数的性质解答此类问题,是以熟 练掌握三角函数的各条性质为前提的,解答时通常将方程的思 想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参数问 题进行策略性的分类解析.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

一、根据三角函数的奇偶性求解参数 【示例】? (2011· 泉州模拟)已知f(x)=cos( 3 x+φ)- 3sin( 3 x +φ)为偶函数,则φ可以取的一个值为( π A. 6 π B. 3 π C.- 6 ). π D.- 3

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

二、根据三角函数的单调性求解参数 【示例】?
? π? (2011· 镇江三校模拟)已知函数f(x)=sin ?ωx+3? (ω> ? ? ? 5π π? ?kπ- ,kπ+ ? 12 12? ?

0)的单调递增区间为

(k∈Z),单调递减区间

? π 7π? 为?kπ+12,kπ+12?(k∈Z),则ω的值为________. ? ?

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

三、根据三角函数的周期性求解参数 【示例】? (2011· 合肥模拟)若函数y=sin π 的最小正周期为7,则ω=________.
? π? ωx· sin ?ωx+2? (ω>0) ? ?

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

四、根据三角函数的最值求参数 π 【示例】 ? (2011· 洛阳模拟)若函数 f(x)=asin x-bcos x 在 x= 处 3 有最小值-2,则常数 a、b 的值是( A.a=-1,b= 3 C.a= 3,b=-1 ). B.a=1,b=- 3 D.a=- 3,b=1

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

单击此处进入

活页限时训练

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练


相关文章:
三角函数图像和性质练习题(附答案)
三角函数的图像与性质一、选择题 1.已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ? ? ? 3 4 , ]上的最小值是-2,则 ? 的最小值等于( C.2 D.3 ...
三角函数图象和性质(总结的很全面,不看后悔)
性质 7 知道三角函数图像的对称中心,对称轴 8 能解决以三角函数为模型的应用问题 知识要点梳理 (一) 、知识要点梳理 1、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 y ...
三角函数的图像与性质 教案
三角函数的图象与性质 教学目标 1.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它 研究复合函数的性质. 2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数...
三角函数的图像和性质知识点及例题讲解
三角函数的图像和性质知识点及例题讲解_数学_高中教育_教育专区。三角函数的图像和性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx,x...
三角函数的图像与性质复习教案
2、近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函数 的性质是研究函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础...
高中数学——三角函数图像和性质讲义
高中数学——三角函数图像和性质讲义_数学_高中教育_教育专区。【讲义课题】 三角函数图像和性质 : 【考点及考试要求】 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 y=...
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质专题分析 近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查, 因为函数的性质是研究函数的一个重要内容,是学习...
三角函数的图像与性质习题及答案
三角函数的图像与性质习题及答案_数学_高中教育_教育专区。§ 4.3 三角函数的图象与性质 (时间:45 分钟 满分:100 分) 一、选择题(每小题 7 分,共 35 分)...
三角函数的图像与性质教案
为您服务教育网 http://www.wsbedu.com/ 三角函数的图象与性质一.课标要求: 1.能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像,了解三角函数的周期性; 2....
更多相关标签:
三角函数图像与性质 | 三角函数 | 三角函数的图像 | 正弦函数的图像与性质 | 三角函数诱导公式 | 三角函数公式大全 | 三角函数的图像变换 | 万能公式 |