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幂函数


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幂函数复习
了解幂函数的定义,图像和性质 幂函数的定义域,值域,比较大小 幂函数的单调性、奇偶性 幂函数的定义域,值域,比较大小 幂函数的单调性、奇偶性 分单元学习,对应练习巩固,综合练习运用所学

学习目标与 考点分析

学习重点 学习方法

学习内容与过程

幂函数
分数指数幂 正分数指数幂的意义是: a ? n a m ( a ? 0 , m 、 n ? N ,且 n ? 1 ) 负分数指数幂的意义是: a 1、 幂函数的图像与性质 幂函数 y ? x n 随着 n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆 的方法.熟练掌握 y ? x n ,当 n ? ?2 , ? 1 , ? 从中可以归纳出以下结论: ① 它们都过点 ?1 , 1? ,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第 四象限.
1 1 , , 1 , 2 , 3 时,幂函数图像过原点且在 ? 0 , ? ? ? 上是增函数. 3 2 1 ③ a ? ? , ? 1 , ? 2 时,幂函数图像不过原点且在 ? 0 , ? ? ? 上是减函数. 2 1 1 , , 3 的图像和性质,列表如下. 2 3
? m n

m n

?

1
n

am

( a ? 0 , m 、 n ? N ,且 n ? 1 )

② a?

④ 任何两个幂函数最多有三个公共点.
y ? xn

奇函数

偶函数

非奇非偶函数

1

中小学 1 对 1 课外辅导专家 y y y

n ?1
O x O x O x

y

y

y

0 ? n ?1
O x O x O x

y

y

y

n?0
O x O x O x

幂函数基本性质 (1)所有的幂函数在(0,+≦)都有定义,并且 都过点(1,1) ; (2) α>0 时, 幂函数的图象都通过原点, 并且在[0, 上,是增函数 (3)α<0 时,幂函数的图象在区间(0,+≦)上 函数. 是减 +≦] 图象

规律总结 1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再 去进行讨论; 2.对于幂函数 y= x ? ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的

2

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位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即 ? <0,0< ? <1 和 ? >1 三种情况下曲线的基本形 状,还要注意 ? =0,〒1 三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀 来记忆: “正抛负双,大竖小横” ,即 ? >0( ? ≠1)时图象是抛物线型; ? <0 时图象是双曲线 型; ? >1 时图象是竖直抛物线型;0< ? <1 时图象是横卧抛物线型. 2、 幂函数的应用
n

例1、 有

幂函数 y ? x m ( m 、 n ? N ,且 m 、 n 互质)的图象在第一,二象限,且不经过原点,则 (
m n ?1 m n m n ?1 ?1
O x


y

( A ) m 、 n 为奇数且

( B ) m 为偶数, n 为奇数,且 (C ) m 为偶数, n 为奇数,且 ( D ) m 奇数, n 为偶数,且

m n

?1
a , b, c , d
y

例2、

右图为 幂函 数 y ? x? 在第一 象限的 图像 ,则 )
(B) b ? a ? d ? c (D) a ? d ? c ? b
y?x
a



大小关系是 (
( A) a ? b ? c ? d (C ) a ? b ? d ? c

y ? xb y ? xc
O x

解:取 x ?

1 2


c d b a

?1? ?1? ?1? ?1? 由图像可知: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ?2? ?2? ?2? ?2?

? a ? b ? d ? c ,应选 (C ) .

例3、

比较下列各组数的大小:
1 3 1 3

(1) 1.5 , 1.7 , 1 ;
? 2? (3) ? ? ? 2 ? ? ? ?
? 2 3

(2) ? 2
? 2 3

?

?

3 7

, ? 3

?

?

3 7

, ? 5

?

?

3 7



? 10 ? ,? ? ? ? 7 ?

, ? ?1.1? 3 .
?

4

3

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解: (1)底数不同,指数相同的数比大小, 可以转化为同一幂函数,不同函数值的大小问题. ≧ y ? x 3 在 ? 0 , ? ? ? 上单调递增,且 1.7 ? 1.5 ? 1 ,
1 1

1

? 1.7 3 ? 1.5 3 ? 1 . (2)底数均为负数,可以将其转化为 ? 2

?

?

3 7

??

? 2?

3 7

, ? 3

?

?

3 7

??

? 3?

3 7



?? 5 ?
?
5
3 7

3 7

??

? 5?
3 7

3 7



≧ y ? x 在 ? 0 , ? ? ? 上单调递增,且 5 ? 3 ? 2 ,

3 7

? ? ? ? ? ?
? 3 ? 2

3 7

,即 ?
3 7

? ?
5

3 7

??
3 7

? ?
3

3 7

??

? ?
2

3 7



? ? 5

?

? ? ?? 3 ? ? ?? 2 ?
? 2 3

3 7



(3)先将指数统一,底数化成正数.
? 2? ?? ? 2 ? ? ? ?
? 2 3

? 2? ?? ? 2 ? ? ? ?

? 10 ? ,?? ? ? 7 ?

?

2 3

4 2 ? ? ? 10 ? 3 ? ? ? , ? ?1.1? 3 ? ?1.21? 3 . ? 7 ?

?

2

≧ y ? x 3 在 ? 0 , ? ? ? 上单调递减,且
? 7 ? ? ? 10 ? ?
? 2 3

?

2

7 10

?

2 2

? 1.21 ,

??

? 2? ?? ? 2 ? ? ? ?
? 2 3

?

2 3

? ?1.21?
? 2 3

?

2 3


4

即: ? ?

7 ? ? ? 10 ?

? 2? ? ?? ? 2 ? ? ? ?

? ? ?1.1? 3 .
?

点评:比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: (1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性; (3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大 小. 例4、 若 ? a ? 1?
? 1 3

? ? 3 ? 2a ? 3 ,求实数 a 的取值范围.
?

1

4

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分析:若 x

?

1 3

? y 3,

?

1

则有三种情况 x ? 0 ? y , y ? x ? 0 或 0 ? y ? x . 解:根据幂函数的性质,
?a ? 1 ? 0 ?a ? 1 ? 0 ?a ? 1 ? 0 ? ? 有三种可能: ? 或 ?3 ? 2 a ? 0 或 ?3 ? 2 a ? 0 , ?3 ? 2 a ? 0 ? ? ?a ? 1 ? 3 ? 2a ?a ? 1 ? 3 ? 2a

解得: a ? ? ?? , ? 1? ? ? , ? . 例 3.已知幂函数 y ? x m 值. 解:≧幂函数 y ? x m
2 2

?2 3? ?3 2?

? 2 m ?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,且关于原点对称,求 m 的

? 2 m ?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,

? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ,? ?1 ? m ? 3 ; ≧ m ? Z ,? ( m 2 ? 2 m ? 3) ? Z ,又函数图象关于原点对称, ? m 2 ? 2m ? 3 是奇数,? m ? 0 或 m ? 2 . 例 4、设函数 f(x)=x3, (1)求它的反函数; (2)分别求出 f-1(x)=f(x) f-1(x)>f(x) f-1(x)<f(x)的实数 x 的范围. , ,
1

解析: (1)由 y=x 两边同时开三次方得 x= y ,?f (x)=x 3 .
3
3

-1

1

(2)≧函数 f(x)=x 和 f (x)=x 3 的图象都经过点(0,0)和(1,1) .
3 -1

?f-1(x)=f(x)时,x=〒1 及 0; 在同一个坐标系中画出两个函数图象,由图可知

f-1(x)>f(x)时,x<-1 或 0<x<1; f-1(x)<f(x)时,x>1 或-1<x<0.
点评:本题在确定 x 的范围时,采用了数形结合的方法,若采用解不等式或方程则较为麻烦.

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例 5、求函数 y= x 5 +2x 5 +4(x≥-32)值域.
1

2

1

解析:设 t=x 5 ,≧x≥-32,?t≥-2,则 y=t2+2t+4=(t+1)2+3. 当 t=-1 时,ymin=3. ?函数 y= x +2x 5 +4(x≥-32)的值域为[3,+ ? ) .
5 2
1

点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法. 【同步练习】 1. 下列函数中不是幂函数的是( A. y ? x 答案:C 2. 下列函数在 ? ?? , 0 ? 上为减函数的是(
1

) C. y ? 2 x D. y ? x ?1

B. y ? x 3

) D. y ? x ?2

A. y ? x 3 答案:B

B. y ? x 2

C. y ? x 3

3. 下列幂函数中定义域为 ? x x ? 0? 的是(
2 3


? 2 3

A. y ? x 3 答案:D

B. y ? x 2

C. y ? x

D. y ? x

?

3 2

4.函数 y=(x2-2x) A.{x|x≠0 或 x≠2} 2)



1 2

的定义域是(



B. (-≦,0)? (2,+≦) C. (-≦,0) ? [2,+≦] D. ] (0,

解析:函数可化为根式形式,即可得定义域. 答案:B
1

5.函数 y=(1-x2) 2 的值域是( A. [0,+≦]

) C. (0,1) D. [0,1]

B. (0,1)

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解析:这是复合函数求值域问题,利用换元法,令 t=1-x2,则 y= t . ≧-1≤x≤1,?0≤t≤1,?0≤y≤1. 答案:D 6.函数 y= x 的单调递减区间为(
5 2

) C. [0,+≦] D. (-≦,+≦)

A. (-≦,1)
2

B. (-≦,0)

解析:函数 y= x 5 是偶函数,且在[0,+≦)上单调递增,由对称性可知选 B. 答案:B
1

7.若 a <a
2



1 2

,则 a 的取值范围是( B.a>0

) C.1>a>0 D.1≥a≥0

A.a≥1

解析:运用指数函数的性质,选 C. 答案:C 8.函数 y= (15+2 x- x 2 ) 3 的定义域是 。

解析:由(15+2x-x2)3≥0.?15+2x-x<20.?-3≤x≤5. 答案:A 9.函数 y=
x 1
2- m - m 2

在第二象限内单调递增,则 m 的最大负整数是________.

解析:m 的取值应该使函数为偶函数.故 m=-1. 答案:m=-1

10、讨论函数 y= x 5 的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图. 思路:函数 y= x 5 是幂函数. (1)要使 y= x 5 = 5 x 2 有意义,x 可以取任意实数,故函数定义域为 R. (2)≧x ? R,?x2≥0.?y≥0.
2 2

2

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(3)f(-x)= 5 (- x ) 2 = 5 x 2 =f(x) , ?函数 y= x 是偶函数;
5 2

(4)≧n=

2 5

>0,
2 5

?幂函数 y= x 在[0,+ ? ]上单调递增. 由于幂函数 y= x 5 是偶函数, ?幂函数 y= x 5 在(- ? ,0)上单调递减. (5)其图象如下图所示.
2 2

12.已知函数 y= 4 15-2 x- x 2 . (1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间. 解析:这是复合函数问题,利用换元法令 t=15-2x-x2,则 y= 4 t , (1)由 15-2x-x2≥0 得函数的定义域为[-5,3] , ?t=16-(x-1)2 ? [0,16] .?函数的值域为[0,2] . (2)≧函数的定义域为[-5,3]且关于原点不对称,?函数既不是奇函数也不是偶函数. (3)≧函数的定义域为[-5,3] ,对称轴为 x=1, ?x ? [-5,1]时,t 随 x 的增大而增大;x ? (1,3)时,t 随 x 的增大而减小. 又≧函数 y= 4 t 在 t ? [0,16]时,y 随 t 的增大而增大, ?函数 y= 4 15-2 x- x 2 的单调增区间为[-5,1] ,单调减区间为(1,3] . 答案: (1)定义域为[-5,3] ,值域为[0,2] ; (2)函数即不是奇函数,也不是偶函数; (3) (1,3] .
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教学反思、反馈

学生教学反馈

学生对于本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字:

教师评定: 1、 学生上次作业评价: ○ 非常好 ○好 ○ 一般 ○ 一般 ○ 需要优化 ○ 需要优化

2、 学生本次上课情况评价:○非常 好 ○好

教师签字:

主任签字:

时间 :







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