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3.2.2-3.2.3直线方程的一般式


3.2.2

直线的两点式方程

【复习回顾】

y - y0 = k (x - x0 ) 1.直线的点斜式方程______________________
经过点P0(x0 ,y0) , 斜率为k 的直线. 它表示__________________________

x = x0 当k

不存在时,直线方程为___________

y = kx + b 2.直线的斜截式方程__________________
斜率为k,在y轴上的截距为b 的直线. 它表示__________________________

3.点斜式与斜截式的适用范围是斜率存在的直线 __________________ 特殊情况 4.斜截式是点斜式的___________________

思考 设直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(其中 x1≠x2,y1≠y2),你能写出直线l的点斜式方程吗?
当x1 ? x2时,k ? y2 ? y1 x2 ? x1

取P 1 ( x1 , y1 ), 代入点斜式方程得, y2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1

y1 ? y2时,化成比例式:

y ? y1 x ? x1 ? . y2 ? y1 x2 ? x1

直线的两点式方程 经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)(其中x1≠x2, y1≠y2 )的直线方程叫做直线的两点式方程,简称两点式.

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.

特别地

当x1=x2时,直线l的方程是 x=x1;
当y1=y2时,直线l的方程是 y=y1 .

例1

已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为

B(0,b)其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
将A(a,0),B(0,b)代入两点式得: y l B(0,b) A(a,0) O x

y?0 x?a ? b?0 0?a

x y 即 ? ? 1. a b

直线的截距式方程

直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线
方程的截距式方程.

x y ? ? 1. a b
在x轴上 的截距 在y轴上 的截距

截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.

例2

三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求BC边

所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程.

y

. A

.
C

解:过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为:

O

.M

.

x B 这就是BC边所在直线的方程.

y ?2 x?0 ? ?3 ? 2 3 ? 0 整理得, 5 x ? 3 y ? 6 ? 0.

中点坐标公式
以P ( 1 x1,y1 ), P 2 ( x2 , y2 )为端点的 x1 ? x2 y1 ? y2 线段的中点坐标为( , ). 2 2

例2

三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求BC边

所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程.
设BC的中点为M ,则M 的坐标为( 3 ? 0 ?3 ? 2 3 1 , ),即( , ? ) . 2 2 2 2

3 1 y ?0 x?5 过A( ?5, 0), M ( , ? )的直线方程为 ? , 1 3 2 2 ? ?0 ?5 2 2 整理得x ? 13 y ? 5 ? 0. 这就是BC边上的中线所在的直线的方程.

例3

求经过点P(-5,4),且在两坐标轴上的截距相等的

直线方程.
分析:截距均为0时,设方程为y=kx, y

截距不为0,设截距式求解.

o

x

例3

求经过点P(-5,4),且在两坐标轴上的截距相等的

直线方程. 解:当截距均为0时,设方程为y=kx, 4 把P(-5,4)代入上式得 k ? ? , 5 4 即直线方程为 y ? ? x. 5 x y 当截距均不为0时,设直线方程为 ? ? 1, a a 把P(-5,4)代入上式得 a ? ?1. 直线方程为 ? x ? y ? 1,

即 x ? y ? 1 ? 0.
4 综上直线方程为 y ? ? x 或 5

x ? y ? 1 ? 0.

B 1.下列四个命题中为真命题的是(

).

A.经过定点P0 (x 0 ,y0 )的直线都可以用方程 y-y 0 =k(x-x 0 )表示; B.经过任意不同两点P1 (x1 ,y1 ),P2 (x 2 ,y 2 )的直线; 都可以用方程(y-y 1 )(x 2 -x1 )=(x-x1 )(y 2 -y1 )表示; x y C.不经过原点的直线都可以用方程 + =1表示; a b D.经过定点的直线都可以用y=kx+b表示.

2.求经过下列两点的直线方程:

(1) P , 1), P , ? 3);(2) A(0, 5), B(5,0). 1 (2 2 (0
y ?1 x ? 2 y ?5 x ?0 解:( 1) ? ( ; 2) ? . ?3 ? 1 0 ? 2 0?5 5?0

3.直线ax+by=1

1 2 ab (ab≠0)与两坐标轴围成的面积是_____.

4.根据下列条件,求直线的方程: (1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2; (2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2.
x y 解: (1)由b ? 5, 知a ? ?3,故直线方程为 ? ? 1; ?3 5 (2)由a ? 5, 知b ? 3或b ? 7, x y x y 故直线方程为 ? ? 1, 或 ? ? 1. 5 3 5 7

各类方程的适用范围

名 称 点斜式 斜截式 两点式 截距式









方程

适用范围

点P(x0,y0)和斜率k 斜率k,y轴上的纵截距b

y - y0 = k ( x - x0 ) 斜率存在的直线
斜率存在的直线 不垂直于x、y 轴的直线 不垂直于x、y轴的 直线,不过原点的 直线

y = kx + b y - y1 x - x1 P1(x1,y1),P2(x2,y2) = y2 - y1 x2 - x1 在x轴上的截距a,在y轴上 x y + =1 的截距b a b

(x0 , y0) 与x轴垂直的直线可表示成 过点
(x0 , y0)与y轴垂直的直线可表示成 过点

x = x0

, 。

y = y0

直线方程的一般式

填空: 1.过点(2,1),斜率为2的直线的 方程是y-1=2(x-2) ____________ 2.过点(2,1),斜率为0的直线方 y=1 程是___________ 3.过点(2,1),斜率不存在的直 x=2 线的方程是_________
思考 :以上方程是否都可以用 Ax + By + C = 0 表示 ? 每一个直线的方程都能表示成这种形式

上述四种直线方程,能否写成如下统一形式? ? x+ ? y+ ? =0
y ? y1? k ( x ? x1 )
kx ? (?1) y ? y1 ? kx1 ? 0

y ? kx ? b

kx ? (?1) y ? b ? 0

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1 ( y ? y ) x ? ( x ? x ) y ? x ( y ? y ) ? y ( x ? x ) ? 0 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 x y bx ? ay ? ( ?ab) ? 0 ? ?1 a b

上述四式都可以写成直线方程的一般形式: Ax+By+C=0, A、B不同时为0.

Ax ? By ? C ? 0
问:所有的直线都可以用二元一次方程表示? A C x? ①当B≠0时 方程可化为y ? ? B B A ? 这是直线的斜截式方程,它表示斜率是

C 在y轴上的截距是? 的直线. B
y

B

②当B=0时 C 方程可化为x ? ? (A ? 0) A 表示垂直于x轴的一条直线

l
O
?

x
C A

总结:
由上面讨论可知, (1)平面上任一条直线都可以用一

个关于x,y的二元一次方程表示,
(2)关于x,y的二元一次方程都表示

一条直线.

一、直线的一般式方程
我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为零) 叫做直线的一般式方程,简称 一般式

注:对于直线方程的一般式,一般作如下 约定: 1、一般按含x项、含y项、常数项顺序排列 2、x项的系数为正; 3、x,y的系数和常数项一般不出现分数; 4、无特别说明时,最好将所求直线方程的 结果写成一般式。

深化探究
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示的 直线: (1)平行于x轴; y

(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x

深化探究
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示的 直线: (1)平行于x轴;(2)平行于y轴; y

(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
0

x

深化探究
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示的 直线: (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; y

(3) A=0 , B≠0 ,C=0;
0 x

深化探究
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示的 直线: (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合; y

(4) B=0 , A≠0, C=0;
0
x

深化探究
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示的 直线: (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合;(5)过原点; y

(5) C=0,A、B不同时为0;
0 x

总结:
在方程Ax+By+C=0中, A, B,C为何值 时,方程表示的直线 ①平行与x轴 ②平行与y轴 ③与x轴重合 ④与y轴重合
A ? 0, B ? 0, C ? 0

B ? 0, A ? 0, C ? 0

A ? 0, B ? 0, C ? 0

A ? 0, B ? 0, C ? 0
C = 0, AB不同时为0

⑤过原点

4 例1、已知直线经过点(6, - 4),斜率为- , 3 求直线的点斜式、一般式方程和截距式 4 解:将点(6, - 4),k = - 代入点斜式方程 3 4 得y + 4 = - ( x - 6) 3 一般式为4 x + 3 y - 12 = 0.

说明:在讨论直线问题时,常常将直线 的形式相互转化。

x y 截距式 + = 1 3 4

例2、把直线l的方程x - 2 y + 6 = 0化成斜截式, 求出直线l的斜率和它在x轴y轴上的截距并画图.

解:由x - 2 y + 6 = 0得2 y = x + 6 1 即斜截式为y = x + 3 2 1 \ k = .在轴上的截距为3. 2 A 再令y = 0, 可得x = - 6即 直线l在x轴上的截距为 - 6

y

B

0

x

求直线的一般式方程 Ax + By +C = 0(在A, B都不为零时)

的斜率和截距的方法:

A (1)直线的斜率 k=- B (2)直线在y轴上的截距b C 令x=0,解出 y = 值,则 b = B (3) 直线与x轴的截距a 令y=0,解出 x = - C 值,则 a = A

C B C A

课堂练习:
1.直线ax+by+c=0,当ab<0,bc<0时,此直 线不通过的象限是( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、直线Ax+By+C=0通过第一、二、四象限,则 ( B)
(A) A· B>0,A· C>0 (C) A· B<0,A· C>0
小窍门:

(B) A· B>0,A· C<0 (D) A· B<0,A· C<0

C C A ?       ?       ? 一般式方程的横截距为: 纵截距为: 斜率为: A B B

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2(B ?? 00, B
1

2

?0

(1)如何根据两直线的方程系数之间的关系来 判定两直线的位置关系?

A1 B1 C1 l1与 l2重合 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 C1 l1与 l2 平行 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 l1与 l2 相交 ? A2 B2 (2)当l1 ? l2时,上述方程系数有何 联系?

l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0


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