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简单的线性规划问题


y

o

x

A:(5,2)

y
C

B:(1,1) C:(1,4.4) x-4y+3=0 A

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

B

O

>x=1

3x+5y-25=0

x

问题1:x 有无最大(小)值? 问题2:y 有无最大(小)值?

问题3:2x+y 有无最大(小)值?

Y

A:(5,2) B:(1,1) C:(1,4.4)

Z=2x+y

C
A

X-4y+3=0

B

O
X=1

3x+5y-25=0

X Zmax=12

此时Z=12 此时Z=3 2x+y=1 2x+y=0

Zmin=3

有关概念
(1)由x,y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为 x,y 的约束条件。
(2)关于x,y 的一次不等式或方程组成的不等式组称为x, y 的线性约束条件。 (3)欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y 的解析式称 为目标函数。关于x,y 的一次目标函数称为线性目标函 数。求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小 值问题称为线性规划问题。 (4)满足线性约束条件的解(x,y)称为可行解。所有可行 解组成的集合称为可行域。 (5)使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解。

[练习]解下列线性规划问题:
1、求z=2x+y的最大值,使式中的x、y满足约束条件:

?y ? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

?y ? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

y

x+y=1
A

目标函数: z=2x+y y=x

Zmin=-3

O B C

x

y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)

2x+y=0

Zmax=3

解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线; (3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案。

讨论:
2、求z=3x+y的最大值,使式中的x、y满足约束条件

2x+3y x-y

y
x y

? 24 ?7 ?6 ?0 ?0

目标函数: Z=3x+y 8

Y

x-y=7 y=6 6 D C

B
O A 7 12 X

2x+3y=24
思考: 目标函数: Z=x+3y -7

l1

l0:3x+y=0

小结:
解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域;
(2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线;

(3)求:通过解方程组求出最优解;
(4)答:作出答案。

结论:
1、线性目标函数的最大(小)值一般 在可行域的顶点处取得,也可能在边界 处取得。 2、求线性目标函数的最优解,要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义.

应用问题: 1 .某工厂制造甲、乙两种产品,已知制造甲产品 1kg要用煤9吨,电力4kw,劳力 (按工作日计算 )3个; 制造乙产品1kg要用煤4吨,电力5kw,劳力10个.又 知制成甲产品 1kg 可获利 7 万元,制成乙产品 1kg 可 获利12万元,现在此工厂只有煤360吨,电力200kw, 劳力 300 个,在这种条件下应生产甲、乙两种产品 各多少千克,才能获得最大经济效益?

【解题回顾】
(1) 用线性规划的方法解题的一般步骤是:设未知 数、列出约束条件及目标函数、作出可行域、求 出最优解、写出答案. (2)本例的关键是分析清楚在哪一个点取最大值.

结论:
用线性规划的方法解题的一般步骤是:
(1) 充分理解题意建立数学模型 , 也就是设未 知数、列出约束条件及目标函数. (2)作图.作出可行域、求出最优解. (3)根据实际意义写出答案.

小结:
二元一次不等式 表示平面区域 直线定界, 特殊点定域

应 用

约束条件
目标函数

简单的线性规划

可行解 可行域

求解方法:画、 移、求、答

最优解

2、咖啡屋配制两种饮料,成分配比和单价如下表:
饮料 甲种 乙种

奶粉(杯)
9(g) 4(g)

咖啡(杯)
4(g) 5(g)

糖(杯)
3(g) 10(g)

价格(杯)
0.7(元) 1.2(元)

每天使用限额为奶粉 3600g, 咖啡 2000g,糖3000g,若每天在原料的使 用限额内饮料能全部售出,应配制两 种饮料各多少杯获利最大?

正确答案:1)线性约束条件为: 9x+4y≤3600 4x+5y≤2000 3x+10y≤3000 x∈N l y∈N 目标函数: z=0.7x+1.2y

y
9x+4y=3600

200

D

C

B
A

3x+10y=3000 4x+5y=2000

O 200

x

当 l 过点C时,y轴截距b最大,即z最大 解 4x+5y=2000 得 x=200 3x+10y=3000 y=240

∴ C(200,240)

∴当x=200,y=240时,Zmax=0.7×200+1.2×240=428(元) 答:每天应配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯时,获 利最大。

说明:约束条件要写全,求解过程要细心, 解题格式要规范。

三、最优整数解的求解方法:
? (一)运用枚举验证求最优整数解 某人有楼房一幢,室内面积共180m2,拟分隔成 两类房间作为旅游客房。大房间每间面积为 18m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为 40元;小房间每间面积为15m2,可住游客3名, 每名游客每天住宿费为50元;装修大房间每间 需1000元,装修小房间每间需600元。如果他 只能筹款8000元用于装修,且游客能住满客房, 他应隔出大房间和小房间各多少间,能获得最 大收益?最大收益是多少?

这些整点有:(0,12),(1,10),(2,9),(3,8),(4,6), (5,5),(6,3),(7,1),(8,0),分别代入f=200x+150y, 逐一验证,可得取整点(0,12)或(3,8)时, fmax=200×0+150×12=200×3+150×8=1800(元)。

所以要获得最大收益,有两种方案:
Ⅰ.只隔出小房间12间; Ⅱ.隔出大房间3间,小房间8间。 最大收益为1800元。

? (二)运用平移直线法求最优整数解 某人准备用100元购买空白磁盘和空白光 盘,空白磁盘每张4元,空白光盘每张7 元。问他应该如何购买才能达到磁盘和 光盘都购买并且都不超过10张,而又使 得剩余的钱最少这个目的?

为了寻找整数解,我们在可行域里作出最靠近 4x+7y=100且与之平行的直线4x+7y=99。 这时,得到如图的可行解P(7.25,10)和Q(10,8.43), 但它们都不是整数解,考虑线段PQ上的点(8,9.57) 和(9,9),可知(9,9)是整数最优解。

练习、已知函数f(x)=ax2-c,满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围。
解:依题意: -4≤f(1)≤-1 -1≤f(2)≤5 -4≤a-c≤-1 -1≤4a-c≤5 0≤a≤3 1≤c≤7

而所求f(3)=9a-c
0≤9a≤27 ∴ -7≤-c≤-1

-7≤9a-c≤26

∴-1≤f(3)≤26

正解一:
依题意得: f(1)=a-c f(2)=4a-c 可知 :f(3)=9a-c=-5/3f(1)+8/3f(2)

∵ -4≤f(1)≤ -1 , -1≤f(2)≤5
∴ 5/3≤-5/3f(1)≤20/3 , -8/3≤8/3f(2)≤40/3 ∴ -1≤-5/3f(1)+8/3f(2)≤20

即:

-1≤f(3)≤20

正解二:
线性约束条件: -4≤a-c≤-1 -1≤4a-c≤5 目标函数: t=f(3)=9a-c 作出约束条件的可行域:为 平行四边形ABCD, 当平行直线过A(0,1)时, tmin=9×0-1=-1 过点C(3,7)时,tmax=9×3-7=20 ∴-1≤f(3)≤20
-4 -2

c
8 6 D 4 2 A
B
C(3,7)

平行直线系t=9a-c , c=9a-t,斜率为9。 -2
-4

o2

4

6

a

说明:约束条件变化时要用等价变换


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