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河北省正定中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(文)试题


2015-2016 学年第二学期高二期末考试 高二文科数学 一、选择题 1.设集合 M ? {x | ( x ? 1)(x ? 2) ? 0} , 集合 N ? ? x 2 x ?

? ?

1? ? , 则 M ? N =( 4?



A. x x ? ?2

?

>
?

B. x x ? ?1

?

?

C. x x ? ?1

?

?

D. x x ? ?2

?

?

a?i 2. 设 a ? R, i 是虚数单位,则“ a ? 1 ”是“ 为纯虚数”的 a?i
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
? 1 2

3.已知 a ? log2 3 , b ? log 1 3 , c ? 3
2

,则 C. a ? b ? c D. a ? c ? b )

A. c ? b ? a

B. c ? a ? b

? a 9 ,则 m 的值为( 4.在等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 am ? a1 ? a 2 ? ?
A.37 B.36 C.20 ) D.19

5.函数 y ? x ? ln x 的大致图像是(

6.设二次函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? c( x ? R) 的值域为[0,+∞) ,则
2

1 9 ? 的最 c a

小值为( ) A.3 B. C.5 D.7

7.阅读右边的程序框图,输出结果 S 的值为 A. ?1008 B. 1 C. ?1 D.0

2 8.已知命题 p :函数 f ( x) ? 2ax ? x ? 1(a ? 0) 在(0,1)内恰有一个零点;命题 q :函数

y ? x2?a 在 (0, ??) 上是减函数,若 p 或 q 为真命题,则实数 a 的取值范围是()
A. (??,2] B. (1,2) C. (1,??)
-1-

D. (2,??)

9.已知函数 f ( x) ? log1 (2 ? x) ? log1 (2 ? x) 则不等式 f ( x) ? f (1 ? x) 的解集为( )
2 2

A. (?? , ) 10. 已 知 f ( x)?

1 2

B. ( ,?? )

1 2

C. ( ?1, )

s? i nx (? ?

?) ?(
?

? ? ?0 ? , | 满| 足 ) f ( x )? ? f x(?
2


1 2

D. ( ,2)

1 2

2

1 f) , ?( 0 , ) 则 2

g ( x)?
A.4

2 c? os ? x( ? 在区间 ) [0, ] 上的最大值为( 2
B. 3 C.1 D.-2

11.已知函数 f ? x ? ? ? A.1

? x2 ? 2 x, x ≤ 0 ? ,则函数 g ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1 的零点个数为( x?0 ? ? lg x ,
C.3 D.4



B.2

12.已知函数 f ? x ? 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ? x ? ? f ?4 ? x ? , 且当 x ? 2 时其导函数 f ?? x ? 满足 xf ?? x ? ? 2 f ?? x ?, 若 2 ? a ? 4 ,则( A. f (2a ) ? f (3) ? f (log 2 a ) C. f (log 2 a ) ? f (3) ? f (2 a ) 二、填空题 13.已知 p : ?x ? R, x ? 3x ? 3 ? 0 ,则 ? p 为:
2



B. f (3) ? f (log 2 a ) ? f (2 a ) D. f (log 2 a ) ? f (2a ) ? f (3)

.

14.曲线 f ? x ? ? 2 ? xe x 在点(0,2)处的切线方程为_________. 15.已知 sin(? ?

?

1 ? 5? ? ) ? , ? ? ( , ) ,则 cos(? ? ) ? _________. 6 3 3 6 3

16.已知函数 f ( x) ? ?

?| x |, x ? m
2 ? x ? 2m x ? 4m, x ? m

,其中 m ? 0 ,若存在实数 b ,使得关于 x 的方程

f ( x) ? b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是_________.
三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中, ?B ?

?
3

, AB ? 8 ,点 D 在 BC 边上,且

CD ? 2 , cos ?ADB ? ?
(1)求 sin ?BAD ;

1 . 7

(2)求 BD , AC 的长.

18.(本小题满分 12 分)

-2-

商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过 1 小时收费 6 元,超 过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .现有甲、乙二人在该商区 临时停车,两人停车都不超过 4 小时. (1)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 停车付费恰为 6 元的概率; (2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的概率.

1 5 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,求甲 3 12

19.(本小题满分 12 分) 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ? AA 1 ? 3 , BC ? 2 , D 是 BC 的中点, F 是 C1C 上一点. (Ⅰ)当 CF ? 2 时,证明: B1F ⊥平面 ADF ; (Ⅱ)若 FD ? B1D ,求三棱锥 B1 ? ADF 的体积. A1 F C1 B1

C D A B

x y 2 20.(本小题满分 12 分)已知点 A(1, 2 ) 是离心率为 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 b a
上的一点,斜率为 2 的直线 BD 交椭圆 C 于 B, D 两点,且 A, B, C 三点不重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) △ ABD 的面积是否存在最大值?若存在, 求出这个最大 值;若不存在,请说明理由?

2

2

-3-

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? ln x ? 4 ? a ? R ? . (1)讨论 f ? x ? 的单调性;
k ? ?1 ? ? k , (2) 当 a ? 2 时, 若存在区间 ? m, n ? ? ? , ?? ? , 使 f ? x ? 在 ? m, n? 上的值域是 ? , 2 m ? 1 n ? 1? ? ? ? ?

求 k 的取值范围.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 如图,点 A, B, D, E 在 ? O 上, ED 、 AB 的延长线交于点 C , AD 、 BE 交于点 F ,

E

AE ? EB ? BC .

D F C B O A

? ? BD ? ; (1)证明: DE
(2)若 DE ? 2 , AD ? 4 ,求 DF 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲 线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? , ? ??0, 2?? . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)在曲线 C 上求一点 D ,使它到直线 l : ?

? x ? 3t ? 3, ? ( t 为参数, t ? R )的距 ? ? y ? ?3t ? 2

-4-

离最短,并求出点 D 的直角坐标.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? 2x ? t , t ? R . (1)当 t ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 5 ; (2)若存在实数 a 满足 f (a) ? a ? 3 ? 2 ,求 t 的取值范围.

-5-

2015—2016 第二学期期末考试高二数学(文科)答案

一、选择题 1-5 AADAD 6-10 ADCDB 二、填空题 13. ?x ? R, x 2 ? 3x ? 3 ? 0 三、解答题 17.解:(1)? cos ?ADB ? ?

11-12 CA 14. x ? y ? 2 ? 0

15.

3?2 2 6

16. (3,??)

1 4 3 ? sin ?ADB ? 7 7

? 3 1 3 3 .......6 分 ? sin ?BAD ? sin( ? ?ADB) ? cos ?ADB ? sin ?ADB ? 3 2 2 14
(2)在 ?ABD 中,由正弦定理可知, BD ? 在 ?ABC 中,由余弦定理可知,

AB ? sin ?BAD ? 3 ..........9 分 sin ?ADB

AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC.cos B ? 49, ? AC ? 7 ..........12 分
18.

-6-

19.解: (Ⅰ)证明:∵ AB ? AC , D 是 BC 的中点, ∴ AD ⊥ BC . 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ∵ B1B ⊥底面 ABC , AD ? 底面 ABC ,∴ AD ⊥ B1B . ∵ BC ∩ B1B = B , ∴ AD ⊥平面 B1BCC1 . ∵ B1F ? 平面 B1BCC1 ,∴ AD ⊥ B1F ??2 分

在矩形 B1BCC1 中,∵ C1F ? CD ? 1 , B1C1 ? CF ? 2 , ∴ Rt?DCF ≌ Rt?FC1 B1 .∴∠ CFD =∠ C1B1F .∴∠ B1FD=90? . (或通过计算 FD ? B1F ? 5 , B1D ? 10 ,得到△ B1 FD 为直角三角形) ∴ B1F ? FD ∵ AD ∩ FD = D ,∴ B1F ⊥平面 ADF . ??6 分

(Ⅱ)解:∵ AD ? 平面B1DF , AD ? 2 2 , ∵ D 是 BC 的中点,∴ CD ? 1 . 在 Rt △ B1 BD 中, BD ? CD ? 1 , BB1 ? 3 , ∴ B1 D ?

BD 2 ? BB12 ? 10 .

??9 分

∵ FD ? B1D ,∴ Rt?CDF ∽ Rt?BB1 D . ∴

1 10 DF CD ? .∴ DF ? ? 10 ? .??10 分 3 3 B1 D BB1

∴ VB1 ? ADF ?

1 1 1 10 10 2 . ??12 分 S?B1DF ? AD ? ? ? ? 10 ? 2 2 ? 3 3 2 3 9

(注:也可以用 VB1 ? ADF ? S?ADF ? B1D 计算) 20.解析: (Ⅰ)∵e=
2 c 1 2 2 2 2 = , 2 ? 2 ? 1 ,a =b +c ,∴a=2,b= 2 ,c= 2 . 2 a b a

-7-

∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 2 4
? ? y ? 2x ? m 2 2 ? 4x +2 2 mx+m -4=0, 2 2 ? ?2x ? y ? 4
2 m,① 2

(Ⅱ) 设直线 BD 的方程为 y= 2 x+m, m≠-1, ∴?

∴Δ =-8m +64>0? -2 2 <m<2 2 ,且 m≠-1,x1+x2=- ② ∵|BD|= 1 ? k 2 |x1-x2|=

2

x1x2=

m2 ? 4 , 4

6 2

8 ? m2 ,设 d 为点 A 到直线 BD:y= 2 x+m 的距离,∴d



m 3



∴S△ABD=

2 1 |BD|d= 2 4

(8 ? m 2 ) ? m 2 ≤ 2 ,当且仅当 m=±2 时取等号.

因为±2∈(-2 2 ,-1)∪(-1,2 2 ) , 所以当 m=±2 时,△ABD 的面积最大,最大值为 2 . 21.【解析】 (1)函数 f ? x ? 的定义域是 ? 0, +? ? , f ? ? x ? ?

ax ? 1 ,????????1 分 x

当 a ≤ 0 时, f ? ? x ? ≤ 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0, +? ? 上为减函数, ?????2 分 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x ?

1 ? 1? ,当 x ? ? 0, ? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为减函数, a ? a?

?1 ? +? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为增函数, ?????4 分 当 x ?? , ?a ?

? 1? ∴当 a ≤ 0 时, f ? x ? 在 ? 0, +? ? 上为减函数;当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ? 上为减函数,在 ? a?
?1 ? +? ? 上为增函??5 分 ? , a ? ?

-8-

22.(1)证明:∵ EB ? BC ,∴ ?C ? ?BEC . ∵ ?BED ? ?BAD ,∴ ?C ? ?BED ? ?BAD . ∵ ?EBA ? ?C ? ?BEC ? 2?C , AE ? EB , ∴ ?EAB ? ?EBA ? 2?C ,又 ?C ? ?BAD . ∴ ?EAD ? ?C ,∴ ?BAD ? ?EAD .

? ? BD ? . ∴ DE
(2)由(1)知 ?EAD ? ?C ? ?FED , ∵ ?EAD ? ?FDE ,∴ ?EAD ∽ ?FED ,∴

DE AD ? . DF ED

-9-

∵ DE ? 2 , AD ? 4 ,∴ DF ? 1 . 23. (Ⅰ)解:由 ? ? 2 sin ? , ? ??0, 2?? ,可得 ? 2 ? 2? sin ? .因为 ? 2 ? x2 ? y 2 , . ? sin ? ? y ,所以曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 (或 x 2 ? ? y ? 1? ? 1 )
2

(Ⅱ)因为直线 l 的参数方程为 ?
2

? ? x ? 3t ? 3, ( t 为参数,t ? R ) , 3x ? y ? 5 0 ? .因 y ? ? 3 t ? 2 ? ?

2 为曲线 C x ? ? y ? 1? ? 1 ,以可设点 D ? cos ?,1 ? sin ? ? ? ? ? 0, 2? ? .所以点 D 到直线 l 的

?

?

距离为 d ?

3 cos? ? sin? ? 4 2

? ?? ? ? 2 ? sin ? ? ? ? .因为 ? ??0, 2?? ,所以当 ? ? 时, 6 3? ?

? 3 3? ? 3 3? ,所以点 D 的坐标为 ? , d min ? 1.此时 D ? ? ?. ? 2 2? ? 2 , 2? ? ? ? ?
24.【解析】 (1)当 t ? 1 时, f ( x) ? x ? 3 ? 2x ? 1 , 由 f ( x) ? 5 ,得 x ? 3 ? 2x ? 1 ? 5 ,

1 ? ? 1 ?x ? 3 ?x ? ? ?? ? x ? 3 ∴? ,或 ? , 2 ,或 ? 2 3 x ? 2 ? 5 ? ? ? ?2 ? 3x ? 5 ?x ? 4 ? 5
解得 x ? ?1 或 1 ? x ? 3 或 x ? 3 , ∴原不等式的解集为 (??, ?1] ? [1, ??) . (2) f ( x) ? x ? 3 ? 2 x ? 3 ? 2x ? t

? (2x ? 6) ? (2x ? t ) ? t ? 6 ,
∵原命题等价于 ( f ( x) ? x ? 3)min ? 2 , ∴ t ? 6 ? 2 ,解得 ?8 ? t ? ?4 , ∴ t 的取值范围是 (?8, ?4) .

- 10 -


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