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排列组合的解题方法


排列的简单应用

排列的简单应用
? 目的:理解掌握含有特殊限制条

件的排队问题的解决方法,进一 步培养分析问题、解决问题的能 力. ? 重点:优限法、捆绑法、插空法 的运用

一、【概念复习】: 1.排列的定义,理解排列定义需要注意的 几点问题; 从n个不同元素中,任取m(m<n)个元素(这 里的被取元素各不相同)按照 一定的顺序 排 成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个排列. 2.排列数的定义,排列数的计算公式

A ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1)
m n

A

m n

n! ? ( n ? m) !

3.练习:⑴ 7位同学站成一排,共有多少种不同 的排法?
解:问题可以看作:7个元素的全排列A77=5040

⑵ 7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置, 共有多少种不同的排法?
解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列A66 =720

⑶ 7位同学站成一排,其中甲不站在首位,共有多 少种不同的排法?
解一:甲站其余六个位置之一有A61种,其余6人全排列有 A66 种,共有A61 A66 =4320. 解二:从其他6人中先选出一人站首位,有A61 ,剩下6人 (含甲)全排列,有A66 ,共有A61 A66 =4320. 解三:7人全排列有A77,甲在首位的有A66,所以

共有 A77- A66=7 A66- A66=4320.

二、新课:例: 7位同学站成一排.

⑴甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?
解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有A22种;第二步 余下的5名同学进行全排列有A55种 则共有A22 A55 =240种排列方法 ① 甲 ② d ③ e ④ a ⑤ b ⑥ c ⑦ 乙

A22
① 乙 ② c ③ a A55 ④ e ⑤ b ⑥ d ⑦ 甲

⑵甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种? 解法一:第一步 从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2 位同学站在排头和排尾有A52种方法;第二步 从余下的5位 同学中选5位进行排列(全排列)有A55种方法 ,所以一共 有A52 A55 =2400种排列方法. 解法二:若甲站在排头有A66种方法;若乙站在排尾有A66 种方法;若甲站在排头且乙站在排尾则有A55 种方法.所 以甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有 A77 - 2 A66 + A55=2400种. 小 结一:对于“在”与“不在”等 有 特殊元素 或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊 位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法).

⑶甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?
解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素 与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A66种方法; 再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22 种方法.所 以这样的排法一共有A66 A22 =1440种.
拓展:①甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种? 解:方法同上,一共有A55A33 =720种. ②甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾 的排法有多少种?
解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共 有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元 素中选取2个元素放在排头和排尾,有A52种方法;将剩下的4个元素 进行全排列有A44 种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排 列有A22种方法.所以这样的排法一共有A52 A44 A22 =960种方法.

解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素, 此时一共有6个元素,若丙站在排头或排尾有2A55 种方法, 所 以 丙 不 能 站 在 排 头 和 排 尾 的 排 法 有 ( A66 2A55)· 22=960种方法. A 解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素, 此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以 可以从其余的四个位置选择共有A41种方法, 再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法,最后将 甲、乙两同学“松绑”,所以这样的排法一共有A41 A55 A22 =960种方法.

小结二:对于相邻问题,常 用“捆绑法”(先捆后 松).

⑷甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?
解法一:(排除法) A77-A66 A22 =3600 解法二:(插空法)先将其余五个同学排好有A55种方法, 此时他们留下六个位置(就称为“空” ),再将甲、乙同学 分别插入这六个位置(空)有A62种方法,

a

b



c

d



e

所以一共有A55 A62=3600种方法.

拓展:③甲、乙和丙三个同学都 不能相邻的排法共有多少种?
解:先将其余四个同学排好有A44 种方法,此时他们留下五个“空”, 再将甲、乙和丙三个同学分别插入这 五个“空”有A53 种方法,所以一共有 A44 A53 =1440种.

小结三:对于不相邻问题,常用 “插空法”(特殊元素后考 虑).

三、练习:三名女生和五名 男生排成一排, ⑴如果女生全排在一起,有 多少种不同排法? ⑵如果女生全分开,有多少 种不同排法?
A66 A33 =4320 A55A63=14400 A52A66=14400

⑶如果两端都不能排女生, 有多少种不同排法? A52A66+2A31A51A66 ⑷如果两端不能都排女生, 有多少种不同排法?
=36000
或A88- A32 A66=36000

四、小结: 1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置; ⑵某些元素要求连排(即必须相邻); ⑶某些元素要求分离(即不能相邻); 2.基本的解题方法: ⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊 元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法“优 限法”; ⑵ 某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一 个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列 ,这种方法称为“捆绑法”; ⑶ 某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这 些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”.

创新练习
? 某班8运动员在运动会 后排成一排照像留念, ? (1)若甲乙两人之间 必须间隔一人,有多 少种不同排法? ? (2)若甲乙两人之间 至少间隔两人,有多 少种不同排法?


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