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高中数学必修2同步课件 1.3.2球的体积和表面积


球的体积 思考:球既没有地面,也无法像柱体锥体和台体 那样展成平面图形,怎样求球的表面积与体积呢? 回顾圆面积公式的推导 n=6 A1 O A2 n=12 O An p A1 A2 A3 假设将圆n等分,则 S正多边形 ? S?A1OA 2 ? S?A2OA 3 ? ? ? S?An OA1 1 ? p(A1A 2 ? A 2 A 3 ? ? ? A n

A1 ) 2 1 ? pC 正多边形 2 当n ? ?时,p ? R, C正多边形 ? C圆 1 2 ? S圆 ? R ? 2?R ? ?R 2 割 圆 术 早在公元三世纪,我国数学家刘徽为推 导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的 边数,使其面积与圆的面积之差更小,即所 谓“割之弥细,所失弥小”。这样重复下去, 就达到了“割之又割,以至于不可再割,则 与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的 “极限”思想。 球的体积 已知球的半径为R,用R表示球的体积. A A O O C2 B2 r1 ? R ? R, 2 R 2 r2 ? R ? ( ) , n 2 2R 2 r3 ? R ? ( ) , n 2 A ri O R ( i ? 1) n R O 第i层“小圆片”下底面的 半径: ri ? R R ? [ ( i ? 1)]2 , i ? 1,2? , n. n 2 R ri ? R ? [ ( i ? 1)]2 , i ? 1,2, ? , n n 3 R ? R i ?1 2 2 Vi ? ?ri ? ? [1 ? ( ) ], i ? 1,2? , n n n n 2 V半球 ? V1 ? V2 ? ? ? Vn ?R 3 2 2 1 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? [n ? ] 2 n n ?R 3 1 ( n ? 1) ? n ? ( 2n ? 1) ? [n ? 2 ? ] n n 6 2 1 ( n ? 1)( 2n ? 1) ? ?R [1 ? 2 ? ] n 6 3 2 ?V半 球 ? ?R 3 3 4 从 而V ? ?R 3 . 3 1 1 (1 ? )( 2 ? ) n n ] V半球 ? ?R 3 [1 ? 6 1 当n ? ?时, ? 0. n 4 3 定理:半径是 R的球的体积为: V ? ?R 3 球的面积 球面不能展开成平面图形,所以求 球的表面积无法用展开图求出,如何求 球的表面积公式呢? 回忆球的体积公式的推导方法, 得到 启发,可以借助极限思想方法来推导球 的表面积公式。 ?S i o o 第 一 步: 分 割 球面被分割成n个网格,表面积分别为: ?S1,?S2,?S3 ,?, ?Sn 则球的表面积: O S ? ?S1 ? ?S2 ? ?S3 ? ? ? ?Sn 设“小锥体”的体积为 ?Vi 则球的体积为: ?Si O ?Vi V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ? ? ?Vn 第 二 步: 求 近 似 和 ?Si ?hi O O ?Vi 1 ?Vi ? ?S i ?hi 3 由第一步得: V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ? ? ?Vn 1 1 1 1 V ? ?S1?h1 ? ?S2 ?h2 ? ?S3 ?h3 ? ? ? ?S n ?hn 3 3 3 3 第 三 步: 化 为 准 确 和 O ?hi ?S i ?Vi 如果网格分的越

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