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总结高一数学人教A版必修一和必修二的知识点


总结一下高一数学人教 A 版必修一和必修二的知识点
1-5 的 一、集合与简易逻辑: 一、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征: 确定性 , 互异性 , 无序性 。 (2)集合与元素的关系用符号=表示。 (3)常用数集的符号表示:自然数集 ;正整数集 ;整数集 ;有理数集 、实数集 。 (4)集合的表示法: 列举法 , 描述法 , 韦恩图 。 (5)空集是指不含任何元素的集合。 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。

二、函数 一、映射与函数: (1)映射的概念: (2)一一映射:(3)函数的概念: 二、函数的三要素: 相同函数的判断方法:①对应法则 ;②定义域 (两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法: ①定义法(拼凑):②换元法:③待定系数法:④赋值法: (2)函数定义域的求法: ①含参问题的定义域要分类讨论; ②对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义 来确定。 (3)函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如: 的形式; ②逆求法(反求法):通过反解,用 来表示 ,再由 的取值范围,通过解不等式,得出 的 取值范围;常用来解,型如: ; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: ,利用平均值不等式公式来求值域; ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。

三、函数的性质: 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有:定义法(作差比较和作商比较) 导数法(适用于多项式函数) 复合函数法和图像法。 应用:比较大小,证明不等式,解不等式。 奇偶性: 定义: 注意区间是否关于原点对称, 比较 f(x) 与 f(-x)的关系。 f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数; f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。 判别方法:定义法, 图像法 ,复合函数法 应用:把函数值进行转化求解。 周期性:定义:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周 期。 其他:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+a)=f(x-a),则 2a 为函数 f(x)的周期. 应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换 的一般规律。 常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考) 平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 注意:(ⅰ)有系数,要先提取系数。如:把函数 y=f(2x)经过 平移得到函数 y=f(2x+ 4)的图象。 (ⅱ)会结合向量的平移,理解按照向量 (m,n)平移的意义。 对称变换 y=f(x)→y=f(-x),关于 y 轴对称 y=f(x)→y=-f(x) ,关于 x 轴对称 y=f(x)→y=f|x|,把 x 轴上方的图象保留,x 轴下方的图象关于 x 轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|把 y 轴右边的图象保留,然后将 y 轴右边部分关于 y 轴对称。 (注意:它 是一个偶函数) 伸缩变换:y=f(x)→y=f(ωx), y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论:若 f(a-x)=f(a+x),则函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称; 五、反函数: (1)定义: (2)函数存在反函数的条件: (3)互为反函数的定义域与值域的关系: (4)求反函数的步骤:①将 看成关于 的方程,解出 ,若有两解,要注意解的选择;②将

互换,得 ;③写出反函数的定义域(即 的值域)。 (5)互为反函数的图象间的关系: (6)原函数与反函数具有相同的单调性; (7)原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数,它一定不存在反函数。 七、常用的初等函数: (1)一元一次函数: (2)一元二次函数: 一般式 两点式 顶点式 二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为一般式, 有三个类型题型: (1)顶点固定,区间也固定。如: (2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在 区间之外。 (3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数. 等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根 注意:若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况,可先利用在开区间 上实根分布的情况,得 出结果,在令 和 检查端点的情况。 (3)反比例函数: (4)指数函数: 指数函数:y= (a>o,a≠1),图象恒过点(0,1),单调性与 a 的值有关,在解题中,往往 要对 a 分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 (5)对数函数: 对数函数:y= (a>o,a≠1) 图象恒过点(1,0),单调性与 a 的值有关,在解题中,往往要 对 a 分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 注意: (1)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不相同 时转化为同底数的指数或对数,还要注意与 1 比较或与 0 比较。 八、导 数 1.求导法则: (c)/=0 这里 c 是常数。即常数的导数值为 0。 (xn)/=nxn-1 特别地:(x)/=1 (x-1)/= ( )/=-x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k?f(x))/= k?f/(x) 2.导数的几何物理意义: k=f/(x0)表示过曲线 y=f(x)上的点 P(x0,f(x0))的切线的斜率。

V=s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。 3.导数的应用: ①求切线的斜率。 ②导数与函数的单调性的关系 已知 (1)分析 的定义域;(2)求导数 (3)解不等式 ,解集在定义域内的部分为增区间 (4)解不等式 ,解集在定义域内的部分为减区间。 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系, 才能准确无误地判断函数的 单调性。以下以增函数为例作简单的分析,前提条件都是函数 在某个区间内可导。 ③求极值、求最值。 注意:极值≠最值。函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和 f(a) 、f(b)中最大的一 个。最小值为极小值和 f(a) 、f(b)中最小的一个。 f/(x0)=0 不能得到当 x=x0 时,函数有极值。 但是,当 x=x0 时,函数有极值 f/(x0)=0 判断极值,还需结合函数的单调性说明。 4.导数的常规问题: (1)刻画函数(比初等方法精确细微); (2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线); (3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于 次多项式的 导数问题属于较难类型。 2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷 简便。 3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力的一 个方向,应引起注意。 九、不等式 一、不等式的基本性质: 注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题。 (2)注意课本上的几个性质,另外需要特别注意: ①若 ab>0,则 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。 ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分 类讨论。 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象),直 接比较大小。 ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 基本应用:①放缩,变形; ②求函数最值:注意:①一正二定三相等;②积定和最小,和定积最大。 常用的方法为:拆、凑、平方;

三、绝对值不等式: 注意:上述等号“=”成立的条件; 四、常用的基本不等式: 五、证明不等式常用方法: (1)比较法:作差比较: 作差比较的步骤: ⑴作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 ⑵变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。 ⑶判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。 (2)综合法:由因导果。 (3)分析法:执果索因。基本步骤:要证……只需证……,只需证…… (4)反证法:正难则反。 (5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有: ⑴添加或舍去一些项, ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式, (6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的 换元有三角换元和代数换元。 (7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 十、不等式的解法: (1)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于 零;注:要对 进行讨论: (2)绝对值不等式:若 ,则 ; ; 注意: (1)解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法有: ⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值; (2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。 (3).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 (4)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式; (5)不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然后求其交集,即是这 个不等式组的解集,在求交集中,通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公 共部分。 (6)解含有参数的不等式: 解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需 要讨论:

①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性. ②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时, 需要考虑相应的二次函数的开口方向, 对应的一元二 次方程根的状况(有时要分析△),比较两个根的大小,设根为 (或更多)但含参数,要讨 论。 十一、数列 本章是高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地复习,并在此基础上,突出解决 下述几个问题:(1)等差、等比数列的证明须用定义证明,值得注意的是,若给出一个数 列的前 项和 , 则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 . (2) 数列计算是本章的中心内容, 利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算,是高考命题 重点考查的内容.(3)解答有关数列问题时,经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学 思想解答数列题, 是我们复习应达到的目标. ①函数思想: 等差等比数列的通项公式求和公 式都可以看作是 的函数,所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解. ②分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为 及 ;已知 求 时,也要进行分类; ③整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整 体思想求解. (4)在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化,转化为数学问 题,再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用,决不是简 单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念: 1、 数列的定义及表示方法: 2、 数列的项与项数: 3、 有穷数列与无穷数列: 4、 递增(减)、摆动、循环数列: 5、 数列{an}的通项公式 an: 6、 数列的前 n 项和公式 Sn: 7、 等差数列、公差 d、等差数列的结构: 8、 等比数列、公比 q、等比数列的结构: 二、基本公式: 9、一般数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系:an= 10、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项) 当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次式;当 d=0 时,an 是一个常数。 11、等差数列的前 n 项和公式:Sn= Sn= Sn= 当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次式且常数项为 0;当 d=0 时(a1≠0),Sn=na1 是关于 n 的 正比例式。 12、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k

(其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项,an≠0) 13、等比数列的前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=n a1 (是关于 n 的正比例式); 当 q≠1 时,Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、…… 仍为等差数列。 15、等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 16、等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则 17、等比数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、…… 仍为等比数列。 18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an bn}、 、 仍为等比数列。 20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法:a/q,a,aq; 四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 24、{an}为等差数列,则 (c>0)是等比数列。 25、{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0 且 c 1) 是等差数列。 四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数 列的通项结构。 26、分组法求数列的和:如 an=2n+3n 27、错位相减法求和:如 an=(2n-1)2n 28、裂项法求和:如 an=1/n(n+1) 29、倒序相加法求和: 30、求数列{an}的最大、最小项的方法: ① an+1-an=…… 如 an= -2n2+29n-3 ② an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 31、在等差数列 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当 >0,d<0 时,满足 的项数 m 使得 取最大值. (2)当 <0,d>0 时,满足 的项数 m 使得 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 十二、平面向量 1.基本概念: 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2. 加法与减法的代数运算:

(1)若 a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则 a b=(x1+x2,y1+y2 ). 向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律: + = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律); 3.实数与向量的积:实数 与向量 的积是一个向量。 (1)| |=| |·| |; (2) 当 a>0 时, 与 a 的方向相同;当 a<0 时, 与 a 的方向相反;当 a=0 时,a=0. 两个向量共线的充要条件: (1) 向量 b 与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ,使得 b= . (2) 若 =( ),b=( )则 ‖b . 平面向量基本定理: 若 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一 对实数 , ,使得 = e1+ e2. 4.P 分有向线段 所成的比: 设 P1、 是直线 上两个点, P 是 上不同于 P1、 的任意一点, P2 点 P2 则存在一个实数 使 = , 叫做点 P 分有向线段 所成的比。 当点 P 在线段 上时, >0;当点 P 在线段 或 的延长线上时, <0; 分点坐标公式:若 = ; 的坐标分别为( ),( ),( );则 ( ≠-1), 中点坐标公 式: . 5. 向量的数量积: (1).向量的夹角: 已知两个非零向量 与 b,作 = , =b,则∠AOB= ( )叫做向量 与 b 的夹角。 (2).两个向量的数量积: 已知两个非零向量 与 b,它们的夹角为 ,则 ·b=| |·|b|cos . 其中|b|cos 称为向量 b 在 方向上的投影. (3).向量的数量积的性质: 若 =( ),b=( )则 e· = ·e=| |cos (e 为单位向量); ⊥b ·b=0 ( ,b 为非零向量);| |= ; cos = = . (4) .向量的数量积的运算律: ·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( +b)·c= ·c+b·c. 6.主要思想与方法: 本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题, 特别是处理向量的相关位置关系, 正确运用共线向量和平面向量的基本定理, 计算向量的模、 两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具,它往往会与三 角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点。 十三、立体几何 1.平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。

能够用斜二测法作图。 2.空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面的概念; 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离;证明两条直线是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面 ①位置关系:平行、直线在平面内、直线与平面相交。 ②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 ③直线与平面垂直的证明方法有哪些? ④直线与平面所成的角:关键是找它在平面内的射影,范围是{00.900} ⑤三垂线定理及其逆定理: 每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用 于证明垂直关系与空间图形的度量.如:证明异面直线垂直,确定二面角的平面角,确定点 到直线的垂线. 4.平面与平面 (1)位置关系:平行、相交,(垂直是相交的一种特殊情况) (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直,一般是依据性质 定理,可以证明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→ (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法: ①定义法,一般要利用图形的对称性;一般在计算时要解斜三角形; ②垂线、斜线、射影法,一般要求平面的垂线好找,一般在计算时要解一个直角三角形。 ③射影面积法, 一般是二面交的两个面只有一个公共点, 两个面的交线不容易找到时用此法?


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