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上海市高三数学复习练习【2B】


高三数学复习练习【2B.2011.9】 1. 已知集合 A ? {?1,3,2m ? 1} ,集合 B ? {3, m } 若 B ? A ,则实数 m ? ____.{1}
2

2. 函数 y ? 3

x ?1

(?1 ? x ? 0) 的反函数是___________.{ y ? ?1 ? log 3

x (1 ? x ? 3) }

3. M ? y y ? 2 x , N ? y y ? x 2 ? 2 x ? 2 , 则 M ? N ? ________{N} 4. 设 A= ? x |

?

?

?

?

? ?

6 ? ? N * , x ? Z ? ,则 A=____________. ?? 1,2,3,4? 5? x ?

5. 若函数 f ( x) ?

x?4 mx ? 4mx ? 3
2

的定义域为 R,则 m 的取值范围是_____. [0, )

3 4

6. 设 函 数 f ( x) ? ?

2 ? ?( x ? 1) , x ? 1 , 则 使 f ( x) ? 1 的 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ___. ? 4 ? x ? 1 , x ? 1 ?

(??,?2] ? [0,10]
7. 已知二次函数 y ? ax ? bx ? c , ( x ? R) 的部分对应值如下表:
2

x y

-3 6
2

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

那么,不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为_________________. ? x | x ? ?2或x ? 3? 8. 已知 2a ? 1 ? 0 ,关于 x 的不等式 x ? 4ax ? 5a ? 0 的解集是 {x | x ? 5a或x ? ?a}
2 2

9. 已知函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a在(?1,1)上存在x0 , 使得f ( x0 ) ? 0 ,则 a 取值范围是 _______.{ a ? ?1 或 a ?
x

1 } 5

10.已知函数 f ( x) ? a ? (b ? 2) (a ? 0, a ? 1) 的图象不在二、四象限,写出一组符合条件 的实数 a, b 的值___________.{ a ? 2, b=-1(只要a ? 1即可) } 11. 已知函数 f ( x ) 是 R 上的减函数,A(0,-3) ,B(-2,3)是其图象上的两点,那么不等

式 | f ( x ? 2)| ? 3 的解集是_____________. {x x ? 0或x ? 2} .
12. 函数 y ? lg x (B ) (B)是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 (D)是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 )

(A)是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 (C)是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减
2

13. ?4 ? k ? 0 是函数 y ? kx ? kx ? 1 恒为负值的 ( A (A)必要非充分条件

(B)充分非必要条件(C)充分必要条件 (D)非充分非必要条件

14.现用铁丝做一个面积为 1 平方米、形状为直角三角形的框架,有下列四种长度的铁丝各

一 根 供 选 择 , 其 中 最 合 理 ( 即 够 用 , 浪 费 最 少 ) 的 一 根 是 ( C )
15 (C . 已 知
2

A.4.6 米

B.4.8 米 ,
2

C.5.米 不
2

D.5.2 米 一 定
2

x?a?0
2


2








2


2







)(A) x ? ax ? a

(B) x ? a ? ax (C) x ? ax ? a

(D) x ? a ? ax

16.解不等式

2 x ? 3 ? 2a ? 1. x?a

? x ? (a ? 3) ? 2 x ? 3 ? 2a ?1 ?0 ① ? ? ? x?a ? x?a 解:原不等式等价于 ? ,移项,通分得 ? 2 x ? 3 ? 2 a ? 3[ x ? ( a ? 1)] ? 0 ② ? ? ?1 ? ? x?a ? x?a ?
由已知 a ? 0 ,所以解①得

a ? x ? a ?3
x ? 2a ? 0} . x ? (a 2 ? 1)

解②得

x ? a ? 1或 x ? a

原不等式的解集为 {x | a ? 1 ? x ? a ? 3}

17. (已知集合 A= {x | ( x ? 2)[ x ? (3a ? 1)] ? 0} ,B= {x |

(1)当 a ? 2 时,求 A ? B; (2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围. 解: (1)当 a =2 时,A=(2,7) ,B=(4,5)∴ A ? B=(4,5). 当 3a ? 1 ? 2即 a< (2)∵ B=(2a, a +1) ,
2

?2a ? 3a ? 1 1 时,A=(3a+1,2)要使 B ? A,必须 ? 2 ,此时 a 3 ?a ? 1 ? 2

=-1;当 3a ? 1 ? 2即 a=

1 1 时,A= ? ,使 B ? A 的 a 不存在;当 3a ? 1 ? 2即 a> 时, 3 3
?2 a ? 2
2 ?a ? 1 ? 3a ? 1

A=(2,3a+1)要使 B ? A,必须 ? 实数 a 的取值范围为[1,3]∪{-1}

,此时 1≤a≤3. 综上可知,使 B ? A 的

18. 已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ?

3x 1 ? , (1)判断并 x 9 ?1 2

证明 y ? f ( x) 在 (??,0) 上的单调性; (2)求 y ? f ( x) 的值域; (3)求不等式 f ( x) ? 解集。解: (1)设 f ( x) ? ax ? bx ? c ,由 f (0) ? 1 得 c=1,
2

1 的 3

故 ∵

f ( x) ? ax 2 ? bx ? 1


f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x
所以, ?
2

a( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? 1 ?

(ax 2 ? bx ? 1) ? 2 x



2ax ? a ? b ? 2x

?2 a ? 2 ?a ? 1 2 ?? ∴ f ( x) ? x ? x ? 1 ?a ? b ? 0 ?b ? ?1

(2)由题意得 f ( x) ? x ? x ? 1 ? 2 x ? m 在[-1,1]上恒成立. 即 x ? 3x ? 1 ? m ? 0 在[-1,1]上恒成立.
2

设 g ( x) ? x ? 3x ? 1 ? m ,其图象的对称轴
2

为直线 x ?

3 2 ,所以 g(x) 在[-1,1]上递减.故只需 g (1) ? 0 即 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? m ? 0 2

解得 m ? ?1 19.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD ,公园由长方形的休闲 区 A1 B1C1 D1 和环公园人行道(阴影部分)组成。已知休闲区 A1 B1C1 D1 的面积为 4000 平方 米,人行道的宽分别为 4 米和 10 米(如图)

(Ⅰ) 若设休闲区的长和宽的比

A1 B1 ? x, 求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S ? x ? 的 B1C1

解析式; (Ⅱ)要使公园所占面积最小,休闲区 A1 B1C1 D1 的长和宽该如何设计?解: (Ⅰ) 设休闲区的宽为 a 米,则其长为 ax 米, ∴ a x ? 4000 ? a ?
2

20 10 x
2



∴ S ? ? a ? 8?? ax ? 20 ? ? a x ? (8 x ? 20)a ? 160, x ? ? 0, ?? ? ……………6 分 (Ⅱ) S ? 4000 ? ? 8 x ? 20 ? ?

20 10 5 ? ? ? 160 ? 80 10 ? 2 x ? ? ? 4160 , ( x ? ? 0, ?? ?) x x? ?

? 1600 ? 4160 ? 5760 ,当且仅当 2 x ?

5 x

? x ? 2.5 时,公园所占面积最小,

此时,a ? 40, ax ? 100 , 即休闲区 A1 B1C1 D1 的长为 100 米, 宽为 40 米。 ………………14 分 20 . 二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 2x ,且 f (0) ? 1 . 求 f ( x) 的解析式;

(2) 若

x ? ? ?1,1? 上, y ? f ( x) 的图象恒在 y ? 2 x ? m 的图象上方,试确定 m 的范围. 解: 解: (1)
设 x1 ? x 2 ? 0 ,则 3
x1

? 3 x2 , 3 x1 ? x2 ? 1

x1 x2 x1 ? x2 ??0 3x1 3x2 3x1 ? 2 x2 ? 3x1 ? 32 x1 ? x2 ? 3x2 ? 3 ? 3 ??1 ? 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 9 ?1 9 ?1 ?9x1 ? 1??9x2 ? 1? ?9x1 ? 1??9x2 ? 1?

, ∴ f ?x1 ? ? f ?x 2 ?,即 y ? f ( x) 在 (??,0) 上是增函数。…………………6 分 (2)∵ 0 ?

3x ? 9x ?1

1 3x ? 1 3x

?

3x 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ,0? ; ,∴当 x ? 0 时, f ? x ? ? x 2 9 ?1 2 ? 2 ?

∵当 x ? 0 时, f ( x) ?

1 3x ? 1? ? x ? ? 0, ? 。 2 9 ?1 ? 2 ?
? 1 1? , ? 。…………………12 分 ? 2 2?

综上得 y ? f ( x) 的值域为 ? ? (3)∵ f ?x ? ? ? ?

1 3x 1 ? 1 1? ?1 1? , ? ,又∵ f ( x) ? ,∴ f ? x ? ? ? , ? ,此时 f ( x) ? ? x 单 2 9 ?1 3 ? 2 2? ?3 2?

1 3x 1 1 1 ?1 1? x ? , 调递增, ∵ f ?1? ? ? ,∴ f ? x ? ? ? , ? 时, x ? 1 ? 3 ? 3 。令 ? x 2 9 ?1 3 5 3 ?3 2?


3x 1 ? ? 32 x ? 6 ? 3 x ? 1 ? 0 ? 3 x ? 3 ? 2 2 ? x ? log 3 3 ? 2 2 , x 9 ?1 6

?

?

∴不等式 f ( x) ?

1 的解集是 log 3 3 ? 2 2 ,?? 。……(18 分) 3

? ?

? ?

21.设 y ? f ( x) 是定义在 R 上的函数,如果存在 A 点,对函数 y ? f ( x) 的图像上任意点 P ,

P 关于点 A 的对称点 Q 也在函数 y ? f ( x) 的图像上,则称函数 y ? f ( x) 的图像关于点 A 对
称, A 称为函数 f ( x) 的一个对称点. 对于定义在 R 上的函数 f ( x) ,可以证明点 A ( a , b ) 是

f ( x) 图像的一个对称点的充要条件是 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b , x ? R .
(1) 求函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 图像的一个对称点; (2)函数 g ( x) ?

ex ? 3 的图像是否有对称点?若存在则求之,否则说明理由. ex ?1

(3)仿照上述“函数 y ? f ( x) 的图像关于点 A ( a , b ) 对称的充要条件是

f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b , x ? R ”,试写出函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? m 对称的充要
条件(不用证明) ,并利用所写条件,研究一个你熟悉的函数的轴对称性。解:(1)解:设

A ( a , b ) 为函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 图像的一个对称点, 则 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b 对于 x ? R
恒成立. 即

(a ? x)3 ? 3(a ? x)2 ? (a ? x)3 ? 3(a ? x)2 ? 2b

对 于

x?R 恒 成 立 ,

?6a ? 6 ? 0 ?a ? ?1 ?? ? (6a ? 6) x2 ? (2a3 ? 6a 2 ? 2b) ? 0 由 ? 3 , 2 ?2a ? 6a ? 2b ? 0 ?b ? 2
故函数

f ( x) 图像的一个对称点为 ( ? 1 , 2 ) .

(2)假设 A ( m , n ) 是函

数 g ( x) ?

ex ? 3 2 2 2 ? x ? 1 的图像的一个对称点,则 m? x ? 1 ? m? x ? 1 ? 2n 对于 x e ?1 e ?1 e ?1 e ?1
成 立 , 即

x?R



(2 ? n) ? e m ? e 2 x ? [(1 ? n)(1 ? e 2m ) ? 2] ? e x ? (2 ? n)e m ? 0 对于 x ? R 恒成立,
?(2 ? n)e m ? 0 ?m ? 0 所以 ? . ?? 2m ) ? 2 ? 0 ( 1 ? n )( 1 ? e ?n ? 2 ?
故函数 (3)函数 y ? f ( x) 的图像关

g ( x) ?

ex ? 3 的图像有一个对称点 A ( 0 , 2 ) . ex ?1

于直线 x ? m 对称的充要条件是 f (m ? x) ? f (m ? x) ……(14 分) 比如:函数 y ? 2
x ?1

的图像关于直线 x ? 1 对称。
x ?1

取 x ? 1 ? t 和 x ? 1 ? t 分别代入 y ? 2

,得 2

1?t ?1

? 2 和 21?t ?1 ? 2 t ,
t

即 f (1 ? t ) ? f (1 ? t ) ,所以函数 y ? 2

x ?1

的图像关于直线 x ? 1 对称.


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