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2013年全国数学竞赛吉林赛区试题及答案


2 2  

中 等 数 学 

2 0 1 3年全国高 中数学联赛吉林赛 区预赛 
中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献 标 识 码 : A   文章 编 号 : 1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4) 0 2— 0 0 2 2—0 4  



/>
选择题 ( 每小题 6分 , 共3 O分 )  

点 3和 4 ) . 开始时 , 色子如 图 2摆放 , 朝上 的点数  是2 , 最后翻动到位置 A 现要求 翻动次数最少 , 则 

1 . 一个空问几 何体 的三视 图如图 1 所 示. 则  该几何 体的体积为(   ) .  

最后色子朝上 的点数是 3的概率为(  

).  

O 
正 ( 主 )视 图  侧 ( 左 )视 图 
图1  

I 冬 I   2  

俯 视 图 

( A )   ( B )   ( c ) 寺  ( D )  
二、 填空题 ( 每小题 5分 , 共3 0分 )  
6 . 已知 函数 

( A ) 2   +  ̄ /   7 c  

( B ) 罢  

f ( x ) = A c 0 s (  +  ) ( A > 0 )  

( c  + 净  ( D ) 2 丌 +   兀  
2 . 已知函数 

在 ( o , 詈 ) 上 是 减 函 数 . 则 ∞ 的 最 大 值 是 — — 一 。  
7 . 在三棱锥 S — A B C中 , 已知 
S A B=   S A C=   AC B =9 0 。 .  
, S B=   .   A C =2, BC =  

f ( x ) = 2 s i n (  + 詈 ) + c o s (  一 詈 ) ( o 9 > o )  
的最小正周期为丌 I 则  =(   ) .  

则直线 c与 A  所成角的余 弦值 为… … .  
8 . 已知椭圆 
+   =1  a>b> 0 )  

( A ) 4( B ) 2( c ) 丢 ( D   1  
3 . 已知 函数 

- 厂 (  ) = a x+ b (   ∈[ 0 , 1 ] ) .  
则“ a+ 2 b > 0 ”是 “ - 厂 (  )>0 恒 成 立 ”的 

的四个顶 点为 / I 、 B 、 C 、 D . 若菱形 A B C D的 内切 圆   半径等于椭圆焦距 的  , 则其离心率为一  

(  

) 条件.   ( A) 充分非必要 ( B ) 必要非充分 
9 . 设非零 向量 a 、 b , 且I   a   I = 2 , l   a+ 2  l = 2 .  

( C ) 充分必要 

( D ) 既不充分 , 也不必要 

则l a+ b   l +I  I 的最大值为一

 

4 . 若函数 Y=  (  ) 图像 上任 意一 点 P (  , Y )   满 足条件 I x l ≥l y l , 则称 函数 I 厂 (  ) 具有性质 J s . 下 
列函数 中具有性质 I s 的是 (   )  

1 0 . 对于数列 { a   } , 若存 在一个数 列 { b   } , 使  得对 于任 意 的 凡∈ Z+ , 均有 a   ≥b   , 称{ b   } 为  { a   } 的“ 弱数列 ” . 设 
a   =   一   一 2 t n+ t   (  E   Z+ ) ,  

( A ) - 厂 (  )= e   一 1  
( C ) - 厂 (  ) = s i n  

( B )   )= l n ( x+ 1 )  
( D )   )= t a n  

b   : n   一 2 n   一   + }( 凡 ∈z + ) ,  
且{ b   l 是{ a   } 的弱数列. 则实 数 t 的取值 范 围是 

5 . 在两行 四列的方格棋盘上沿 色子的某条棱 

翻动色子 ( 相对面上分别标有点 1 和6 、 点 2和 5 、  

2 0 1 4年 第 2期 

2 3  

1 1 . 已知oO的半径为 l , P为 圆周上一点 , 如 
图 3放置的边长为 1 的正方形 ( 实线所示 , 正方形 

注葸到 ,  

的顶 点 A与 P重合 ) 沿 圆周顺 时针 滚动. 经过若 
干次滚动 , 点  第 一次 回到 点 P的位置. 则点 A   走过的路径 的长度为 

) : 2 s i n (  +   ) + c 。 s (  + 詈 一 詈 )   i n ( 雠 +   ) + s i n (  + 詈 )   i n (  +  
由7 ’ :   , 知垫 :   j  : 2
. 

C 

3 . B.

4 . C.  

5 . C.  

二 、 6 . 8 .  

不 妨 设  >0 .  

要 使 ‘ 厂 (   ) 在 ( 0 , 詈 ) 上 是 减 函 数 , 结 合 余 弦 型  
3  

函数图像 , 知必有 
≥  j  ≥  ( ∞≤ c J ≤8 . ‘  

三、 解答题 ( 共9 0分)  

l 2 . ( 1 5分 ) 已知正数数列 { 0   } 的前 n 项和为 

J s   , 且 。 满足 口 : + 口   一 2 S   = 0 .  
( 1 ) 求数列 { 以 ,   } 的通项公式 ;   ( 2 ) 若b l = 1 , 2 b   一 b   一 l = 0 ( n ≥2 , n∈ Z+ ) ,   记C   = a . b   , 求数列 { C   } 的前 n 项和 r o ;   ( 3 ) 是否存在整数 m、 M, 使 m<   < M 对 任 

当  : 8时 ,   I 厂 (  )= A c o s ( 8 x +  ) ( A> 0 ) ,  

显 然 , 在 ( o , 詈 ) 上 是 减 函 数 , 符 合 .  
所以,   的最大值为 8 .  
7.   .  

意的正整数 凡 恒成立 , 且  一 仇= 4 7 请说 明理由.  
1 3 . ( 2 5 分) 已知 口 、 b 、 C 分别为△ A B C三个 内  
角  A 、   B、   C的对边 , 且 
b c o s   C+√   6 s i n   C一0一 c: 0 .  

如图4 , 取 A为原点 、 A B和 A S 所 在直线 分别  为Y 轴 和 轴建立空间直角坐标系.  

( 1 ) 证明:   / 4 、   曰、   C成等差数列 ;  
( 2 ) 若b =   , 求2 口 + c 的最 大值。   1 4 . ( 2 5分 ) ( 1 ) 若0 ≤  ≤1 , 证 明:  

专 < 2   < 2   ;  
( 2 ) 若 、 y 、   > I 0 , 且 + Y +  = 1 , 求 


) , , z ):2 x  + Y  + Z  

的最大值 、 最小值.  
1 5 . ( 2 5 分) 求 方程  +   一x Z y   一(  +) , ) 2  = 0   则点 B ( O ,  1 7 , 0 ) , S ( O , 0 , 2   ) ,  

的所有非负整数解.  

参 考 答 案 


c ( 2  ,   4 , 。 ) .   故   = ( 2   4 ,  ) '  




1 . D.  

( o ,  
—— —,  

, 0 ) .  
一  

:   柱+   锥= 丌r  + —   r 2 h= 2 丌 + √ T 3 兀  
2. R.  

于是 , 所求夹角的余 弦值为 
—— ’

S C? A B  

0 1 7  
‘ 

2 4   则 a  +a l一2 a l =0   a1 =1 .  

中 等 数 学 

8 .  

.  

从而 , a   = 1 +( n 一 1 )= n .   由题设 得  ( 2 ) 注 意到 ,   b n
=  


. 

譬 × 2 c  
c e = 


j y  
.  

于 是 , b n - (   。 .  
龇= n (   .  

9. 2  

.  

1 0 . ( - . ∞ ,  

.  

由题设 , 知对任意的正整数 n 有  八凡 ) = n   一 6   =/ . t 2 一( 2   一 1 ) n+ £   一 1 > 0 .  

贝 u  = ( 丢 ) 。 + 2 ( ÷ )   + … + n (   )   一   (   ) 1 + 2 (   ) 2 + … + n (  
1  


以上两式相减得 

则 △ = ( 2  )   一 4 (  5 ) =  + 6   _ ( 1 ) 当 △ ≤ o , 即   ≥ 寻 时 , 题 设 成 立 .   ( 2 ) 当 △ > 0 '  < 寻 时 ,   < 1 .  
于是 , 二次函数 f (  ) 的对 称轴在  =1的左  端. 此时 , 题设成立的充分必要条件是 

(   )   一   一 n (   )   .   故  = 4 [ ? 一 ( 丢 )   】 一 n ( 吉 )   一  
=  + 
+ … +


1  



4 一 ( 2 n + 4 ) (   )   .  

( 3 ) 由( 2 ) 得  < 4 .  
又  + 。 一  


1 ) ≥ 0 铮   2 — 2   + 丢 ≥ 0  

4 一   2 n + 6   ( 吉 )  一 4 + c 2 n + 4   ( 丢 )  
I ) > 0 ,  

§ z ≤   或   ≥ 吾 甘   ≤ 丢 .  
由( 1 ) 、 ( 2 ) , 知£ 的取值范 围是 


=  

则T n ≥T 1 = 1 .  

丢 】 U [   3 , + ∞ ) .  
.  

故存在整数 M = 4 , m= 0满足题 目要求.  
】 3 . f   1 、 F h 颢   知 

1 1 .  

s i n   B ? c 0 s   C + √   s i n   B ? s i n   C — s i n   A — s i n   C = 0 . ① 
又  A+   +   C= 7 c , 则 
s i n   A=s i n ( B+C) .  

点 A 经 过 的 路 径 由 九 段 圆 心 角 均 为 詈 的 劣 弧  
组成 , 其 中六段劣弧所在 圆的半径为 1 , 三段劣弧  所在 圆的半径 为√  . 所以, 点 A走 过的路径 的长 
度为 

将上式代入式①得 
s i n   B? C O S   C十   s i n   B? s i n   C一  

( s i n   B? C O S   C+C O S   B? s i n   C)一s i n   C= 0  
j  s i n   B. s i n   C —C O S   B? s i n   C —s i n   C :0 .  

詈 ( 6 × l + 3 ×  ) =   丌 .  
三、 1 2 . ( 1 ) 由题设知 
2   0


又 0<   C<7 c , 于是 , s i n   C>0 .  



+ a 


1—

2 S  l =0  


故√ 3   s i n   B— C O S   B一 1 = 0  

( a   一 a   一 1 ) ( a   + a   一 1 ) + a   一 a   一 l - 2 a   = 0   j ( a   + a   一 1 ) ( a   一 a   一 l 一 1 ) = 0  
a  一 a 


2 ( s i n   ‘ c 。 s 詈 一 c 。 s 曰 . s i n 詈 ) = -  
2 s i n   B 一 詈 ) = I .  

l =1 .  

今 r l , =1 .  

2 0 1 4年 第 2期 


2 5  

又 0<   B<  , 于是 ,   B:   .  


2 x   + y   +( 1 一  — y )  
( 2 x  一  )+( Y   一 ) , )+1  

由   A+   B+   C= 7 c , 知 
A  A+   c:   :2   B .  

≥ ( 一 詈 ) + ( 一 { ) + - = 詈 ,  
当且仅 当  = y =   1,  = 0时 , 上式等号成立.  

从而 ,   A 、   B、   C成等差数列.  
( 2 ) 由正弦定理得 
口  c 

从 而 , f ( x , Y ,   ) 的 最 小 值 为 寺.  
1 5 . ( 1 ) 当  = 0时 , 方程变为 
Y   一y Z z =O   Y   ( Y—  )= 0  

s i n   A  s i n   C √  
2   口 =2 s i n   A. c:2 s i n   C   =  2 a +c=4 s i n   A +2 s i n   C.  

Y: 0或 Y = z .  

故( 0 , 0 , m) , ( 0 , m, m) ( m ∈ Z+ ) 为满 足题 
意的解.  

又 

一 5 - , 知  c=   一  A .  

( 2 ) 当y = 0时 , 同理 ,   ( 0 , 0 , m) , ( m, 0 , m) ( m ∈ z+ )  

故 2 … i n   A  i n (   一 A ) .  

为满足题 意的解.  
( 3 ) 当 、 Y∈ Z+ 时, 令n =  + y , 6 = x y .   则原方程变为 
b  + 3 a b 一 2 ( 0一  )= 0 .  

i  2  s   A +  A )  
=5 s i n   A   C O 8   A  

考虑到 a , b 、   均为整数 , 从而 , 判别式 
A= 9 a   + 4 0   ( 口 一   ) = 口   ( 4 a + 9 — 4 z )  

= 2  ̄ - s i n ( A+  ) ≤ 2  ,  
其 中, 锐角  满足 
.  

为完全平方数.  
又4 口 + 9— 4 z 为奇数 , 不妨设 
5  

龇 n  

, c 0 s   育 ‘  

4 口+ 9 — 4 z =( 2 t + 1 )   (   ≥0 ) .   贝 0 口 = t 2 + t +  一 2 , 6 : _ = 二   由口 、 b∈ Z+ , 知t ≥2 .   : 口 ( £ 一 1 ) .  

N ;  ̄ L   A ∈ ( 0 , 擎 ) , 所 以 , N A   A 为   的 余  
角时 , 2 0+ C 取最大值 2   .   1 4 . ( 1 ) 因为 0 ≤   ≤1 , 所以 ,  
2 x   一 2 x = 2 x (  一1 ) (  +  +1 ) ≤0 ,  

接下来考虑平方数  (  一 y ) 2 =(  + y ) 2 — 4 x y = 0 2 — 4 b  
: 口   一 4 a ( t 一1 ) .  

2 x 4 _ (   一 詈 ) = 吉 c   一 -   c  +   + 3   ≥ 0 .  
综上 ,  一   3≤  4 ≤2  
.  

贝 0 [ 0 — 2 ( t 一1 ) 一 2 ]   ≤0   一 4 a ( t 一1 )   <[ 0 — 2 ( t 一1 ) ]   ,  
且 0   一 4 a ( t 一 1 ) ≠[ 0— 2 (  一 1 )一 1 ]   .  

故口   一 4 a ( t 一1 ) =[ o一 2 ( t 一 1 ) 一 2 ]  

【 注】 也可用导数证明.  
( 2 ) 一方面 ,  


j  0=t  j  t +   =2 .  

所以, t = 2 ,  = 0 .  

y , z )= 2 x   + Y   + z  

从而 , 0 = b = 4 ,  = y = 2 .   此时 , 方程的解 为( 2 , 2 , O ) .  

≤2 (   4 + ) , 2 +   ) ≤2 (  + Y +   ) = 2 ,  

当且 仅当  =1 , Y=  = 0时 , 上式等号成 立.  

综上, 方程的所有非负整数解为 
( 2 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , m) , ( 0 , m, m) , ( , n , 0 , m) ,  

从而,  

, y ,   ) 的最大值为 2 .  

另一方 面 ,  


其中 , m为任意非负整数.  
( 郭  民 提供 )  

y ,   ) = 2 x   + y   +  


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