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高中数学竞赛讲义五


高中数学竞赛讲义(五)
──数列

一、基础知识

定义 1 数列,按顺序给出的一列数,例如 1,2,3,…,n,…. 数列分 有穷数列和无穷数列两种,数列{an}的一般形式通常记作 a1, a2, a3,…,an 或 a1, a2, a3,…,an…。其中 a1 叫做数列的首项,an 是关于 n 的具体表达式,称为数列 的通项。



定理 1

若 Sn 表示{an}的前 n 项和,则 S1=a1, 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1.

定义 2 等差数列,如果对任意的正整数 n,都有 an+1-an=d(常数),则{an} 称为等差数列,d 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列,即 2b=a+c,则称 b 为 a 和 c 的等差中项,若公差为 d, 则 a=b-d, c=b+d.

定理 2 Sn=

等差数列的性质:1)通项公式 an=a1+(n-1)d;2)前 n 项和公式: ;3)an-am=(n-m)d,其中 n, m 为正整数;4)若

n+m=p+q,则 an+am=ap+aq;5)对任意正整数 p, q,恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1);6) 若 A,B 至少有一个不为零,则{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn.

定义 3

等比数列,若对任意的正整数 n,都有

,则{an}称为等比

数列,q 叫做公比。

定理 3

等比数列的性质:1)an=a1qn-1;2)前 n 项和 Sn,当 q 1 时, ;当 q=1 时,Sn=na1;3)如果 a, b, c 成等比数列,即 b2=ac(b 0),

Sn=

则 b 叫做 a, c 的等比中项;4)若 m+n=p+q,则 aman=apaq。

定义 4

极限,给定数列{an}和实数 A,若对任意的 >0,存在 M,对任意的

n>M(n∈N),都有|an-A|< ,则称 A 为 n→+∞时数列{an}的极限,记作

定义 5

无穷递缩等比数列,若等比数列{an}的公比 q 满足|q|<1,则称之

为无穷递增等比数列,其前 n 项和 Sn 的极限(即其所有项的和)为 限的定义可得)。

(由极

定理 3 第一数学归纳法:给定命题 p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当 p(n)时 n=k 成立时能推出 p(n)对 n=k+1 成立,则由(1),(2)可得命题 p(n) 对一切自然数 n≥n0 成立。

竞赛常用定理

定理 4 第二数学归纳法:给定命题 p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当 p(n)对一切 n≤k 的自然数 n 都成立时(k≥n0)可推出 p(k+1)成立,则由(1), (2)可得命题 p(n)对一切自然数 n≥n0 成立。

定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn=axn-1+bxn-2, 设它的特征方程 x2=ax+b 的两个根为α ,β :(1)若α β , 则 xn=c1an-1+c2β n-1, 其中 c1, c2 由初始条件 x1, x2 n-1 的值确定;(2)若α =β ,则 xn=(c1n+c2) α ,其中 c1, c2 的值由 x1, x2 的值确定。

二、方法与例题

1.不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确 的,但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学 归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24, 35,…;2)1,5,19,65,…;3)-1,0,3,8,15,…。

【解】1)an=n2-1;2)an=3n-2n;3)an=n2-2n.

例2

已知数列{an}满足 a1=

,a1+a2+…+an=n2an, n≥1,求通项 an.

【解】

因为 a1=

,又 a1+a2=22·a2,

所以 a2=

,a3=

,猜想

(n≥1).

证明;1)当 n=1 时,a1=

,猜想正确。2)假设当 n≤k 时猜想成立。

当 n=k+1 时,由归纳假设及题设,a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] ak+1,,

所以

=k(k+2)ak+1,



=k(k+2)ak+1,

所以

=k(k+2)ak+1,所以 ak+1=

由数学归纳法可得猜想成立,所以

例3

设 0<a<1,数列{an}满足 an=1+a, an-1=a+

,求证:对任意 n∈N+,有

an>1.

【证明】

证明更强的结论:1<an≤1+a.

1)当 n=1 时,1<a1=1+a,①式成立;

2)假设 n=k 时,①式成立,即 1<an≤1+a,则当 n=k+1 时,有

由数学归纳法可得①式成立,所以原命题得证。

2.迭代法。

数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立,因此可将其中 的 n 换成 n+1 或 n-1 等,这种办法通常称迭代或递推。

例4

数列{an}满足 an+pan-1+qan-2=0, n≥3,q 0,求证:存在常数 c,使得 ·an+

【证明】

·an+1+

(pan+1+an+2)+

=an+2·(-qan)+

=

+an(pqn+1+qan)]=q(

).



=0,则对任意 n,

+

=0,取 c=0 即可.

若 公式为 q 的等比数列。

0,则{

+

}是首项为



所以

+

=

·qn.



· 即可.

综上,结论成立。

例5

已知 a1=0, an+1=5an+

,求证:an 都是整数,n∈N+.

【证明】

因为 a1=0, a2=1,所以由题设知当 n≥1 时 an+1>an.

又由 an+1=5an+

移项、平方得



当 n≥2 时,把①式中的 n 换成 n-1 得

,即



因为 an-1<an+1,所以①式和②式说明 an-1, an+1 是方程 x2-10anx+ 不等根。由韦达定理得 an+1+ an-1=10an(n≥2).

-1=0 的两个

再由 a1=0, a2=1 及③式可知,当 n∈N+时,an 都是整数。

3.数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。

例6

已知 an=

(n=1, 2, …),求 S99=a1+a2+…+a99.

【解】因为 an+a100-n=

+

=



所以 S99=

例7

求和:

+…+

【解】

一般地,



所以 Sn=

例8

已知数列{an}满足 a1=a2=1,an+2=an+1+an, Sn 为数列

的前 n 项和,

求证:Sn<2。

【证明】

由递推公式可知,数列{an}前几项为 1,1,2,3,5,8,13。

因为





所以





由①-②得



所以



又因为 Sn-2<Sn 且

>0,

所以

Sn, 所以



所以 Sn<2,得证。

4.特征方程法。

例9

已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an,求 an.

【解】

由特征方程 x2=4x-4 得 x1=x2=2.

故设 an=(α +β n)·2n-1,其中



所以α =3,β =0,

所以 an=3·2n-1.

例 10

已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an,求通项 an.

【解】

由特征方程 x2=2x+3 得 x1=3, x2=-1,

所以 an=α ·3n+β ·(-1)n,其中



解得α =

,β



所以

·3]。

5.构造等差或等比数列。

例 11

正数列 a0,a1,…,an,…满足

=2an-1(n≥2)且

a0=a1=1,求通项。

【解】





=1,



令 bn=

+1,则{bn}是首项为

+1=2,公比为 2 的等比数列,

所以 bn=

+1=2n,所以

=(2n-1)2,

所以 an=

·



·

·a0=

注:

C1·C2·…·Cn.

例 12

已知数列{xn}满足 x1=2, xn+1=

,n∈N+, 求通项。

【解】

考虑函数 f(x)=

的不动点,由

=x 得 x=

因为 x1=2, xn+1=

,可知{xn}的每项均为正数。



+2≥

,所以 xn+1≥

(n≥1)。又

Xn+1-

=

=

,



Xn+1+

=

=

,



由①÷②得







>0,

由③可知对任意 n∈N+,

>0 且

,

所以

是首项为

,公比为 2 的等比数列。

所以

·

,所以



解得

·



注:本例解法是借助于不动点,具有普遍意义。

三、基础训练题

1. 数列{xn}满足 x1=2, xn+1=Sn+(n+1),其中 Sn 为{xn}前 n 项和,当 n≥2 时, xn=_________.

2. 数列{xn}满足 x1=

,xn+1=

,则{xn}的通项 xn=_________.

3. 数列{xn}满足 x1=1,xn=

+2n-1(n≥2),则{xn}的通项 xn=_________.

4. 等差数列{an}满足 3a8=5a13,且 a1>0, Sn 为前 n 项之和,则当 Sn 最大时, n=_________.

5. 等比数列{an}前 n 项之和记为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40=_________.

6. 数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn,则 S100=_________.

7. 数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1 则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.

8. 若

,并且 x1+x2+…+ xn=8,则

x1=_________.

9. 等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若 =_________.

,则

10. 若 n!=n(n-1)…2·1, 则

=_________.

11.若{an}是无穷等比数列,an 为正整数,且满足 a5+a6=48, log2a2·log2a3+

log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36,求

的通项。

12.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{

}是公比为 q 的等比数

列,且 b1=1, b2=5, b3=17, 求:(1)q 的值;(2)数列{bn}的前 n 项和 Sn。

四、高考水平训练题

1.已知函数 f(x)=

,若数列{an}满足 a1=



an+1=f(an)(n∈N+),则 a2006=_____________.

2.已知数列{an}满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项

an=

.

3. 若 an=n2+

, 且{an}是递增数列,则实数 的取值范围是__________.

4. 设正项等比数列{an}的首项 a1= S20+S10=0,则 an=_____________.

, 前 n 项和为 Sn, 且 210S30-(210+1)

5. 已知

,则 a 的取值范围是______________.

6.数列{an}满足 an+1=3an+n(n ∈N ) ,存在_________个 a1 值,使{an}成等差 数列;存在________个 a1 值,使{an}成等比数列。

+

7.已知 项分别是____________.

(n ∈N+),则在数列{an}的前 50 项中,最大项与最小

8.有 4 个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一 个数与第四个数的和中 16,第二个数与第三个数的和是 12,则这四个数分别为 ____________.

9. 设{an}是由正数组成的数列,对于所有自然数 n, an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项,则 an=____________.

10. 在公比大于 1 的等比数列中, 最多连续有__________项是在 100 与 1000 之间的整数.

11.已知数列{an}中,an 0,求证:数列{an}成等差数列的充要条件是

(n≥2)①恒成立。

12. 已知数列{an}和{bn}中有 an=an-1bn, bn=

(n≥2), 当 a1=p, b1=q(p>0,

q>0)且 p+q=1 时, (1) 求证: an>0, bn>0 且 an+bn=1 (n∈N) ; (2) 求证: an+1=
(3)求数列



13.是否存在常数 a, b, c,使题设等式

1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

(an2+bn+c)

对于一切自然数 n 都成立?证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项和为 972, 这样的数列共有_________个。

2.设数列{xn}满足 x1=1, xn=

,则通项 xn=__________.

3. 设数列{an}满足 a1=3, an>0,且

,则通项 an=__________.

4. 已知数列 a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18,且 a0=3,



=__________.

5. 等比数列 a+log23, a+log43, a+log83 的公比为=__________.

6. 各项均为实数的等差数列的公差为 4, 其首项的平方与其余各项之和不超 过 100,这样的数列至多有__________项.

7. 数列{an}满足 a1=2, a2=6, 且

=2,则

________.

8. 数列{an} 称为等差比数列,当且仅当此数列满足 a0=0, {an+1-qan}构成公 比为 q 的等比数列,q 称为此等差比数列的差比。那么,由 100 以内的自然数构 成等差比数列而差比大于 1 时,项数最多有__________项.

9.设 h∈N+,数列{an}定义为:a0=1, an+1= 怎样的 h,存在大于 0 的整数 n,使得 an=1?

。问:对于

10.设{ak}k≥1 为一非负整数列,且对任意 k≥1,满足 ak≥a2k+a2k+1,(1)求 证:对任意正整数 n,数列中存在 n 个连续项为 0; (2)求出一个满足以上条件, 且其存在无限个非零项的数列。

11.求证:存在唯一的正整数数列 a1,a2,…,使得

a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

六、联赛二试水平训练题

1. 设 an 为下述自然数 N 的个数: N 的各位数字之和为 n 且每位数字只能取 1, 3 或 4,求证:a2n 是完全平方数,这里 n=1, 2,….

2.设 a1, a2,…, an 表示整数 1,2,…,n 的任一排列,f(n)是这些排列中 满足如下性质的排列数目:①a1=1; ②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。

试问 f(2007)能否被 3 整除?

3.设数列{an}和{bn}满足 a0=1,b0=0,且

求证:an (n=0,1,2,…)是完全平方数。

4.无穷正实数数列{xn}具有以下性质:x0=1,xi+1<xi (i=0,1,2,…),

(1)求证:对具有上述性质的任一数列,总能找到一个 n≥1,使

≥3.999 均成立;

(2)寻求这样的一个数列使不等式

<4 对任一 n 均成立。

5.设 x1,x2,…,xn 是各项都不大于 M 的正整数序列且满足 xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项?

6.设 a1=a2= ,且当 n=3,4,5,…时,an=

,

(ⅰ)求数列{an}的通项公式;(ⅱ)求证:

是整数的平方。

7.整数列 u0,u1,u2,u3,…满足 u0=1,且对每个正整数 n, un+1un-1=kuu,这里 k 是某个固定的正整数。如果 u2000=2000,求 k 的所有可能的值。

8. 求证: 存在无穷有界数列{xn}, 使得对任何不同的 m, k, 有|xm-xk|≥

9.已知 n 个正整数 a0,a1,…, an 和实数 q, 其中 0<q<1, 求证: n 个实数 b0,b1,…, bn 和满足:(1)ak<bk(k=1,2,…,n);

(2)q<

<

(k=1,2,…,n);

(3)b1+b2+…+bn<

(a0+a1+…+an).


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