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直线的倾斜角与斜率测试


直线的倾斜角与斜率
一、选择题 1.直线 2x-y+3=0 的倾斜角所在区间是( ) D.?

? π? A.?0, ? 4? ?

B.?

?π ,π ? ? ?4 2?

? π 3π ? C.? , ? 4 ? ?2

?3π ,π ? ? ? 4 ?


解析:由直线方程得其斜率 k=2,

?π π ? 又 k>1,∴倾斜角的范围为? , ?. ?4 2?
答案:B 2.(2009·安徽)直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 )

3.(2009·山东临沂模拟)已知点 A(1,3),B(-2,-1).若直线 l:y=k(x-2)+1 与线段

AB 相交,则 k 的取值范围是 (
1 A.k≥ 2 B.k≤-2

) 1 D.-2≤k≤ 2

1 C.k≥ 或 k≤-2 2

解析:由已知直线 l 恒过定点 P(2,1),如右图. 若 l 与线 AB 相交, 则 kPA≤k≤kPB, 1 ∵kPA=-2,kPB= , 2 1 ∴-2≤k≤ . 2 答案:D 4.(2010·改编)若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交 点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取值范围是( A.? )

?π ,π ? ? ?6 3?

B.?

?π ,π ? ? ?6 2?

?π π ? C.? , ? ?3 2?

D.?

?π ,π ? ? ?6 2?

解析:如图所示,直线 l:y=kx-,过定点 P(0,-),又 A(3,0),B(0,2), ∴kPA=,则直线 PA 的倾斜角为. 满足条件的直线 l 的倾斜角的范围是. 答案:B 二、填空题
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5.已知 m≠0,则过点(1,-1)的直线 ax+3my+2a=0 的斜率为________. 解析:依题意知 a+3m·(-1)+2a=0,即 m=a.

a 1 ∴k=- =- . 3m 3
1 答案:- 3 6.(2010·宁夏吴忠调研)若过点 P(1-a,1+a)与 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数

a 的取值范围是________.
2a-(1+a) a-1 解析:k=tan α = = . 3-(1-a) a+2 ∵α 为钝角,∴ ∴-2<a<1. 答案:(-2,1) 7.若直线 l1:2x+my+1=0 与直线 l2:y=3x-1 平行,则 m=________. 2 解析:由 l1∥l2 知 A2B1-A1B2=0,即 3m-2×(-1)=0,∴m=- ,经验证符合题意. 3 2 答案:- 3 三、解答题 8.已知两点 A(-1,2),B(m,3),且已知实数 m∈?- 的范围. π 解:(1)当 m=-1 时,α = . 2 (2)当 m≠-1 时, ∵k= 1

a-1 <0,即(a-1)(a+2)<0. a+2

? ?

3 ? -1, 3-1?,求直线 AB 的倾斜角 α 3 ?

m+1

∈(-∞,- 3]∪?

? 3 ? ,+∞?, ?3 ?

∴α ∈?

?π ,π ?∪?π ,2π ?. ? ? 3 ? ?6 2? ?2 ? ?π ,2π ?. 3 ? ?6 ?

综上可知,直线 AB 的倾斜角 α ∈?

9.已知直线 l1 过点 A(1,1),B(3,a),直线 l2 过点 M(2,2),N(3+a,4). (1)若 l1∥l2,求 a 的值;(2)若 l1⊥l2,求 a 的值.

a-1 a-1 解:(1)∵k1= = , 3-1 2
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4-2 2 ∴k2 存在且 k2= = . 3+a-2 a+1 由于 l1∥l2,∴k1=k2, 即

a-1
2



2

a+1

,解得 a=± 5时,kAM≠kBM,

5.

又当 a=±

∴A、B、M、N 不共线.∴a=± (2)∵k1=

5适合题意.

a-1
2

.①a=1 时,k1=0,k2=1,k1·k2=0 不合题意. 2 (a≠-1), a+1

②a≠1 时,k1≠0,∵l1⊥l2,k2 存在,则 k2= 由于 l1⊥l2,∴k1·k2=-1,即

a-1
2

·

2 =-1,∴a=0. a+ 1

10.已知 A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0),求 D 点的坐标,使四 边形 ABCD 为直角梯形(A、B、C、D 按逆时针方向排列). 解:设所求点 D 的坐标为(x,y), 如右图所示,由于 kAB=3,kBC=0, ∴kAB·kBC=0≠-1, 即 AB 与 BC 不垂直,故 AB、BC 都不可作为直角梯形的 直角边. (1)若 CD 是直角梯形的直角边,则

BC⊥CD,AD⊥CD,
∵kBC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有 x=3. 又 kAD=kBC,∴ =0,即 y=3.

此时 AB 与 CD 不平行.故所求点 D 的坐标为(3,3). (2)若 AD 是直角梯形的直角边, 则 AD⊥AB,AD⊥CD,kAD= 由于 AD⊥AB,∴ 又 AB∥CD,∴ ,kCD= .

·3=-1. =3.

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解上述两式可得 故所求点 D 的坐标为

此时 AD 与 BC 不平行. , .

综上可知,使 ABCD 为直角梯形的点 D 的坐标可以为(3,3)或

1 1 1.(2010·创新题)若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值等于________.

a b

2 2-b 解析:三点共线,则 kAB=kAC,即 = . 2-a 2 整理知 2a+2b=ab. 2 2 1 1 1 同除 ab,有 + =1,∴ + = . a b a b 2 1 答案: 2 sin θ -1 2.(★★★★)求函数 y= 的值域. 3+cos θ 解:可以看成两点 A(cos θ ,sin θ ),B(-3,1)连线的斜率,B 为定点,A 为动点,动点 A 的轨迹为单位圆如图所示. 只需求出直线 的斜率 即可.不难求出 ,又 =0.

由图可知,定点 B 与动点 A 连线的斜率 k 的范围为 ,故原函数的值域为

.

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