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2016年高三数学闸北区一模卷【附答案】


上海市闸北区 2016 届高三一模数学试卷
2015.12 一. 填空题(本大题共 9 题,每题 6 分,共 54 分) 1. ( x ? 2)(
2

1 ? 1)5 的展开式中常数项为 2 x



?ln(1 ? x), x ? 0 ? 2. 函数 f ( x) ? ? 的单调性为 1 , x?0 ?ln ? 1? x
圆上,则该正三棱锥的体积是 ;

;奇偶性为



3. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大

?DAB ? 60? ,E 为 CD 的中点, 4. 在菱形 ABCD 中,AB ? 1 , 则 AB ? AE 的值是
?

??? ? ??? ?



5. 如图,靠山有一个水库,某人先从水坝的底部 A 测得水坝对面的山顶 P 的仰角为 40 , 再沿坝面向上走 80 米到水坝的顶部 B 测得 ?ABP ? 56 ,若坝面与水平面所成的锐角为
?

30? ,则山高为

米; (结果四舍五入取整)

6. 将序号分别为 1、2、3、4、5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同 一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是 ; (用数字作答)

7. 等差数列 {an } 的公差为 d ,关于 x 的不等式 dx2 ? 2a1 x ? 0 的解集为 [0, 9] ,则使数列

{an } 的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是



2 2 8. 过点 M ( 3, y0 ) 作圆 O : x ? y ? 1 的切线,切点为 N ,如果 ?OMN ?

?
6

,那么 y0 的

取值范围是



9. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2, O 为 AD 的中点,射线 OP 从 OA 出发,绕着点 O 顺 时针方向旋转至 OD ,在旋转的过程中,记 ?AOP 为 x ( x ?[0, ? ]) , OP 所经过的在正方 形 ABCD 内的区域(阴影部分)的面积 S ? f ( x) ,那么对于函数 f ( x ) 有以下三个结论:

? ? ? 3 ;② 对任意 x ? [0, ] ,都有 f ( ? x) ? f ( ? x) ? 4 ; 2 2 2 3 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ③ 对任意 x1 , x2 ? ( , ? ) ,且 x1 ? x2 ,都有 ? 0; 2 x1 ? x2
① f( )? 其中所有正确结论的序号是 ;
1

?

二. 选择题(本大题共 3 题,每题 6 分,共 18 分) 10. “抛物线 y ? ax2 的准线方程为 y ? 2 ”是“抛物线 y ? ax2 的焦点与双曲线 的焦点重合”的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

y2 ? x2 ? 1 3

11. 已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,给出下列四个命题: ① 若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行; ② 若 m, n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行; ③ 若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线; ④ 若 m, n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 其中真命题的个数为( A. 4 B. 3 ) C. 2 D. 1

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? * 12. 已知 i 和 j 是互相垂直的单位向量,向量 an 满足: i ? an ? n , j ? an ? 2n ? 1 , n ? N , ? ?? ? 设 ?n 为 i 和 an 的夹角,则( )
A. B.

?n 随着 n 的增大而增大 ?n 随着 n 的增大而减小

C. 随着 n 的增大, ?n 先增大后减小 D. 随着 n 的增大, ?n 先减小后增大

三. 解答题(本大题共 4 题,共 18+20+20+20=78 分) 13. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边交单位圆于点 A ,且 ? ? [ , ) ,将角 ? 的终边绕原点逆时针方向旋转

? ?

4 2 于点 B ,过 B 作 BC ? y 轴于点 C ;
(1)若点 A 的纵坐标为

? ,交单位圆 3

3 ,求点 B 的横坐标; 2

(2)求△ AOC 的面积 S 的最大值;

2

14. 经过多年的运作, “双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴; 为迎接 2015 年“双十一”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行 促销;经调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量 p (万件)与促销费用 x (万元)

2 (其中 0 ? x ? a ,a 为正常数) , 已知生产该产品还需投入成本 10 ? 2 p 万 x ?1 20 元(不含促销费用) ,每一件产品的销售价格定为 (4 ? ) 元,假定厂家的生产能力完全能 p
满足 p ? 3 ? 满足市场的销售需求; (1) 将该产品的利润 y (万元)表示为促销费用 x (万元)的函数;

(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润的值;

15. 如图,已知动直线 l 交圆 ( x ? 3) ? y ? 9 于坐标原点 O 和点 A ,交直线 x ? 6 于点 B ;
2 2

(1)若 | OB | ? 3 5 ,求点 A 、点 B 的坐标;

(2) 设动点 M 满足 OM ? AB ,其轨迹为曲线 C ,求曲线 C 的方程 F ( x, y) ? 0 ;

???? ?

??? ?

(3) 请指出曲线 C 的对称性、顶点和图形范围,并说明理由;

3

(4)判断曲线 C 是否存在渐近线,若存在,请直接写出渐近线方程;若不存在,说明理由;

16. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且点 (n, Sn ) (n ? N * ) 在函数 y ? 2x?1 ? 2 的图像上; (1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)设数列 {bn } 满足: b1 ? 0 , bn?1 ? bn ? an ,求 {bn } 的通项公式;

(3)在第(2)问的条件下,若对于任意的 n ? N ,不等式 bn ? ?bn?1 恒成立,求实数 ? 的
*

取值范围;

4

参考答案
一. 填空题 1. 3; 6. 96; 2. 单调递增,奇函数; 7. 5; 8. [?1,1] ; 3.

3 ; 4
9. ①②;

4. 1;

5. 176;

二. 选择题 10. A; 11. D; 12. B;

三. 解答题 13.(1) ?

1 3 ?1 ; (2) ; 2 8 4 ; (2) x ? 1 , ymax ? 13 ; x ?1

14.(1) y ? 16 ? x ?

15.(1) A(

24 12 x3 2 , ? ) , B(6, ?3) ; (2) y ? ; 5 5 6? x

(3)关于 x 轴对称;顶点 (0, 0) ; x ? [0, 6) , y ? R ; (4) x ? 6 ; 16.(1) an ? 2n ; (2) n 为奇数, bn ?

2n ? 2 2n ? 2 ; n 为偶数, bn ? ; (3) ? ? 1 ; 3 3

5


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