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2016年陕西省高考数学二模试卷(文科)(解析版)


2016 年陕西省高考数学二模试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 M={x| },函数 f(x)=ln(1﹣ )的定义域为 N,则 M∩N 为( )

A.[ ,1] B.[ ,1) C. (0, ] D. (0, ) 2.已知命题 p:?

x∈R,log3x≥0,则( ) A.¬p:? x∈R,log3x≤0 B.¬p:? x∈R,log3x≤0 C.¬p:? x∈R,log3x<0D.¬p:? x∈R,log3x<0 3.若 tanα= ,则 sin4α﹣cos4α 的值为( A.﹣ B.﹣ C. D. ) )

4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( A. B. C. D. )

5.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是(

A.28π B.32π C.36π D.40π 6. y2=x 的焦点为 F, A y0) 已知抛物线 C: (x0, 是 C 上一点, 若|AF|= x0, 则 x0 等于 ( A.1 B.2 C.4 D.8 7.如果执行如图所示的框图,输入 N=5,则输出的 S 等于( )



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A.

B.

C.

D.

8.在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,O 为 AB 中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取 到的点到点 O 的距离不大于 1 的概率是( ) A. B.1﹣ C. D.1﹣ )

9.曲线 y=e A.

在点(6,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( B.3e2 C.6e2 D.9e2

10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,且 f (α)=1,α∈(0, ) ,则 cos(2 )=( )

A.

B.

C.﹣

D.

11.若 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,? x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有 ,则( )

A.f(3)<f(1)<f(﹣2) B.f(1)<f(﹣1)<f(3) C.f(﹣2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(﹣2)<f(1) 12.若直线 l1:y=x,l2:y=x+2 与圆 C:x2+y2﹣2mx﹣2ny=0 的四个交点把圆 C 分成的四条 弧长相等,则 m=( )
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A.0 或 1

B.0 或﹣1

C.1 或﹣1

D.0

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.设 a 是实数,且 是一个纯虚数,则 a=_______. ,若 a1=1,则 a10=_______.

14.已知正项数列{an}满足 an+1(an+1﹣2an)=9﹣a 15.若向量 =(3,1) , =(7,﹣2) ,则 16.已知 F 是双曲线 C:x2﹣

的单位向量的坐标是_______.

=1 的右焦点,若 P 是 C 的左支上一点,A(0,6

)是 y

轴上一点,则△APF 面积的最小值为_______. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a+c=3 ,b=3. (I)求 cosB 的最小值; =3,求 A 的大小. (Ⅱ)若 18.某种产品的质量以其指标值来衡量,其指标值越大表明质量越好,且指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的指标值,得到了下面的试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 8 20 42 22 8 频数 B 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 4 12 42 32 10 频数 (1)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其指标值 t 的关系式为

y=

,估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方

生产的上述产品平均每件的利润. 19.四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD,AD=PD,E,F 分别为 CD,PB 的中点. (1)求证:EF⊥平面 PAB; (2)设 AB= BC= ,求三棱锥 P﹣AEF 的体积.

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20.设 O 是坐标原点,椭圆 C:x2+3y2=6 的左右焦点分别为 F1,F2,且 P,Q 是椭圆 C 上 不同的两点, (I)若直线 PQ 过椭圆 C 的右焦点 F2,且倾斜角为 30°,求证:|F1P|、|PQ|、|QF1|成等 差数列; (Ⅱ)若 P,Q 两点使得直线 OP,PQ,QO 的斜率均存在.且成等比数列.求直线 PQ 的 斜率. 21.已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 a≤﹣2,证明:对任意 x1,x2∈(0,+∞) ,|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|. 23、 24 三题中任选一题作答, 选做题: 请考生在 22、 如果多做, 则按所做的第一题记分. [选 修 4-1:几何证明选讲] 22.如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C, 过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (Ⅰ)求证:AD∥EC; (Ⅱ)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单 位.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数,0<α<π) ,曲线 C 的极坐标方程

为 ρsin2θ=4cosθ. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 α 变化时,求|AB|的最小值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x+1|﹣2|x|. (1)求不等式 f(x)≤﹣6 的解集; (2)若存在实数 x 满足 f(x)=log2a,求实数 a 的取值范围.

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2016 年陕西省高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 M={x| },函数 f(x)=ln(1﹣ )的定义域为 N,则 M∩N 为( )

A.[ ,1] B.[ ,1) C. (0, ] D. (0, ) 【考点】交集及其运算. 【分析】先分别求出集合 M 和集合 N,然后再求出集合 M∩N. . 【解答】解:集合 M={x| 则 M∩N=[ ,1) , 故选:B. 2.已知命题 p:? x∈R,log3x≥0,则( ) A.¬p:? x∈R,log3x≤0 B.¬p:? x∈R,log3x≤0 C.¬p:? x∈R,log3x<0D.¬p:? x∈R,log3x<0 【考点】复合命题的真假. 【分析】利用命题的否定即可判断出. 【解答】解:命题 p:? x∈R,log3x≥0,则¬p:? x∈R,log3x<0. 故选:C. 3.若 tanα= ,则 sin4α﹣cos4α 的值为( A.﹣ B.﹣ C. D. }=[ ,3) ,函数 f(x)=ln(1﹣ )=[0,1) ,



【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】由条件利用平方差公式、同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值. 【解答】解:∵tan ,则 sin4α﹣cos4α=(sin2α+cos2α)?(sin2α﹣cos2α)=sin2α﹣cos2α

= 故选:B.

=

=﹣ ,

4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( A. B. C. D.



【考点】等比数列的前 n 项和.
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【分析】设等比数列{an}的公比为 q,利用已知和等比数列的通项公式即可得到 ,解出即可. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵S3=a2+10a1,a5=9, ∴ ,解得 .

∴ 故选 C.



5.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是(



A.28π B.32π C.36π D.40π 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可知几何体是一个圆柱和一个圆台的组合体,求解其体积相加即可. 【解答】 解: 图为三视图复原的几何体是一圆台和一个圆柱的组合体, 圆柱的底面半径为 2, 2 高为 2,体积为:2 π?2=8π. 圆台的底面半径为 4,上底面半径为 2,高为 3,体积为: 几何体的体积为:36π. 故选:C. 6. y2=x 的焦点为 F, A y0) 已知抛物线 C: (x0, 是 C 上一点, 若|AF|= x0, 则 x0 等于 ( A.1 B.2 C.4 D.8 =28π,



【考点】抛物线的简单性质. 【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出. 【解答】解:抛物线 C:y2=x 的焦点为 F( ,0) ∵A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|= x0, ∴ x0=x0+ , 解得 x0=1. 故选:A.
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7.如果执行如图所示的框图,输入 N=5,则输出的 S 等于(



A.

B.

C.

D.

【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序框图可知,该程序的功能是计算出输出 S= 【解答】解:n=5 时,k=1,S=0, 第一次运行:S=0+ = ,k=1<5, = ,k=2<5, = ,k=3<5, = ,k=4<5, = ,k=5, 的值.

第二次运行:k=1+1=2,S= 第三次运行:k=2+1=3, 第四次运行:k=3+1=4,S= 第五次运行:k=4+1=5,S= 结束运行,输出 S= . 故选:D.

8.在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,O 为 AB 中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取 到的点到点 O 的距离不大于 1 的概率是( ) A. B.1﹣ C. D.1﹣

【考点】几何概型. 【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出点到 O 的距离不大于 1 的点 对应的图形的面积,并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解.
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【解答】解:已知如图所示: 长方形面积为 2, 以 O 为圆心,1 为半径作圆, 在矩形内部的部分(半圆)面积为 ,

因此取到的点到 O 的距离不大于 1 的概率 P= 故选 A.

=



9.曲线 y=e A.

在点(6,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( B.3e2 C.6e2 D.9e2



【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求出函数的导数,求得切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程,分别令 x=0, y=0 求得与 y,x 轴的交点,运用三角形的面积公式计算即可得到所求值. 【解答】解:y=e 的导数为 y′= e ,

可得在点(6,e2)处的切线斜率为 e2, 即有在点(6,e2)处的切线方程为 y﹣e2= e2(x﹣6) , 即为 y= e2x﹣e2, 令 x=0,可得 y=﹣e2;令 y=0,可得 x=3. 即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ?3?e2= e2. 故选:A. 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,且 f (α)=1,α∈(0, ) ,则 cos(2 )=( )

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A.

B.

C.﹣

D.

【考点】正弦函数的图象. 【分析】由图象可得 A 值和周期,由周期公式可得 ω,代入点( 得解析式,再由 f(α)=1 和同角三角函数基本关系可得. 【解答】解:由图象可得 A=3, 故 f(x)=3sin(2x+φ) ,代入点( 故 sin( +φ)=﹣1, =4( ﹣ ) ,解得 ω=2, +φ)=﹣3, ,k∈Z ) , ,﹣3)可得 φ 值,可

,﹣3)可得 3sin( ,∴φ=2kπ﹣

+φ=2kπ﹣

结合 0<φ<π 可得当 k=1 时,φ= ∵f(α)=3sin(2α+ ∵α∈(0, ∴cos(2 故选:C. ) ,∴2α+ )=﹣

,故 f(x)=3sin(2x+ )= , ) , =﹣ ,

)=1,∴sin(2α+ ∈( ,

11.若 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,? x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有 ,则( )

A.f(3)<f(1)<f(﹣2) B.f(1)<f(﹣1)<f(3) C.f(﹣2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(﹣2)<f(1) 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】根据条件判断函数的单调性,利用函数奇偶性和单调性的关系进行比较即可. 【解答】解:∵? x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有 ∴当 x≥0 时函数 f(x)为减函数, ∵f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数, ∴f(3)<f(2)<f(1) , 即 f(3)<f(﹣2)<f(1) ,
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故选:D 12.若直线 l1:y=x,l2:y=x+2 与圆 C:x2+y2﹣2mx﹣2ny=0 的四个交点把圆 C 分成的四条 弧长相等,则 m=( ) A.0 或 1 B.0 或﹣1 C.1 或﹣1 D.0 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】直线 l1∥l2,且 l1、l2 把⊙C 分成的四条弧长相等,⊙C 可化为(x﹣m)2+(y﹣n) 2 =m2+n2,当 m=0,n=1 时及当 m=﹣1,n=0 时,满足条件. 【解答】解:∵l1:y=x,l2:y=x+2 与圆 C:x2+y2﹣2mx﹣2ny=0, ∴直线 l1∥l2,且 l1、l2 把⊙C 分成的四条弧长相等, 画出图形,如图所示. 又⊙C 可化为(x﹣m)2+(y﹣n)2=m2+n2, 当 m=0,n=1 时,圆心为(0,1) ,半径 r=1, 此时 l1、l2 与⊙C 的四个交点(0,0) , (1,1) , (0,2) , (﹣1,1)把⊙C 分成的四条弧长 相等; 当 m=﹣1,n=0 时,圆心为(﹣1,0) ,半径 r=1, 此时 l1、l2 与⊙C 的四个交点(0,0) , (﹣1,1) , (﹣2,0) , (﹣1,﹣1)也把⊙C 分成的 四条弧长相等; 故选:B.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.设 a 是实数,且 是一个纯虚数,则 a=﹣2.

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值. 【解答】解:∵ ∴ = 是纯虚数,

,解得 a=﹣2.

故答案为:﹣2.

14.已知正项数列{an}满足 an+1(an+1﹣2an)=9﹣a

,若 a1=1,则 a10=28.

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【考点】数列递推式. 【分析】由已知数列递推式变形得到 an+1﹣an=3,即数列{an}是公差为 3 的等差数列,求出 等差数列的通项公式得答案. 【解答】解:由 an+1(an+1﹣2an)=9﹣ , 即 ,∴an+1﹣an=±3, ,得

又数列是正项数列,∴an+1﹣an=3, 即数列{an}是公差为 3 的等差数列, ∵a1=1, ∴an=a1+(n﹣1)d=1+3(n﹣1)=3n﹣2, 则 a10=3×10﹣2=28. 故答案为:28.

15.若向量 =(3,1) , =(7,﹣2) ,则 【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】求出向量 ,从而求出

的单位向量的坐标是(﹣ , ) .

的单位向量的坐标即可.

【解答】解:∵向量 =(3,1) , =(7,﹣2) , 则 由 =(﹣4,3) , =5,

得单位向量的坐标是(﹣ , ) , 故答案为: (﹣ , ) .

16.已知 F 是双曲线 C:x2﹣

=1 的右焦点,若 P 是 C 的左支上一点,A(0,6

)是 y

轴上一点,则△APF 面积的最小值为 6+9 . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求得双曲线的焦点,直线 AF 的方程以及 AF 的长,设直线 y=﹣2 x+t 与双曲线 相切,且切点为左支上一点,联立双曲线方程,消去 y,由判别式为 0,求得 m,再由平行 直线的距离公式可得三角形的面积的最小值. 【解答】解:双曲线 C:x2﹣ 由 A(0,6 |AF|= =1 的右焦点为(3,0) , x+6 ,

) ,可得直线 AF 的方程为 y=﹣2 =15,

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设直线 y=﹣2 联立

x+t 与双曲线相切,且切点为左支上一点, ,可得 16x2﹣4 tx+t2+8=0,

由判别式为 0,即有 96t2﹣4×16(t2+8)=0, 解得 t=﹣4(4 舍去) , 可得 P 到直线 AF 的距离为 d= = , ×15=6+9 .

即有△APF 的面积的最小值为 d?|AF|= × 故答案为:6+9 .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a+c=3 ,b=3. (I)求 cosB 的最小值; =3,求 A 的大小. (Ⅱ)若 【考点】平面向量数量积的运算;正弦定理;余弦定理. 【分析】 (I)根据基本不等式求出 ac 的最大值,利用余弦定理得出 cosB 的最小值; (II)利用余弦定理列方程解出 a,c,cosB,使用正弦定理得出 sinA. 【解答】解: (I)在△ABC 中,由余弦定理得 cosB= =

= ∵ac≤( ∴当 ac=

. )2= .

时,cosB 取得最小值 .

(II)由余弦定理得 b2=a2+c2﹣2accosB. =accosB=3. ∵ 2 2 ∴9=a +c ﹣6,∴a2+c2=15. 又∵a+c=3 ,∴ac=6. ∴a=2 ,c= 或 a= ,c=2 . ∴cosB= ,sinB= 由正弦定理得 ∴sinA= ∴A= 或 A= =1 或 . . . ,

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18.某种产品的质量以其指标值来衡量,其指标值越大表明质量越好,且指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的指标值,得到了下面的试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 8 20 42 22 8 频数 B 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 4 12 42 32 10 频数 (1)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其指标值 t 的关系式为

y=

,估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方

生产的上述产品平均每件的利润. 【考点】互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式. 【分析】 (1)根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数,两个求比值,得到用两种配方 的产品的优质品率的估计值. (2)根据题意得到变量对应的数字,结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的 概率,写出分布列和这组数据的期望值. 【解答】解: (1)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的频率为 ∴用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 =0.42 =0.3

∴用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42; (2)用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间 [90,94) ,[94,102) ,[102,110]的频率分别为 0.04,0.54,0.42, ∴P(X=﹣2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42, 即 X 的分布列为 X 2 4 ﹣2 P 0.04 0.54 0.42 ∴X 的数学期望值 EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68. 19.四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD,AD=PD,E,F 分别为 CD,PB 的中点. (1)求证:EF⊥平面 PAB; (2)设 AB= BC= ,求三棱锥 P﹣AEF 的体积.

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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)取 PA 中点 G,连结 FG,DG,由题意可得四边形 DEFG 为平行四边形,得到 EF∥DG 且 EF=DG,再由 PD⊥底面 ABCD,可得平面 PAD⊥平面 ABCD,进一步得到平面 PAB⊥平面 PAD,由 PD=AD,PG=GA,可得 DG⊥PA,而 DG? 平面 PAD,得到 DG⊥平 面 PAB,从而得到 EF⊥平面 PAB; (2)连接 PE,BE,可得 ,求解直角三角形得到 PD=1,然后利用等

积法把三棱锥 P﹣AEF 的体积转化为 B﹣AEF 的体积求解. 【解答】 (1)证明:取 PA 中点 G,连结 FG,DG, 由题意可得 BF=FP,则 FG∥AB,且 FG= 由 CE=ED,可得 DE∥AB 且 DE= , ,

则 FG=DE,且 FG∥DE, ∴四边形 DEFG 为平行四边形,则 EF∥DG 且 EF=DG, 又 PD⊥底面 ABCD,∴平面 PAD⊥平面 ABCD, 又∵AB⊥AD,∴AB⊥平面 ABD, 则平面 PAB⊥平面 PAD, 由 PD=AD,PG=GA,可得 DG⊥PA,而 DG? 平面 PAD, ∴DG⊥平面 PAB, 又 EF∥DG,得 EF⊥平面 PAB; (2)解:连接 PE,BE,则 ∵AB= BC= , ∴BC=1,则 PD=1, ∴VP﹣AEF=VB﹣AEF= = . = = ,

20.设 O 是坐标原点,椭圆 C:x2+3y2=6 的左右焦点分别为 F1,F2,且 P,Q 是椭圆 C 上 不同的两点,
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(I)若直线 PQ 过椭圆 C 的右焦点 F2,且倾斜角为 30°,求证:|F1P|、|PQ|、|QF1|成等 差数列; (Ⅱ)若 P,Q 两点使得直线 OP,PQ,QO 的斜率均存在.且成等比数列.求直线 PQ 的 斜率. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (I)求得椭圆的 a,b,c,设出直线 PQ 的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和 弦长公式可得|PQ|,再由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a,由等差数列的中项的性 质,可得结论; (Ⅱ)设出直线 PQ 的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于 0,由等比数列的 中项的性质,结合直线的斜率公式,化简整理,解方程即可得到直线 PQ 的斜率. 【解答】解: (I)证明:x2+3y2=6 即为 + =1,

即有 a=

,b=

,c=

=2,

由直线 PQ 过椭圆 C 的右焦点 F2(2,0) ,且倾斜角为 30°, 可得直线 PQ 的方程为 y= (x﹣2) ,

代入椭圆方程可得,x2﹣2x﹣1=0, 即有 x1+x2=2,x1x2=﹣1, 由弦长公式可得|PQ|= = ? = , , ?

由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4 可得|F1P|+|QF1|=4 ﹣ =

=2|PQ|,

则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列; (Ⅱ)设直线 PQ 的方程为 y=kx+m,代入椭圆方程 x2+3y2=6, 消去 y 得: (1+3k2)x2+6kmx+3(m2﹣2)=0, 则△=36k2m2﹣12(1+3k2) (m2﹣2) =12(6k2﹣m2+2)>0, x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

故 y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2, ∵直线 OP、PQ、OQ 的斜率依次成等比数列, ∴ ? = =k2,

即 km(x1+x2)+m2=0,即有﹣

+m2=0,

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由于 m≠0,故 k2= , ∴直线 PQ 的斜率 k 为± .

21.已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 a≤﹣2,证明:对任意 x1,x2∈(0,+∞) ,|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)先求出函数的定义域,然后对函数 f(x)进行求导,根据导函数大于 0 时原 函数单调递增、导函数小于 0 时原函数单调递减对 a 分 3 种情况进行讨论. (2)先根据 a 的范围对函数 f(x)的单调性进行判断,然后根据单调性去绝对值,将问题 转化为证明函数 g(x)=f(x)+4x 的单调性问题. 【解答】解: (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞) , 当 a≥0 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)单调增加; 当 a≤﹣1 时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,+∞)单调减少; 当﹣1<a<0 时,令 f′(x)=0,解得 x= x∈( ,+∞)时,f′(x)<0, )单调增加,在( ,+∞)单调减少. .当 x∈(0, )时,f′(x)>0; .

故 f(x)在(0,

(Ⅱ)不妨假设 x1≤x2.由于 a≤﹣2,故 f(x)在(0,+∞)单调递减. 所以|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|等价于 f(x1)﹣f(x2)≥4x2﹣4x1, 即 f(x2)+4x2≤f(x1)+4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则 +4= .

于是 g′(x)≤

=

≤0.

从而 g(x)在(0,+∞)单调减少,故 g(x1)≥g(x2) , 即 f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+∞) ,|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣ x2|. 23、 24 三题中任选一题作答, 选做题: 请考生在 22、 如果多做, 则按所做的第一题记分. [选 修 4-1:几何证明选讲] 22.如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C, 过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (Ⅰ)求证:AD∥EC; (Ⅱ)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.

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【考点】圆的切线的性质定理的证明;直线与圆相交的性质;直线与圆的位置关系;与圆有 关的比例线段. 【分析】 (I)连接 AB,根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D,又根据同弧 所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E,等量代换得到∠D=∠E,根据内错角相等得到两直线 平行即可; (II)根据切割线定理得到 PA2=PB?PD,求出 PB 的长,然后再根据相交弦定理得 PA?PC=BP?PE,求出 PE,再根据切割线定理得 AD2=DB?DE=DB?(PB+PE) ,代入求出即 可. 【解答】解: (I)证明:连接 AB, ∵AC 是⊙O1 的切线, ∴∠BAC=∠D, 又∵∠BAC=∠E, ∴∠D=∠E, ∴AD∥EC. (II)∵PA 是⊙O1 的切线,PD 是⊙O1 的割线, ∴PA2=PB?PD, ∴62=PB?(PB+9) ∴PB=3, 在⊙O2 中由相交弦定理,得 PA?PC=BP?PE, ∴PE=4, ∵AD 是⊙O2 的切线,DE 是⊙O2 的割线, ∴AD2=DB?DE=9×16, ∴AD=12 [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单 位.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数,0<α<π) ,曲线 C 的极坐标方程

为 ρsin2θ=4cosθ. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 α 变化时,求|AB|的最小值. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)利用 即可化为直角坐标方程;

(2)将直线 l 的参数方程代入 y2=4x,利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即 可得出. 【解答】解: (I)由 ρsin2θ=4cosθ,得(ρsinθ)2=4ρcosθ,
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∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x. (II)将直线 l 的参数方程代入 y2=4x,得 t2sin2α﹣4tcosα﹣4=0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2, 则 t1+t2= ,t1t2=﹣ ,

∴|AB|=|t1﹣t2|= 当 α= 时,|AB|的最小值为 4.

=

=



[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x+1|﹣2|x|. (1)求不等式 f(x)≤﹣6 的解集; (2)若存在实数 x 满足 f(x)=log2a,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)通过讨论 x 的范围,求出不等式的解集即可; (2)求出 f(x)的最大值,问 题转化为 ≤1,解出即可.

【解答】解: (1)x≥0 时,f(x)=x+1﹣2x=﹣x+1≤﹣6, 解得:x≥7, ﹣1<x<0 时,f(x)=x+1+2x≤﹣6,无解, x≤﹣1 时,f(x)=﹣x﹣1+2x≤﹣6, 解得:x≤﹣7, 故不等式的解集是{x|x≥7 或 x≤﹣7}; (2)x≥0 时,f(x)=﹣x+1≤1, ﹣1<x<0 时,f(x)=3x+1,﹣2<f(x)<1, x≤﹣1 时,f(x)=x﹣1≤﹣2, 故 f(x)的最大值是 1, 若存在实数 x 满足 f(x)=log2a, 只需 ≤1 即可,解得:0<a≤2.

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2016 年 9 月 8 日

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