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山东省菏泽市2015-2016学年高二数学上学期期中试题B卷


山东省菏泽市 2015-2016 学年高二数学上学期期中试题 B 卷
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟. 2. 将第Ⅰ卷的答案用 2B 铅笔涂到答题卡上. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答到答题纸的指定位置上. 4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.在等差数列 {an } 中,若 a2 ? 4 , a5 ? 1 ,则 a9 ? ( A. ?4 B. ?3 C. ? 2 ) D. ? 1

2. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a ,b ,c ,已知 a ? 2 3 ,b ? 2 2 , B ? 45? , 则 A 等于( ) B.60° C.60°或 120° D.30° ) D.255

A.30°或 150°

3. 设等比数列{an}的前 n 项和为Sn,已知 a1 ? 1 , q ? 2 ,则 S10 ? ( A.1023 B.2047 C.511 )

4.若 a , b , c ? R ,则下列结论中正确的是(
2 2 A.若 a ? b ,则 a ? b

2 2 B.若 a ? b ,则 ac ? bc

C.若 ac ? bc ,则 a ? b

D.若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ) D.72

5. 已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a5 ? 7 ,则 S9 ? ( A.45 B.53 C.63

6. 已知公差不为零的等差数列 ?an ? ,若 a 5 , a 9 , a15 成等比数列,则

a15 等于( a9



A.

2 3

B.

3 4

C.

4 3

D.

3 2


7. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ?
1 2

an ?1 ( n ? 3 ,且 n ? N ? ) ,则 a2015 ? ( an ? 2
D. 2 ?2015

A.

B.1

C.2

1

8.下列各函数中,最小值为 2 的是( A. y ? x ?

) B. y ? sin x ?

1 x
1 x ?2
2

1 ? (其中 0 ? x ? ) sin x 2

C. y ? x 2 ? 2 ?

D. y ? 3x ? 3? x

9.在等差数列 ?an ? 中,若 S9 ? 18 , an ? 4 ? 30 ( n ? 9 ) ,且 Sn ? 240 ,则 n ? ( A.13 B.14 C.15 D.16



10.在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a , b, c ,若 sin 2 C ? cos2 C ? 式正确的是( A. a ? b ? 2c C. a ? b ? 2c ) B. a ? b ? 2c D. a ? b ? 2c 第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

1 ,则下列各 2

11. 若三个正数 a , b , c 成等比数列,其中 a ? 5 ? 2 3 , c ? 5 ? 2 3 ,则 b=_________.
? x ? 2 y ? 0, ? 12. 若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则目标函数 z ? x ? y 的最小值为__________. ? x ? 2 y ? 2, ?

13. 在△ABC 中,若 a ? 7 , b ? 8 , c ? 9 ,则

sin 2 A ? ____________. sin C

14. 某公司一年内购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,每次运费均为 4 万元,一年的总 存 储 费 用 为 4x 万 元 , 要 使 一 年 内 的 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和 最 小 , 则 x 应 为 __________吨. 15.有下列四个命题: ① 在△ABC 中, a 、 b 分别是角 A、B 所对的边,若 a ? b ,则 sin A ? sin B ; ② 若 a ? b ,则 ?

1 1 ?? ; a b

③ 在正项等比数列 {an } 中,若 a4 a5 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ??? ? log3 a8 ? 8 ; ④ 若关于 x 的不等式 mx 2 ? mx ? 1 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是 [0, 4) . 其中所有正确命题的序号为____________. 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

16. (12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a , b , c ,已知 a ? 3 , b ? 2 6 ,

B ? 2A .
(1)求 cosA 的值; (2)求 c 的值.

17. (12 分)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,已知 a3 ? ?12 , a7 ? ?4 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 及其最小值.

18. (12 分)已知关于 x 的不等式 kx2 ? (1 ? k ) x ? 1 ? 0 (其中 k ? R ). (1)若 k ? ?3 ,解上述不等式; (2)若 k ? 0 ,求解上述不等式.

19. (12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,且满足

cos B b . ?? cos C 2a ? c
(1)求 B 的大小; (2)若 a ? 2 , S ? 3 ,求△ABC 的周长.

20. (13 分)设 ?an ? 是一个公差不为零的等差数列,其前 n 项和为 Sn ,已知 S9 ? 90 ,且 a1 ,

a2 , a4 成等比数列.
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an an ?1

3

21. ( 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? a1 ,且 a1 , a3 ? 1 , a4 成等差数列, 令 bn ? log 2 an . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 cn ?

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

2015 年 11 月高二期中考试数学参考答案

一选择题: 1—5

BC ADC

6—10

D ADC B

二、填空题: 11.
13

12. ?3

13.

28 27

14. 20

15. ①③④

三、解答题: 16. 解: (1)因为 a ? 3 , b ? 2 6 , B ? 2 A . 所以在 ?ABC 中,由正弦定理,可得

3 2 6 ? . sin A sin 2 A

所以

2sin A cos A 2 6 ? . sin A 3
6 . 3 6 , 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

故 cos A ?

(2)由(1)可知 cos A ?

所以 sin A ? 1 ? cos A ?
2

3 . 又因 B ? 2 A , 3

4

所以 cos B ? 2 cos A ? 1 ?
2

1 . 3

所以 sin B ? 1 ? cos B ?
2

2 2 . 3 5 3 . 9

在 ?ABC 中, sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 由正弦定理,可得

a sin C a sin C c? ? ? sin A sin A

3?

5 3 9 ? 5. 3 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

17.解:⑴ 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由题意可得 a7 ? a3 ? 4d ? ?4 ? (?12) ? 8 , 所以 d ? 2 . 故 an ? a3 ? (n ? 3)d ? ?12 ? 2(n ? 3) ? 2n ?18 , 即 an ? 2n ? 18 . ⑵ 因为 an ? 2n ?18 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

n(a1 ? an ) n[?16 ? (2n ? 18)] ? ? n 2 ? 17n . 2 2 17 2 17 2 2 由于 Sn ? n ? 17n ? (n ? ) ? ( ) , 2 2
所以 S n ? 由于 n ? N , 所以,当 n ? 8 或 n ? 9 时, Sn 取得最小值为 S8 ? S9 ? ?72 . 故数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?17n , Sn 的最小值为 ?72 .
2 18. 解:⑴ 若 k ? ?3 ,则有 ?3x ? 2 x ? 1 ? 0 ,

?

. . . . . . . . . . . . .12 分

即 3x ? 2 x ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 1)(3x ? 1) ? 0 ,
2

解之得 x ? ? ,或 x ? 1 , 故原不等式的解集为 (??, ? ) U (1, ??) .

1 3

1 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

⑵ 若 k ? 0 ,则原不等式可化为 k ( x ? 1)( x ? ) ? 0 ,由于 k ? 0 ,

1 k

5

所以 ( x ? 1)( x ? ) ? 0 .

1 k

1 1 ? 1 ,不等式 ( x ? 1)( x ? ) ? 0 无解; k k 1 1 1 ② 当 0 ? k ? 1 时, ? 1 ,由 ( x ? 1)( x ? ) ? 0 ,可得 1 ? x ? ; k k k 1 1 1 ③ 当 k ? 1 时, ? 1 ,由 ( x ? 1)( x ? ) ? 0 ,可得 ? x ? 1 . k k k
① 当 k ? 1 时, 综上所述,可知: 当 0 ? k ? 1 时,原不等式的解集为 (1, ) ;当 k ? 1 时,原不等式的解集为 ? ;当 k ? 1 时,原不等式的解集为 ( ,1) . 19. 解: (1)在 ?ABC 中,由正弦定理及

1 k

1 k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

cos B b ?? ,可得 cos C 2a ? c

cos B sin B ?? , cos C 2sin A ? sin C
即 cos B(2sin A ? sin C ) ? ? sin B cos C , 整理,可得 2sin A cos B ? cos B sin C ? ? sin B cos C

?2sin A cos B ? sin( B ? C) ? sin A ,
由于 sin A ? 0 所以 cos B ? ?

因为 0 ? B ? ? , 所以 B ?

1 , 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

2? . 3

(2)由 a ? 2 , B ? 从而 c ? 2 ,

2? 1 , S ? ac sin B ? 3 ,可得 ac ? 4 , 3 2
2 2 2

由余弦定理,可得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 12 , 所以 b ? 2 3 , 所以 a ? b ? c ? 4 ? 2 3 , 故 ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 4 ? 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

20. 解:⑴ 设等差数列 ?an ? 的公差为 d (d ? 0) ,则 a2 ? a1 ? d , a4 ? a1 ? 3d ,
2 由 a1 , a2 , a4 成等比数列,可得 a2 ? a1a4 ,

6

即 (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) , 整理,可得 a1 ? d . 由 S9 ? 9a1 ?

9?8 d ? 90 ,可得 a1 ? d ? 2 , 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n . ⑵ 由于 an ? 2n , 所以 bn ? 从而 Tn ?

1 1 1 1 ? ( ? ), 4n(n ? 1) 4 n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )] ? ? ? , 4 1 2 2 3 3 4 n n ?1 4 n ? 1 4n ? 4 n 即数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 分 4n ? 4 21.解: (1)由题意,可知 Sn ? 2an ? a1 ,
从而 Sn?1 ? 2an?1 ? a1 (n ? 2) , 上述两式相减,可得 Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 , 即 an ? 2an ? 2an?1 , 所以 an ? 2an?1 (n ? 2) , 从而 a2 ? 2a1 , a3 ? 2a2 ? 4a1 , a4 ? 2a3 ? 8a1 , 又因为且 a1 , a3 ? 1, a4 成等差数列, 所以 a1 ? a4 ? 2(a3 ? 1) ,即 a1 ? 8a1 ? 2(4a1 ? 1) , 解之得 a1 ? 2 , 又 an ? 2an?1 (n ? 2) , 所以数列 ?an ? 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列, 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 ? 2 (2)由(1) ,可知 cn ? 所以 Tn ?
n ?1

? 2n .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

n n ? n, an 2


1 2 3 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 1 以上等式两边同乘以 ,可得 2

7

1 1 2 n ?1 n Tn ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2
由① ? ②,可得得



1 1 n [1 ? ( ) ] n 1 n 1 1 1 1 1 n 2 2 ? n?1 ? 1 ? ( ) n ? n?1 Tn ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n?1 ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 1 n n?2 ? 1 ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 , 2 2 2 n?2 所以 Tn ? 2 ? n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 分 2

8


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