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3.1.1 平均变化率


问题情境1

想一想

(1)在经营某商品中,甲用5年时间挣到10 万元,乙用5个月时间挣到2万元,如何 比较和评价甲,乙两人的经营成果?

本题说明:△y与△t中仅比较一个量的 变化是不科学的.

交流与讨论 问题情境2

过山车是一项富有刺激性的娱乐工
具。那种风驰电掣、有惊无险的快感令不 少人着迷。

交流与讨论
容易看出点B,C之间的曲线较 点A,B之间的曲线更加“陡 ●C 峭”如何量化陡峭程度呢? .

yC ? yB k? xC ? xB

y
●B ●A

该比值近似量化B,C之间 这一段曲线的陡峭程度. 称该比值为曲线在B,C之 间这一段平均变化率.

o

x

自主学习讨论教材72——73页
在吹气球的过程中, 越来越难吹. 从数学的 角度, 如 何描述这种现 象呢?

气球平均膨胀率

高台跳水某时间 段内的平均速度

气球体积V与半径r 之间的函数关系是 若将 r 表示为V的函数, 那么
3

4 V(r ) ? ? r 3 . 3
3V . 4?

r ( V) ?

当空气容量V从0L增加到1L 气球的平均膨胀率 为

r (1) ? r (0) ? 0.62(dm/L ), 1? 0
r (2) ? r (1) ? 0.16(dm/L ), 2 ?1

当空气容量V从1L增加到2 L , 气球平均膨胀率

随着气球 体积逐渐 变大,它 的平均膨 胀率逐渐 变小

问题4

高台跳水运动中,运动员相对于水面的

高度是h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10

求0 ? 0.5秒的平均速度
h ? 0.5 ? ? h ? 0 ? v? ? 4.05 0.5 ? 0

在1~2S的平均速度
h(2) ? h(1) v? ? ?8.2m / s 2 ?1

思考?
1.当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1 2.高台跳水中,当时间从t1增加到t2时, 平均速度是多少?

建构数学理论
平均变化率的定义:
一般地,函数 f ( x)在区间 [ x1 , x2 ] 上的平均变化率为

?y f ( x ) ? f ( x ) 2 1 ? ?x x2 ? x1

(1)△x:一个整体符号 自变量增量 = x2 – x

(2)△y: 函数值增量△y= f (x2 ) – f (x1) ,

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) (3)求比值 ? ?x x2 ? x1

数学应用
练习1、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算 在区间[-3,-1]上 f(x)及g(x) 的平均变化率.

?y f ( x ) ? f ( x ) 2 1 ? ?x x2 ? x1
变式:已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x分别计算在区 间 [0,5]上 f(x)及g(x) 的平均变化率. 思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化 率有什么特点?

说明:(1)平均变化率的实质就是:曲线y=f(x)上B、C (x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点割线的斜率. (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”, 或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化” ●C .

y
●B ●A

曲线在B,C之间这一 段平均变化率为:
yC ? yB k? xC ? xB
也即直线BC的斜率。

o

x

几何意义

练习2:质点运动规律为 s ? t ? 3 , 求 质点在时 间 (3 , 3 ? ?t ) 内的平均速度
2

变式:物体按照 s(t ) ? 3t ? t ? 4 的规律作直线运动, 求在4s 附近的平均变化率
2

例3.过曲线 y ? f(x ) ? x 上两点 P(1,1) 和 Q(1 ? ?x,1 ? ?y) 作曲 线的割线, 求出当 ?x ? 0.1 时割线的斜率.
2

小结回顾
这节课我的收获是什么?
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?y ? 1.平均变化率的定义: ?x x1 ? x2
2.平均变化率的意义: 3.求平均变化率的步骤: 4.思想方法:

理解△x, △y : (1) △x = x2 – x1

x2 = x1+ △x

?y ? ?x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f(x 1 ? ?x ) ? f(x 1 ) ? ?x x2 ? x1

式子中△x 可正、可负, 但的△x值不能为0, △y的值可正、可负也可以为0


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