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函数的零点


方程解法史话 在人类用智慧架设 的无数座从未知通向已 知的金桥中,方程的求 解是其中璀璨的一座, 虽然今天我们可以从教 科书中了解各式各样方 程的解法,但这一切却 经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已 比较系统地解决了部分 方程的求解的问题。如 约公元50年—100年编成 的《九章算术》,就给 出了求一次方程、二次 方程和三次方程根的具 体方法…

前面两

章我们学习 了函数的知识,那么函 数和方程有什么关系呢? 面对一个实际问题,我 们又该选择什么函数模 型来加以解决呢?这正 是第三章《函数的应用》 所要解决的问题!让我 们从下面的问题开始吧!

问题· 探究

我的根是0.5

问题 1 求下列方程的根. (1) 2 x ? 1 ? 0 ; (2) x ? 2 x ? 3 ? 0 ;
2

我的根是3和-1

(3) ln x ? 2 x ? 6 ? 0
我的根有点难度, 等你们学完这节 你们就会了!!!

问题2:求下面这个方程的实数根

ln x ? 2 x ? 6 ? 0

怎么解呢?

怎么解一般的方程 f ( x) ? 0 ?
转换角度!用函数的思想去解决方程的问题。 即:通过研究相应函数去解方程。

问题3

方 程 f ( x) ? 0 的 根 与 函 数

y ? f ( x) 之间有什么样的关系呢?
先观察几个具体的方程及其相应的函数.

思考探究一
求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次函数图像的 简图,并写出函数的图象与x轴的交点坐标. 方程 函数
方程的实数根

x2-2x-3=0 y= x2-2x-3 x1=-1,x2=3
y
2 1
-1

x2-2x+1=0 y= x2-2x+1 x1=x2=1
y
2

x2-2x+3=0 y= x2-2x+3 无实数根
y
5 4 3 2 1

函 数 的 图 象
函数的图象 与x轴的交点

0

-1 -2

1 2

3

x
-1

1

-3 -4

0

1

2

x

-1

0

1

2

3

x

(-1,0)、(3,0)

(1,0)

无交点

思考:从该表你可以得出什么结论?
上述一元二次方程的实数根?二次函数图象与x轴交点的横坐标

推广:一般的一元二次方程及相应二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象与x轴交点的关系,结论是否仍然成立?(我们以a>0为例)

结论:一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴 交点的横坐标.
判别式△ = b2-4ac △>0
y

△=0
y
x2 x

△<0
y

函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象

x1

0

0

x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x = x2 (a>0)的根 1

没有实数根

其他函数与方程之间也有同样结论吗?
y Y=f(x)

x1

x2

0

x3

x4

x

推广到更一般的情况,得:

方程f(x)=0的实数根 ?函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标

一.函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 例1:函数f(x)=x(x2-4)的零点为 ( D ) A.(0,0),(2,0) B.0,2 C.(–2,0),(0,0),(2,0) D.–2,0,2
温馨 提示1

函数的零点是实数,而不是点。 求函数的零点就是求函数所对应方程的根。

温馨 提示2

问题4:函数y=f(x)的零点与方程f(x)=0的根有什么联系

和区别?
1、联系:①数值上相等 ②存在性相同:函数y=f(x)有零点 ? 方程f(x)=0有实数根 ? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点

2、区别:零点对于函数而言,根对于方程而言.

思考1:知道了问题4后,大家来想想求函数的零点有 哪几种方法 ?

代数法

图像法

牛刀小试 1.函数y=f( x)的图象如下, 则其零点为 -2,1,3 .
y ?2 O 1 3 x

牛刀小试
练习2:求下列函数的零点 (1)f(x)=lgx-1; (2)f(x)= x2 -2x-3 (3)f(x)= 3x +1
不好意思,我没有 零点,你答对了吗? 我的零点 是10 我的零点是-1和 3

问题5:在怎样的条件下,函数y=f(x)在区间[a,b]上存 在零点?

思考探究二 问题5:在怎样的条件下,函数y=f(x)在区间[a,b]上存 在零点? 探究:
y

观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象: 在区间[-2,1]上有零点______ -1 ; 2 1 5 -4 , f(-2)=_______ ,f(1)=_______ -2 -1 O 1 2 3 4 x f(-2)· f(1)_____0 (“<”或“>”). < -1 -2 在区间(2,4)上有零点______ 3 ; -3 f(2)· f(4)____0 < (“<”或“>”). -4

观察函数的图象并填空: < ①在区间(a,b)上f(a)· f(b)_____0(“ <”或 有 “>”). 在区间(a,b)上______(有/< 无)零点; ② 在区间(b,c)上f(b有 )· f(c) _____ 0(“<”或 < “>”). 有 有/无)零点; y 在区间(b,c)上______( ③ 在区间(c,d)上f(c)· f(d) _____ 0(“<”或” >”). a 在区间(c,d)上______(有/无)零点;
O
b

c d x

思考探究二

若函数y = f(x)在区间[a, b]上有定 义,而且满足f ? a? ? f ? b? <0, 则函数 y = f ? x? 在区间 ? a, b?内一定存在零点吗?
y y 0 a

0 a y 0a
b

b x

b

x

x

二、函数零点存在性定理: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断 的一条曲线,并且f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x) 在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。
问题:为什么是开区间 (a,b)内有零点,而不是 闭区间[a,b]上有零点?

(1)两个前提条件缺一不可
(2)“有零点”是指有几个零点呢?只有一个吗?
至少有一个,可以有多个。

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断的一条 曲线,并且f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 内 有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程 f(x)=0的根。 (3)再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢? 连续不断 如果函数 y ? f ( x)在区间?a, b?上的图象是 那么 的一条曲线,并且 f(a)· f(b)<0,并且是单调函数,

y ? f ( x)在区间 (a,b)内有且只有一个零点。
y

0 a

b x

(4) 若函数y= f( x ) 在区间(a, b)内有零点,一 定能得出f( a )· f( b )<0的结论吗?

y

反之不成立!
bbb

0

a

bb

bb

b b bb x

b

(5)定理的作用:判定零点的存在,并找出 零点所在的区间。

练习2:

练习1:在下列哪个区间内,函数f (x)= x3+3x-5 一定有零点( C ) A、(-1,0) B、(0,1) C、(1,2) D、(2,3) 练习2:已知函数f(x)的图象是连续不断的, 且有如下的x ,f(x)对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7 –7 11 –5 –12 –26 f(x) 23 9 那么该函数在区间[1,6]上有( B )零点. A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定

例1 求函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6的零点个数 函数f(x)=lnx+2x-6的图像与x轴交点的个数。
解法1:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4

-1.3069 1.0986

3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

y 由上表和右图可知 f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)· f(3)<0,14 12

说明这个函数在区间(2,3)内 有零点。

10 8 6 4 2

由于函数f(x)在定义域 . 3 4 5 6 7 8 9 10 x 0 1 2 (0,+∞)内是增函数,所以 -2 -4 . 它仅有一个零点。 -6 思考2:如何说明函数在(0,+∞)内是增函数?

. . 思考1:如何说明 . 函数零点的个数? . .

.

.

例1 求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数。
解法2:函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数 方程lnx+2x-6=0根的个数 方程lnx=-2x+6根的个数
y 6 5 4 3 2 1 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 4 5 x

函数y=lnx与y=-2x+6图像交点的个数, 且交点的横坐标就是方程的根

例2:已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个不相等的 正根,求实数m的取值范围。 变1:已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都大 于2,求实数m的取值范围。 变2:已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都小 于2,求实数m的取值范围。

变3:已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根,一 个小于2,另一个大于2,求实数m的取值范围。 变4:已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根,且 x1、x2∈(-1,3),求实数m的取值范围。

二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的实根分布问题
记 f(x)=ax2+bx+c(a>0), b x1+x2=- a >0 c ⑴方程 f(x)=0 有两正根 ? x1x2= a >0 ? △=b2-4ac≥0. b x1+x2=- a <0 c ⑵方程 f(x)=0 有两负根 ? x1x2= a >0 ? △=b2-4ac≥0.
⑶方程 f(x)=0 有一正根一负根 ?f(0)=c<0. ⑷方程 f(x)=0 的两实根都小于 k ? △=b2-4ac≥0
△=b2-4ac≥0

b >0 -2 a
f(0)>0.

△=b2-4ac≥0

b <0 -2 a
f(0)>0.

b <k -2 a f(k)>0.

⑸方程 f(x)=0 的两实根一个大于 k, 另一个小于 k ? f(k)<0.

⑹方程 f(x)=0 的两实根都大于 k ? △=b2-4ac≥0

b >k -2 a

b <n m< - 2 a 2-4ac≥0 △ = b ⑺方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内 ? f(m)>0 f(n)>0. ⑻方程 f(x)=0 的两实根中, 有且只有一个在区间(m, n)内. f(n)=0 f(m)=0 ? f(m)f(n)<0, 或 b < m+ n , 或 m+ n b < n. m< - 2 < a 2 2a 2 f(k)>0.
⑼方程 f(x)=0 的两根分别在区间(m, n)和(p, q)(n<p)内.

f(m)>0 注 涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分 f ( n )<0 ? f(p)<0 布问题, 一般情况下要从四个方面考虑: f(q)>0. ① f(x) 图象的开口方向; ②方程 f(x)=0的判别式; ③ f(x) 图象的对称轴与区间的关系; ④区间端点处函数值的符号.

练一练
1.已知方程x +(m-2)x+2m-1=0 有且仅有一实根 在(0,1),求m的取值范围。 2.已知方程x +(m-2)x+2m-1=0 较大根在(0,1), 求m的取值范围。 3.已知方程x +(m-2)x+2m-1=0 较小根在(0,1), 求m的取值范围 变3.已知方程x +(m-2)x+2m-1=0 有根在(0,1), 求m的取值范围
2 2 2 2

4. 关 于 x 的 方 程 x2+(a2-1)x+(a-2)=0 的 一 根比1大,另一根比1小,则有( C ) (A)-1<a<1 (B)a<-2或a>1 (C)-2<a<1 (D)a<-1或a>2

例3. 已知方程(m-1)x2+mx-1=0至少有一个 正根,求实数m的范围.
解: 若m-1=0,方程为x-1=0,x=1符合条件. 若m-1≠0,设f(x)=(m-1)x2+mx-1.

∵ f(0)=-1≠0, ∴ 方程f(x)=0无零根.
如方程有异号两实根,则x1x2<0,m>1. 如方程有两个正实根,则:
Δ=m2+4(m-1)≥0, m≥-2+
?1 >0, m ?1 m x1+x2=- >0, m ?1

2或 2m≤-2-

,2 2

x1 x2 =

m<1,

0<m<1.

由此得,实数m的范围是m≥ 2 2 -2. ∴ 2 2-2≤m<1.

知识巩固练习: 1、对于定义在R上的连续函数y=f(x),若 f(a).f(b)<0 (a,b ? R,且a<b),则函数y=f(x)

在(a,b)内( B )
A 只有一个零点 B 至少有一个零点

C

无零点

D 无法确定有无零点

2、若方程 2ax ? 1 ? 0 在(0,1)内有一解,

1 则 a 的取值范围是____________; a? 2

3、若函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? a 有3个零点

4 则 a ? ______

小结
1.知识和要求:掌握函数零点的概念;了解 函数零点与方程根的关系;学会图象连续的 函数在某区间上存在零点的判定方法。
2.数学思想方法:由特殊到一般的归纳思想, 数形结合的思想,函数与方程的思想。

课后延展:

已知函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点在(2,3)内 如何求这个零点的近似值?

一元二次函数 、方程、不等式之间的关系
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c 的图象 △>0 y x1 O
y>0

△=0
y
y>0

△<0
y
y>0

(a>0)
与x轴的交点

y<0

x2 x O x1 (x ,0) 1 x x O 没有交点

(x1,0) , (x2,0)

ax2+bx+c=0 有两相异实根 有两相等实根 (a>0)的根 b x1, x2 (x1<x2) x1=x2= ? 2a 大于取两边 ax2+bx+c>0 b (y>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠ ? }

没有实根

2a

R Φ

小于取中间 ax2+bx+c<0 (y<0)的解集 {x|x1< x <x2 }

Φ

练习

C C
二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个 有机的整体,要深刻理解它们之间的关系,运用函数方 程与数形结合的思想将它们进行相互转化,才是准确迅 速答题的关键.

方程2x2+5x-12=0 的两根为 方程2x2-5x-12=0 的两根为

-4、3/2

. . . .

4、 - 3/2

方程-12x2+5x+2=0 的两根为 方程-12x2-5x+2=0 的两根为

- 1/4、2/3 1/4、 - 2/3

若方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为α 、β , 则 方程ax2-bx+c=0 (a≠0)的两根为-α、-β; 方程cx2+bx+a=0 (a≠0)的两根为1/α、1/β; 方程cx2-bx+a=0 (a≠0)的两根为-1/α、-1/β 。

若不等式 ax2+bx+c>0 的解是

1 1 - <x< 2 3 1 1 < x < 则不等式 ax2-bx+c>0 的解是 3 2 .

不等式 cx2+bx+a≤0 的解是

-2≤x≤3

.

二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的实根分布问题
b x1+x2=- a >0 ⑴方程 有两正根 ? x1x2= c >0 a △=b2-4ac≥0.

b x1+x2=- a <0 ⑵方程 有两负根 ? x x = c >0 1 2 a △=b2-4ac≥0. c <0 x1x2= a ⑶方程 f(x)=0 有一正根一负根 ? △=b2-4ac>0.

⑷方程 的两实根都大于 k ?

(x1-k)+(x2-k) >0 (x1-k) · (x2-k) >0 △=b2-4ac ≥ 0.

(x1-k)+(x2-k) <0 ⑸方程 的两实根都小于 k ? (x1-k) · (x2-k) >0 △=b2-4ac ≥ 0.

⑹方程 的两实根一个大于 k, 另一个小于 k ?
(x1-k) · (x2-k) <0 △=b2-4ac>0.

函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。

等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

零点存在判定定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连 续不断一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么, 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在 c∈(a,b),使得f(c )=0,这个c也就是方程 f(x)=0的根.
注:只要满足上述两个条件,就能判断函 数在指定区间内存在零点。

定理的作用:判定零点的存在, 找出零点所在的区间。


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