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六校2011届高三第三次联考(文数.280K)


六校 2011 届高三第三次联考 数学(文科)
(中山纪中、深圳实验、东莞中学、珠海一中、惠州一中、广州二中) 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷 密封线内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目 指定区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。 一、选择题:(每小题 5 分,共 50 分) 1.若 A= { | x ? x? },B={0,1,2,3},则 A ? B = x 2 4 0 A. {0,1,2,3} B.{1,2,3} C.{1,2,3,4} D. {0,1,2,3,4}

? ? ? ? 2. 已知平面向量 a(1 ? ? ,且 ?,) (, 3 a ? b ,则 x ? 3, b x )
A. ? 3 B. ? 1 C. 1 D. 3

3. 等比数列 { a n } 中,已知 a ? , 4 ? ,则 a 6 ? a 4 2 2 A. 6 B. 8 C. 10 D. 16

4. 下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ?? ? 上单调递增的是 A. y ? x
3

B. y? o x cs

C. y?tan x

D. y ? ln x

5.在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 sinB = A.

3 3

B. ?

3 3

C.

6 3

D. ?

6 3
) .

6、已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍,则椭圆的离心率等于( A.

1 3

B.

2 3

C.

2 2 3

D.

10 3

? y ? x, ? 7. 已 知 z ? 2x? y , 式 中 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 1 , , 则 z 的 最 大 值 为 ? x ? 2, ?

1

___________. A. 0 B.5 C.6 D. 10 8.为了了解某地区学生的身体情况,抽查了该地区 100 名年龄为高三男生体重(kg) ,得到 频率分布直方图如下图,根据上图可得这 100 名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人 数是( ) A.20 B.30 C.40 D.50

9. 方程 log x 3 0的解所在的区间是( ??? 3x A. (0,1) B. (1,2) C.(2,3)
2

) D. (3,4)

10、已知过点(1,2)的二次函数 y? ax bxc ? ? 的图象如右图, 给出下列论断:① abc0 ? ,② a b c 0 b ?1, ? ? ? ,③ ④a ?

1 2

其中正确论断是( B. ②④ D. ②③④



A. ①③ C. ②③

二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分,把正确答案填写在答卷相应地方上) 11. 已知 { a n } 是等差数列, a ?, 3?4? , a a 12 2 3 则 { a n } 的前 n 项和 S n =______

cm 的几何体的三 12. 图中的三个直角三角形是一个体积为 20
视图,则 h=_________cm

3

2

13. 如下图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x ? ________。

14. 如右上图示, 利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线 y ? 与两直线 x 2y 0 ?及 ? 所围成的阴影部分的面积 S:(1)先产生两组 0~1 的均匀随机数,a=RAND(),b=RAND(); (2)做变换,令 x=2a, y=2b;(3)产生 N 个点(x,y) ,并统计满足条件 y ?

2 x 2

x2 的点(x, y) 2

的个数 N 1

.已知某同学用计算器做模拟试验结果当 N=1000 时 N 1 =332, 则据此可估

计 S=_________ 。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

15. (本小题满分 12 分)

已知 f x cos( 3 () ? ? ? sin( ( x ? R ). x ) ? x )

?
2

?
2

(1)求函数 f (x ) 的最小正周期; (2)求函数 f (x ) 的最大值,并指出此时 x 的值.

16. (本小题满分 12 分) 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各 取出 1 个球,每个小球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号恰好相同的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上的标号至少有一个大于 2 的概率.

3

17. (本小题满分 14 分) 如图,已知四边形 ABCD与 A ABB ' ' 都是正方形,

' ? ABCD 点 E 是 A' A的中点, AA 平面
(1) 求证: A' C //平面 BDE; (2) 求证:平面 A' AC⊥平面 BDE

18、(本小题满分 14 分) 某建筑公司用 8000 万元购得一块空地, 计划在该地块上建造一栋至少 12 层、 每层 4000 平方米的楼房。经初步估计得知,如果将楼房建为 x(x ? 12)层,则每平方米的平均建筑 费用为 Q(x)=3000+50x(单位:元),为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应 建为多少层?每平方米的平均综合费最小值是多少? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

购地总费用 ) 建筑总面积

19. (本小题共 14 分) 已知 ?ABC 的边 A B 边所在直线的方程为 x 3 ? ? ?y 6 0 点 B 关于点 M (2, 的对称点为 C, 点 T ( ? 1, 在 AC 边所在 1) 0)

?AB 0. ? 直线上且满足 AT
(I)求 AC 边所在直线的方程; (II)求 ?ABC 的外接圆的方程; (III) 若点 N 的坐标为 (?n,0),其中 n 为正整数。 试讨论在 ?ABC 的外接圆上是否存在点 P, 使得 | PN | PT |? |成立?说明理由。

20.(本题满分 14 分)

: ? 在其上一点L P n y 处的切线 ( , ) 已知 n 为正整数,曲线 C y nx 总经过定点 n nx n n
( ? 1,0)

,P (1)求证点列: P P,? n在同一直线上 1, 2
? (2)若记 f(k)+f(k+1)+f(k+2)+ ? f(n)=

?

n

n f ( i ) ,其中 k, n 为正整数且 k ?

i? k

n ) ? 求证: ln(1?

? y

n

1

2 i1 i ?

? n 1? (n?N*) ln( ) 1 ?
4

参考答案
1.B 2. C 3. B 4. D 5.A 6、C 11.

7.B 8.C 9. C 10、B
14. 1.328 ?? 4 分 ?? 6 分

n2

12.

4

13. 12

15. 解: (1)∵ f x sin 3 x ?? x cos ? ?

?1 ? ? ? ? 3 ? ? sin cos cos ? ? x sin ?2 sin ? cos? ?? x x? 2 ?2 x 2 3 3 ? ? ? ?
? ?? ? 2sin x ? ? . ? 3? ? ∴ T ? 2? .
(2) 当 sin x ? ? 此时 x? ?? 7 分 ?? 8 分

? ?

??

? ?1时, f (x) 取得最大值, 其值为 2 . 3?

??10 分 ??12 分

? ?

? ?2k? ,即 x ? 2k? ? ( k ? Z ). 3 2 6

?

16.解法一:利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球的所有可能结果:

可以看出,试验的所有可能结果数为 16 种且每种结果是等可能的. (Ⅰ)所取两个小球上的标号为相同整数的结果 有 1-1,2-2,3-3,4-4,共 4 种.

??4 分 ??6 分

4 1 ? . 16 4 1 答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为 . 4
故根据古典概型公式,所求概率 P ? (Ⅱ)记事件“取出的两个球上的标号至少有一个大于 2”为 A 则 A 的对立事件是 A =“取出的两个球上的标号都不于大 2”

??8 分

所取出的两个球上的标号都不大于 3 的结果有 1-1,1-2,2-1,2-2, 共 4 种. ??10 分

41 3 P ? ? P ? P ?. () A ?) 1 () ( A ?A 16 4 4
答:取出的两个球上的标号至少有一个大于 3 的概率为

3 . 4

??12 分

(注:利用列表或列数对的方法求解以及 II 直接列出 A 的结果, 仿照上述解法给分)

5

17. (1)设 BD 交 AC 于 M,连结 ME.

?ABCD 为正方形,所以 M 为 AC 中点, ??2 分
ME 的中位线 又 ? E 为 A' A的中点? 为 ? ' AC A

? // 'C ME A ? 'C 平面 BDE. A //

??4 分

又 ? ME BDE BDE ? 平面? ,' A 平面 C
??6 分 ??8 分 (2)? ABCD ? ? 为正方形 BD AC

?A 平面 BD ABCD BD .10 A ? ABCD ' , ? 平面?A A ? .......... ' 分 又 ?'A A BD A . AC ? ? ? A 平面 'AC ? ? BDE BD 平面 ? A ? BDE 平面 平面 'AC . .......... 14 分 .........1 2 分

18、解:设楼房每平方米的平均综合费为 f (x ) 元,依题意得

8000 ? 10000 20000 fx Q ( ?x ) (? ) ?x 50 ? ? 3000? ) ……..6 分 ( ? ,x N x 12 4000 x x
法一:

20000 20000 fx 50 ( ?x ) ? ? ? 50 3000 2 x ? ? ? 3000 ……….11 分 5000 x x
20000 即? 上式取”=” x 20 x 因此,当 x ?20 时, f (x ) 取得最小值 5000(元). x 当且仅当 50?
答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 20 层, 每平方米的平均综合费最小值为 5000 元 法二: f x 50 () x ? ? ……….14 分 ………10 分 ……….13 分

20000 20000 ? ,f() 50 2 3000 ? 'x ? x x f'(x ?0x?0 ? ?20 ) ( ) x

0?x?20 , f'(x ?0 (x是减函数 时 ) ,f ) ; x?20 ,f'(x ?0 (x是增函数 时 ) ,f ) ? 当且仅当 , f(x有最小值 5000 x?20 时 ) f( )? 20

………13 分

?AB 0 ? 19.解: (I)? AT

? , T 上AB ? ………………..1 分 AT在 ?? Rt ? AB ? 又 AC 为 AC ABC ABC ,
又 A B 边所在直线的方程为 x 3 ? ? , ? y 6 0 ,所以直线 AC 的斜率为 ? 3 .……2 分 又因为点 T ( ? 1, 在直线 AC 上, 1) 所以 AC 边所在直线的方程为 y 1 ? x 1.即 3 ? ? ? . ?? 3 ?) ( x y 2 0
6



…………3 分

(II)AC 与 AB 的交点为 A,所以由 ?

? x ? 3 y ? 6 ? 0, 解得点 A 的坐标为 (0, 2) ,…5 分 ? ?3x ? y ? 2 = 0
…………6 分

? B M, ) 点 关于 的对称点为 (0 2 C ,
又 r= A ? 20?? ? 2 M (? ( ) 2 . ) 02
2 2

?为 ABC MRt 斜边上的中点 ? , 即为 外接圆的圆心 Rt ? ABC
…………7 分 …………8 分

从 ?ABC 外接圆的方程为:

( ? ) ?y ? . x 22 2 8

(III)若在 ?ABC 的外接圆圆 M 上存在点 P,使得 | PN | PT |? |成立,则 P 为线段 NT 的 垂直平分线 L 与圆 M 的公共点。所以当 L 与圆 M 相离时,不存在满足条件的点 P;当 L 与 圆 M 相交或相切时则存在满足条件的点 P。

n ?1 1 1 ,线段 NT 的中点为 (? , ) 2 2 n ?1 1 n ? 1 线段 NT 的垂直平分线 L 为 y ? 1 ? ( )( ) 2 ) 22) ? x n ? 即 y? 0 ? (n ? 2 1 ?( n ? x ? 2 2
由 N (?n,0), T ( ? 1, ,知 NT 的斜率为 1) ………10 分 圆 M 的圆心 M 到直线 L 的距离为
2 |4 ?) 0 2 n| |n?n 6 ( n ? ?2 1 ? 4?| d= ? 2 2 2 4 ?) ? 2 ( n ( ) 1 ? 2n?n 2 2?

…………11 分

i)当 n=1 时,d= P ii)当 n=2 时 d=

1 , r? 2 由 r 而 2 , d ,此时直线 L 与圆 M 相交,存在满足条件的点 ? 2

3 2 ? 8 ? r ,此时直线 L 与圆 M 相交,存在满足条件的点 P 2

iii)当 n ?3时,
2 n ?1 ? 4 n 6 6 n ? 1 8 d ? ? 22 ? ( ? n ? n 2 ) ? 6? r ? n 8 2 8? ? 2 2 2 2 2 n ? ? n 2 n ?2 ? 2 n 2

此时直线 L 与圆 M 相离,不存在满足条件的点 P。

…………14 分

(说明: (III) 求出 NT 的垂直平分线, 与圆 M 方程联立方程组,消元得二次方程后提到用判别 式讨论的即可得 3 分; 用图形说明当 n 增大时 M 到 L 的距离 d 也增大, n=3 时有 d>r, 当 所 以 n>3 时有 d>r,只扣 1 分) 20 解: (1)设切线 L n 的斜率为 k n ,由切线过点 (?1 0) 得切线方程为 y=k n (x+1) , 则方程组 ?

) ?y ? kn (x ?1
2 ( ?y ? nx y ? 0)

有解 ?

?x ? xn , ? y ? yn
22 2

……1 分
2

x (n ) k 0 2 ?x n 由方程组用代入法消去 y 化简得 k ?k n? ? (*) n

? ??? ? n n ? ………2 分 ( 2 ) kn 4 k nk ?k ? 有 ? n n 4k ? ? 0n n
2 2 2 2 2 2 2

n 4

7

代入方程(*),得

n n n 2 x ( ? ? 0 2 21 ? 2 n ?x x ? ? ) x 即 ?0 ? 4 4 4

?即有 nxn x1 x 1 ? n ? ? y ? n ,n
即 P P,? n在同一直线 x=1 上 ,P 1, 2 …………………4 分

fi (2) 解:由(1)可知 y ? n?()? n

1 ? i y
2 i

1

………5 分

设函数 F(x)= x x x 1 有 ??? ), 0 ln(( ?? 0 1 ? ), , F (? )

1 x? ? 11 x ? '( )? ? Fx 1 ? ? x? 1 x? 1 x? 1 ? ? ?x? 时 '( )? ; x? 时 '( )? 当1 0 ,F x 0当 0 ,F x 0 ?( ) ( 1 ) Fx在 , 上是减函数 ) ?0 ,在,?? ( 0 上为增函数 ? 0?x?时有)?F0 ? 即当x?时有ln(? ) 当 1 Fx ( ( ) 0 0? 1 x? x 1恒成立 . 当1 x? 时有)?F0 ? 即当 x? 时有ln(? ) ?? 0 Fx ( () 0 ?? 0 1 x? x 1恒成立 即( ) Fx有最小值 0 F0 x? 时有)?F0. ( ), Fx ( () .......... .8 分

1 1 1 i取 ( ?2, , ),() ? 1 ) ln() ln ) x i 1, ? f i ? ln( ? i? ? i ? ,3 n ? 1 i i i 1 1 1 1 即有 ? 2f( ) f() 1 ? ln 2? ? 1 ) ln ln ,f( ) , ln( ? 3 2 ? ? , ?n? ? n 1 ln ln( ) n ?? 1 2 2 n n n 11 1 1 ? f() ? ? ? ? ? 2 (lnln ? ? n 1 ln ? n 1 i? ? ? ) [ln( ] ? .....11 ? i? i 1 2 ? ln? 3 2 ? ?)? n ln( ). 分 n i1 ? 1
1 1 1 1 ii ) 再取 ( ? , , ,n 有 ? 1 )? i?)? i x ? i 2? ? 3 ), ? ln( ? ln(1 ln ? ? i? i?) ln ln(1 i i i i 1 1 1 1 即有 ?, f( )? ? 2 ln f( )? ? 3 ln?( )? ? n ln( 1 综 f()? 1 2 1 ln? 1 3 , ln? 2 , f n , ln? n ) ? 1 2 3 n n n 11 1 1 ? f()? ? ? ? ? ? ? 2 ln ? 3 ln ? ? n ln( 1 ? ) ? ) [ln ? ?i ? 1 2 ?n 1 (ln 1 (ln 2 ? ? n )] i1 ? i 1i ? ? n 1 ln( 1? ln? ? n ) 1 ?

n ) ? 合上述有 ln(1?

? y

n

1

2 i1 i ?

? n 1? ln( ) 1 ?

…………………14 分

8

法二 : 先证当 0 x ?1 x ?1?lnx x? 且 时 1 x ?1 ? (x) ? x ?1?lnx,G(x) ?1? ? G ' x x ? 0 ? x ?1 ,G(x) ?0 当 ?1 ,G (x) ?0 当 时 ' ; x 时 ' ? (x)在01 上是减函数 1?? G ( ,) , 在 , )上为增函数 ( ? x ?1 当 时有(x) ?G1 ?0 G ( ) 即当?1 x 时有 1?lnx恒成立. x? 当 ? x ?1 0 时有(x) ?G1 ?0 G ( ) 即当? x ?1 0 时有 1?lnx恒成立 x? 即 (x)有最小值 x ?1 G G1 ( ), 时有(x) ?G1. G () 从而有?1?lnx(x ?1 令 ?1?t则有 ln( ?t)( ? 0 恒成立 x ) x t? 1 t ) 以下同上法 .......... .8 分

9


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