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第8讲 曲线与方程---Pdf


曲线与方程
在建立了直角坐标系之后,平面内的点和有序实数对 ( x, y ) 之间就建立了一一对应关系,那么 曲线呢?应该是对应于符合某种条件的一切点,它的横纵坐标之间应受到某种条件的约束,而这种约 束就是方程 f ( x, y ) = 0 . 曲线 C 上的点集 方程 f ( x, y ) = 0 的解集

1. 曲线与方程的定义: (求曲线方程的一般步骤) (1)在曲线 C 上任何一点的坐标 ( x, y ) 是方程 f ( x, y ) = 0 的解; (在合) (合在) (2)以方程 f ( x, y ) = 0 的解为坐标的点都在曲线上 C. 那么,方程 f ( x, y ) = 0 叫做曲线 C 的方程,这条曲线叫做方程 f ( x, y ) = 0 的曲线.

2. 曲线的交点(曲线的关系与方程组的解)

例1

写出下面曲线的方程. y 1 y y

1 0 -1 (1) (2) x 0 x 0 1 x

(3)

~ 第 1页 ~

例2

画出下列方程所表示的曲线.

(1) y (2) y

= 2 2 log
2

2

x

= x4
2

(3) ( x (4) ( x

? y 2 )( x 2 + y 2 ? 1) = 0 ? y 2 ) 2 + ( x 2 + y 2 ? 1) 2 = 0

2

例3

证明以原点为圆心,半径为 5 的圆的方程是 x + y = 25 ,并判断 M ( 3, ?4 ) , N ?2 5, 2 是
2 2

(

)

否在圆上?(引申:圆内、圆外)

例4

动点 P 到定点 A 的距离是到定点 B 的距离的 2 倍,且 AB = 2 ,求点 P 的轨迹方程.

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例5

求曲线 C1 : y = x , C2 : x + y = 2 x 的交点坐标.
2 2

例6

判断两条曲线 C1: y

= ax + 1 与 C2: x = y 2 的关系.

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例7

求平面上到两个定点 F1 , F2 的距离和等于常数 2a( | F1 F2 |< 2a )的点的轨迹方程; 注:渗透、理解椭圆标准方程的推导,为第九讲提前说明几件事:

例 8 平面上与两点 F1 , F2 距离的差的绝对值为非零常数 2a( 0 < 2a <| F1 F2 | )的动点轨迹是双曲线, 试求双曲线方程。 注:渗透双曲线的定义、标准方程、图形及双曲线各元素之间的相互依存关系。为第十讲有所铺 垫。

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