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2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)选修4-1 几何证明选讲0第1课时 相似三角形的判定及有关性质


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选考部分

选修系列4
提示:选修部分请根据 教学要求选用!

选考部分

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几何证明选讲

相似三角形的判定及有关性质

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复习相似三角形的定义与性质,了解平行截割定理, 证明直角三角形射影定理.

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请注意!
此部分多和圆的有关知识,结合考查.

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1.平行线等分线段定理 如果一组 平行线 在 一条 直线上截得的线段相等, 那么在其他直线上截得的线段也相等. 推论 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必 平分 第三边.

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推论 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线
平分 ______另一腰.

2.平行线分线段成比例定理
对应 三条平行线截两条直线,所得的______线段成比例.

推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边
比例 的延长线)所得的对应线段成_______.

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3.相似三角形的判定
相等 判定定理 1:两对应角______,两三角形相似. 成比例 相等 判定定理 2:两边对应_________且夹角______,两

三角形相似. 判定定理 3:三边对应 成比例 ,两三角形相似.

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4.直角三角形相似的判定

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锐 定理 1:如果两个直角三角形有一个____角对应相

等,那么它们相似.
直角 定理 2: 如果两个直角三角形的两条________边对应 成比例 _______,那么它们相似.

定理 3: 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与
斜边 直角边 另一个三角形的______和一条________对应成比例, 那么

这两个直角三角形相似.

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5.相似三角形的性质定理 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角 平分线的比都等于 相似 比; (2)相似三角形周长的比等于 相似 比;
平方 (3)相似三角形面积的比等于相似比的_______;

(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于 相似 比,外接圆的面积比等于相似比的 平方 .

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6.直角三角形的射影定理和逆定理 (1)定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边
中项 射影 上射影的比例____;两直角边分别是它们在斜边上____ 斜边 与_______的比例中项.

(2)逆定理:如果一个三角形一边上的高是另两边在
比例中项 那么这个三角形是直角三 这条边上的射影的__________,

角形.

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1.如图,D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 上的点, AD DE∥BC,且DB=2,那么△ADE 与四边形 DBCE 的面积 比是( )

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2 A. 3 4 C.5
答案 C

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2 B. 5 4 D.9

解析

AD AD 2 ∵ =2,∴ = , DB AB 3

S△ADE 4 S△ADE 4 故 = ,∴ = . S△ABC 9 S四边形DBCE 5

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2.如图, 在△ABC 中,AE=ED=DC,FE∥MD∥ BC,FD 的延长线交 BC 的延长线于点 N,且 EF=1,则 BN=( A.2 C.4
答案 C

) B.3 D.6

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解析 ∵FE∥MD∥BC,AE=ED=DC, EF AE 1 EF ED 1 ∴BC=AC=3,CN=DC=1, EF EF 1 ∴EF=CN,∴ = = , BN BC+CN 4 ∴BN=4EF=4. (或由△FDE≌△NDC?EF=CN).

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3.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,CD⊥AB 于 D,已知 AC=4,AD=2,则 BD 的长是________.

答案

6

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解析 由直角三角形射影定理得 AC2=AD· AB, AC2 42 ∴AB= AD = 2 =8,∴BD=AB-AD=8-2=6.

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4.(2011· 广东文)(几何证明选讲选做题)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E,F 分别为 AD, BC 上的点,且 EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为________.

答案 7:5

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1 解析 由 CD=2,AB=4,EF=3,得 EF= (CD+ 2 AB),∴EF 是梯形 ABCD 的中位线,则梯形 ABFE 与梯 1 形 EFCD 有相同的高, 设为 h, 于是两梯形的面积比为 (3 2 1 +4)h:2(2+3)h=7:5.

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题型一
例1

平行线等分线段或分线段成比例问题

如图 AD 是△ABC 的中线, 是 CA 边的三等分点, E )

BE 交 AD 于点 F,则 AF∶FD 为( A.2∶1 C.4∶1

B.3∶1 D.5∶1

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【解析】 要求 AF∶FD 的比,需要添加平行线寻 找与之相等的比.注意到 D 是 BC 的中点,可过 D 作 DG 1 ∥AC 交 BE 于 G,则 DG= EC,又 AE=2EC,故 AF∶ 2 1 FD=AE∶DG=2EC∶2EC=4∶1.
【答案】 C

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探究 1

本题主要考查平行线分线段成比例定理的

应用. 解题关键是通过作辅助线, 发现其中的平行关系进 行推理求解. 另外, 本题还可以过 D 点作 BE 的平行线进 行推理求解.

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思考题 1 如图, 已知 M、 分别是?ABCD 的边 AB、 N 边 CD 的中点,CM 交 BD 于点 E,AN 交 BD 于点 F.请你 探讨 BE、EF、FD 三条线段之间的关系,并给出证明.

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【思路】 在△CDE 中,N 是边 CD 的中点,只要 证明 NF∥CE,即可由推论 1 得 DF=EF.同理可得 BE= EF,由此得出三者之间的关系.

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【解析】 ∵四边形 ABCD 是平行四边形,M、N 分 别是边 AB、CD 的中点, ∴四边形 AMCN 是平行四边形. ∵在△CDE 中,N 是 CD 的中点,且 FN∥CE, ∴F 是 DE 的中点,即 DF=EF. 同理在△ABF 中,M 是 AB 的中点,且 AF∥MC, ∴E 是 BF 的中点,即 EF=BE. 故 BE=EF=DF.

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题型二
例2

相似三角形的判定及应用

(1)如图,BD、CE 是△ABC 的高.求证:△ADE∽△ABC.

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【思路】 由于△ADE 与△ABC 有一公共顶点 A, 可根据“对于任意两个三角形, 如果一个三角形的两边和 另一个三角形的两边对应成比例, 并且夹角相等, 那么这 两个三角形相似.”去证明.

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【证明】 ∵BD、CE 是△ABC 的高, ∴∠AEC=∠ADB=90° . 又∵∠A=∠A,∴△AEC∽△ADB, AD AE AD AB ∴ AB =AC,从而 AE =AC. 又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.

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(2)(2012· 苏北四市调研)如图,在△ABC 中,D 是 AC 中点,E 是 BD 三等分点,AE 的延长线交 BC 于 F,求 的值. S四边形DEFC S△BEF

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【解析】

BF BE 1 过 D 点作 DM∥AF 交 BC 于点 M,则BM=BD=3.

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S△BEF 1 ∵EF∥DM,∴ = ,即 S△BDM=9S△BEF. S△BDM 9 ∵D 是 AC 的中点,DM∥AF, BM 3 ∴FM=MC,∴ = . MC 2 S△DMC 2 2 ∴ = ,即 S△DMC=3S△BDM=6S△BEF, S△BDM 3 1 ∴S 四边形 DEFC=14S△BEF,∴ = . S四边形DEFC 14 S△BEF

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探究 2 1.判定两个三角形相似要注意结合图形性质 灵活选择判定定理. 相似三角形的判定定理可能要同时用到, 先证两个三 角形相似,以此作铺垫,再证另两个三角形相似.

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2.相似三角形性质的作用 (1)可用来证明线段成比例、角相等; (2)可间接证明线段相等; (3)为计算线段长度及角的大小创造条件; (4)可计算周长、特征线段长等.

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思考题 2 △ABC 是一块锐角三角形材料,边 BC= 12 cm,高 AD=8 cm,要把它加工成正方形零件,使正方 形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB、AC 上,求 这个正方形的边长.

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【解析】

如图,设正方形 PQMN 为加工成的正方形零件.△ ABC 的高 AD 与边 PN 相交于点 E, 设正方形的边长为 x cm

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∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC. 8-x x AE PN ∴AD=BC,即 8 =12, 解得 x=4.8 (cm). 答:加工成的正方形零件的边长为 4.8 cm

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题型三
例3

直角三角形射影定理的应用

如图,已知在正方形 ABCD 中,O 为 AB 的中点,

1 E 为 AD 上一点,且 AE=4AD,OK⊥EC.求证:OK2=KE· KC. 【思路】 根据欲证式子的结构特征及题设,若能证得∠ COE=90° ,则结论可证.

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【证明】

连接 OE、OC.

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1 1 法一:∵AE=4AD,OA=OB=2AD,BC=AB=AD, AE OA 1 ∴ = = , OB BC 2 又∵∠A=∠B=90° , ∴△EAO∽△OBC,∴∠AEO=∠BOC. 又∵∠AEO+∠AOE=90° , ∴∠AOE+∠BOC=90° ,∴∠EOC=90° . 在 Rt△EOC 中,∵OK⊥EC, ∴OK2=KE· KC(射影定理).
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法二:设 AB=BC=4a,由题意,AE=a, OA=OB=2a,ED=3a.∴OE2=a2+(2a)2=5a2, OC2=OB2+BC2=(2a)2+(4a)2=20a2, EC2=ED2+CD2=(3a)2+(4a)2=25a2, ∴OE2+OC2=EC2, ∴△EOC 是直角三角形. 又∵OK⊥EC,∴OK2=KE· KC.

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探究 3 (1)应用射影定理有两个条件: 一是直角三角 形;二是斜边上的高; (2)应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有 关量; (3)利用直角三角形的射影定理可证明有关命题.

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思考题 3

如图 AC 为⊙O 的直径,BD⊥AC 于 P,PC=2,PA =8,则 CD 的长为________,cos∠ACB=________.

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【解析】 由射影定理得 CD2=CP· CA=2×10, ∴CD=2 5. CP 2 5 cos∠ACB=sin∠A=sin∠D=CD= =5. 2 5
【答案】 2 5 5 5

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1.相似三角形的判定定理的选择 (1)已知有一角相等时,可选择判定定理 1,2; (2)已知有两边对应成比例时,可选择判定定理 2,3; (3)判定直角三角形相似时, 首先看是否可以用判定直 三角形的方法来判定,如不能再考虑用判定一般三角形相 似的方法来判定.

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2.关于直角三角形射影定理 (1)射影定理的两个条件:一是直角三角形;二是斜 边上的高,二者缺一不可. (2)应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有 关量,同时还可用于研究相似问题,比例式等问题.

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