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2014高考立体几何二轮复习—专题综合检测四(立体几何检测学生版)


专题综合检测四
时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.(2013· 成都石室一模)设 a、b 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列四个命 题中正确的是( ) B.若 a∥α,α⊥β,则 a⊥β D.若 a⊥b,a⊥α,b⊥β,则 α⊥β

A.若

a⊥b,a⊥α,则 b∥α C.若 a⊥β,α⊥β,则 a∥α

2. (文)(2013· 菱湖月考)若某多面体的三视图(单位: cm)如图 所示,则此多面体的体积是( 1 A.2cm3 5 C.6cm3 2 B.3cm3 7 D.8cm3 )

1 (理)(2012· 河北郑口中学模拟)某几何体的正视图与侧视图如图所示,若该几何体的体积为3, 则该几何体的俯视图可以是( )

3.(2013· 湖南文,7)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是 一个面积为 2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( 3 A. 2 B.1 C. 2+1 2 D. 2 )

4.(文)如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,BC1⊥AC,则 C1 在平面 ABC 上的 射影 H 必在( )

A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 的内部

(理)(2012· 嘉兴调研)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 AB 上的动点,则直线 A1D 与直 线 C1E 所成的角等于( A.60° ) C.30° D.随点 E 的位置而变化

B.90°

5.如图,四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 2,BD⊥CD.将四边形 ABCD 沿 对角线 BD 折成四面体 A′-BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,则下列结论正确的是( A.A′C⊥BD B.∠BA′C=90° )

C.CA′与平面 A′BD 所成的角为 30° 1 D.四面体 A′-BCD 的体积为3 6.(2012· 广州模拟)过正方形 ABCD 的顶点 A,引 PA⊥平面 ABCD. 若 PA=BA,则平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角的大小是( A.30° C.60° B.45° D.90° )

7.(文)已知 m、n 是两条不同直线,α、β 为两个不同平面,那么使 m∥α 成立的一个充 分条件是( ) B.m⊥β,α⊥β D.m 上有不同的两个点到 α 的距离相等

A.m∥β,α∥β C.m⊥n,n⊥α,m?α

(理)如果一条直线和一个平面垂直,则称此直线与平面构成一个“正交线面对”,在一个正 方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成“正交线面对”的概率为( 1 A.7 1 B.14 3 C.28 9 D.490 )

8.如图,在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下列四个结论不成立的是( A.BC∥平面 PDF C.平面 PDF⊥平面 PAE )

B.DF⊥平面 PAE D.平面 PDE⊥平面 ABC

9.(文)(2013· 新课标Ⅱ理,4)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β,直线 l 满 足 l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则( A.α∥β 且 l∥α )

B.α⊥β 且 l⊥β

C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l

9 (理)(2013· 山东理,4)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为4,底面是边 长为 3的正三角形,若 P 为底面△A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( 5π A.12 π B.3 π C.4 π D.6 ) )

10.(文)已知 a、b、c、d 是空间四条直线,如果 a⊥c,b⊥c,a⊥d,b⊥d,那么( A.a∥b 且 c∥d C.a∥b 或 c∥d B.a、b、c、d 中任意两条可能都不平行 D.a、b、c、d 中至多有一对直线互相平行

(理)已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,E 是侧棱 BB1 的中点,则 直线 AE 与平面 A1ED1 所成角的大小为( A.60° B.90° C.45° ) D.以上都不正确

11.如图,在棱长为 5 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,EF 是棱 AB 上的一条线段,且 EF =2,Q 是 A1D1 的中点,点 P 是棱 C1D1 上的动点,则四面体 P-QEF 的体积( A.是变量且有最大值 B.是变量且有最小值 C.是变量且有最大值和最小值 D.是常量 12.(文)已知 α、β、γ 是三个不同的平面,命题“α∥β,且 α⊥γ?β⊥γ”是真命题,如 果把 α、 γ 中的任意两个换成直线, β、 另一个保持不变, 在所得的所有新命题中, 真命题有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ) )

(理)如图,在△ABC 中,AB⊥AC,若 AD⊥BC,则 AB2=BD· BC;类似地有命题:在三 棱锥 A-BCD 中,AD⊥平面 ABC,若 A 点在平面 BCD 内的射影为 M,则有 S2 ABC=S△BCM· S △
△BCD

.上述命题是(

) B.增加条件“AB⊥AC”才是真命题

A.真命题

C.增加条件“M 为△BCD 的垂心”才是真命题 D.增加条件“三棱锥 A-BCD 是正三棱锥”才是真命题 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填写在题中横线上.) 13. (2012· 海南模拟)已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是矩形, PA⊥底面 ABCD, E、 点 F 分别是棱 PC、PD 的中点,则 ①棱 AB 与 PD 所在直线垂直; ②平面 PBC 与平面 ABCD 垂直;

③△PCD 的面积大于△PAB 的面积; ④直线 AE 与平面 BF 是异面直线. 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)

14.(2012· 安庆市二模)如图,正方形 BCDE 的边长为 a,已知 AB= 3BC,将直角△ABE 沿 BE 边折起,A 点在面 BCDE 上的射影为 D 点,则翻折后的几何体中有如下描述: ①AB 与 DE 所成角的正切值是 2; ③AB∥CD; 1 ②VB-ACE 的体积是6a2;

④平面 EAB⊥平面 ADE;

3 ⑤直线 BA 与平面 ADE 所成角的正弦值为 3 . 其中正确的叙述有________(写出所有正确结论的编号). 15.(2013· 济南质检)如图,在半径为 R 的半球内有一内接圆柱, 则这个圆柱体积的最大值是________. 16.(文)三棱锥 S-ABC 中,∠SBA=∠SCA=90° ,△ABC 是斜边 AB=a 的等腰直角三角形,则以下结论中: ①SB⊥AC; ②直线 SB⊥平面 ABC;

③平面 SBC⊥平面 SAC; 1 ④点 C 到平面 SAB 的距离是2a.其中正确结论的序号是________. (理)在四面体 ABCD 中,AB=1,AD=2 3,BC=3,CD=2, π ∠ABC=∠DCB=2,则二面角 A-BC-D 的大小等于__________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(2013· 江西八校联考)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱与底面 垂直,∠BAC=90° ,AB=AC=AA1=2,点 M、N 分别为 A1B 和 B1C1 的中点. (1)证明:A1M⊥平面 MAC; (2)求三棱锥 A-CMA1 的体积; (3)证明:MN∥平面 A1ACC1.

18.(本小题满分 12 分)(2013· 大兴区模拟)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 是等 边三角形,D 是 BC 的中点. (1)求证:直线 A1D⊥B1C1; (2)判断 A1B 与平面 ADC1 的位置关系,并证明你的结论.

19.(本小题满分 12 分)(2013· 江西师大附中、鹰潭一中模拟)如图 1,⊙O 的直径 AB=4, 点 C、D 为⊙O 上两点,且∠CAB=45° ,F 为 BC 的中点.沿直径 AB 折起,使两个半圆所 在平面互相垂直(如图 2). (1)求证:OF∥平面 ACD; (2)在 AD 上是否存在点 E, 使得平面 OCE ⊥平面 ACD?若存在,试指出点 E 的位置; 若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 12 分)(文)如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是直角梯 形,∠BAD=∠ADC=90° ,AB=2AD=2CD=2. (1)求证:AC⊥平面 BB1C1C; (2)在 A1B1 上是否存在一点 P,使得 DP 和平面 BCB1、平 面 ACB1 都平行?证明你的结论.

(理)(2012· 山西大同学情调研)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, ∠BAD =90° ,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥平面 ABCD,PD 与平面 ABCD 成 30° 角. (1)若 AE⊥PD,E 为垂足,求证:BE⊥PD; (2)求平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值.

21.(本小题满分 12 分)如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,沿对角线 BD 把△ ABD 折起,使 A 点移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上. (1)求证:BC⊥A1D; (2)求证:平面 A1BC⊥平面 A1BD; (3)求三棱锥 A1-BCD 的体积.

22.(本小题满分 14 分)(文)(2013· 福建文,18)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60° . → (1)当正视方向与向量AD的方向相同时, 画出四棱锥 P-ABCD 的正视 图(要求标出尺寸,并写出演算过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC; (3)求三棱锥 D-PBC 的体积.

(理)(2013· 陕西理,18)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底 面中心,A1O⊥平面 ABCD,AB=AA1= 2. (1)证明:A1C⊥平面 BB1D1D (2)求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 θ 的大小.

(反馈练习) 一、选择题 1.(文)(2012· 杭州第二次质检)如图,是一个几何体的三视图,侧视图和 正视图均为矩形,俯视图为正三角形,尺寸如图,则该几何体的侧面积 为( ) A.6 B.12 3

C.24

D.3

(理)(2013· 郑州质检)一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何 体的表面积为( A.6+ 5 C.8+ 5 ) B.6+2 5 D.8+2 5

2.(2013· 福州质检)如图是一个空间几何体的三视图, 这个几何体的体积是( A.2π C.6π B.4π D.8π ) )

3.设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列命题不正确的是( A.若 m⊥n,m⊥α,n?α,则 n∥α C.若 m⊥n,m⊥α,n⊥β,则 α⊥β B.若 m⊥β,α⊥β,则 m∥α 或 m?α D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β

4.(2013· 嘉兴二测)已知 α,β,γ 是三个不重合的平面,m、n 是不重合的直线,下列判断正 确的是( ) B.若 α⊥β,l∥β,则 l∥α D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n

A.若 α⊥β,β⊥γ,则 α∥γ C.若 m∥α,n∥α,则 m∥n

5.在正四面体(棱长都相等的四面体)A-BCD 中,棱长为 4,M 是 BC 的中点,点 P 在线段 AM 上运动(P 不与 A、M 重合),过点 P 作直线 l⊥平面 ABC,l 与平面 BCD 交于点 Q,给出 下列命题: ①BC⊥平面 AMD; ③VC-AMD=4 2. A.①② C.②③ ②Q 点一定在直线 DM 上; )

其中正确的是(

B.①③ D.①②③

6.如图, 正△ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G, 已知△A′ED 是△AED 绕 DE 旋转过程 中的一个图形,下列命题中,错误的是( )

A.动点 A′在平面 ABC 上的投影在线段 AF 上 B.恒有平面 A′GF⊥平面 BCED C.三棱锥 A′-FED 的体积有最大值 D.异面直线 A′E 与 BD 不可能垂直 7.(2013· 合肥质检)在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,△ABC、△ACD、 2 3 6 △ADB 的面积分别为 2 、 2 、 2 ,则三棱锥 A-BCD 的外接球的体积为( A. 6π B.2 6π C.3 6π D.4 6π )

8.(文)(2013· 合肥二检)用若干个棱长为 1 的正方体搭成一个几何体,其正视图、侧视图都是 如下图形,对这个几何体,下列说法正确的是( A.这个几何体的体积一定是 7 B.这个几何体的体积一定是 10 C.这个几何体的体积的最小值是 6,最大值是 10 D.这个几何体的体积的最小值是 5,最大值是 11 (理)(2013· 杭州质检)如图,设平面 α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别是 B、D,如果增 加一个条件,就能推出 BD⊥EF,这个条件不可能是下面四个选项中的( A.AC⊥β B.AC⊥EF C.AC 与 BD 在 β 内的射影在同一条直线上 D.AC 与 α、β 所成的角相等 ) )

9.已知正四面体 A-BCD,设异面直线 AB 与 CD 所成的角为 α,侧棱 AB 与底面 BCD 所成的角为 β,侧面 ABC 与底面 BCD 所成的角为 γ,则( A.α>β>γ B.α>γ>β C.β>α>γ ) D.γ>β>α

10.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AB 的中点,则点 C 到平面 A1DM 的距 离为( ) 6 B. 6 a 1 D.2a

6 A. 3 a 2 C. 2 a

11.(文)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺 寸,可知这个几何体的侧面积是( A. 3π 2π C. 3 π B.3 D. 5π )

(理)如图, 鼓状的几何体是由半径为 5 的圆 O 经过两个水平平面 切割而成,上下底面都是半径为 4 的圆,五点 O1、O、O2、A、D 同在平面 α 上,而另五点 O1、O、O2、B、C 同在平面 β 上,若 α⊥β,则直线 OB 与 AC 所成 角的余弦值为( 17 A. 85 ) 5 B. 2 17 C. 15 15 D. 13

12.(2012· 朝阳期末)已知正方形 ABCD 的边长为 2 2, 将△ABC 沿对角线 AC 折起, 使平面 ABC ⊥平面 ACD, 得到如右图所示的三棱锥 B-ACD.若 O 为 AC 边的中点, N 分别为线段 DC、 M、 BO 上的动点(不包括端点),且 BN=CM.设 BN=x,则三棱锥 N-AMC 的体积 y=f(x)的函数 图象大致是( )

二、填空题 13.(2012· 临川一中模拟)如图,ABED-FC 为多面体,平面 ABED 与平面 ACFD 垂直,点 O 在 线段 AD 上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都 是正三角形.则棱锥 F-OBED 的体积为________. 14.(文)(2012· 西宁一中模拟)设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下 列命题: (1)若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线, α 平行于 β; 则 (2)若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 与 α 平行; (3)若 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直; (4)直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号) ... (理)(2012· 廊坊模拟)过正方形 ABCD 的顶点 A,引 PA⊥平面 ABCD.若 PA=BA,则平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角的大小是________. 15.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 是上底面 A1B1C1D1 内 一动点,则三棱锥 P-ABC 的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为________. 16.(文)(2012· 天津文)一个几何体的三视图如图所示(单位:m), 则该几何体的体积为________m3. (理)设 C 是∠AOB 所在平面外的 一 点 , 若 ∠ AOB = ∠ BOC = ∠ AOC=θ,其中 θ 是锐角,而 OC 和平面 AOB 所成角的余弦值等于 3 3 ,则 θ 的值为________. 三、解答题 17.如图,在空间四边形 ABDP 中,AD?α,AB?α,AB⊥AD,PD⊥α,且 PD=AD=AB,E 为 AP 中点. (1)请在∠BAD 的平分线上找一点 C,使得 PC∥平面 EDB; (2)求证:ED⊥平面 EAB.

18.下面一组图形为 P-ABC 的底面与三个侧面.已知 AB⊥BC,PA⊥AB,PA⊥AC. (1)写出三棱锥 P-ABC 中的所有的线面垂直关系(不要求证明); (2)在三棱锥 P-ABC 中,M 是 PA 上的 一点,求证:平面 MBC⊥平面 PAB; (3)在三棱锥 P-ABC 中,M 是 PA 的中 点,且 PA=BC=3,AB=4,求三棱锥 P -MBC 的体积.

19.(文)已知四棱锥 P-ABCD 的直观图和三视图如图所示,E 是 PB 的中点. (1)求三棱锥 C-PBD 的体积; (2)若 F 是 BC 上任一点,求证:AE⊥PF; (3)边 PC 上是否存在一点 M,使 DM∥平面 EAC,并 说明理由.

(理)(2012· 合肥第二次质检)如图,PO⊥平面 ABCD,点 O 在 AB 上,EA∥PO,四边形 ABCD 1 为直角梯形,BC⊥AB,BC=CD=BO=PO,EA=AO=2CD. (1)求证:PE⊥平面 PBC; (2)直线 PE 上是否存在点 M,使 DM∥平面 PBC,若存在,求出点 M; 若不存在,说明理由. (3)求二面角 E-BD-A 的余弦值.

20.(文)(2012· 梅州二模)下图是一几何体的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图.其中 俯视图是边长为 4 的正方形,正(主)视图为直角梯形,侧(左)视图为等腰直角三角形,且 CE 是中线. (1)若 F 为 PD 的中点,求证:AF⊥平面 PCD; (2)证明:BD∥平面 PEC.

(理)(2013· 天津耀华中学月考)如图所示,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC 1 ∥FE,AB⊥AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE=2AD. (1)求证:BF⊥DM; (2)求二面角 A-CD-E 的余弦值.

21.(文)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BB1=BC, AC1⊥平面 A1BD,D 为 AC 的中点. (1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)求证:B1C1⊥平面 ABB1A1; (3)在 CC1 上是否存在一点 E,使得∠BA1E=45° ,若存在,试确定 E 的位置,并判断平面 A1BD 与平面 BDE 是否垂直?若不存在, 请说明理由.

(理)(2012· 揭阳一模)如图①,边长为 1 的正方形 ABCD 中,点 E、F 分别为 AB、BC 的中点, 将△BEF 剪去,将△AED、△DCF 分别沿 DE、DF 折起,使 A、C 两点重合于点 P,得一三 棱锥如图②所示. (1)求证:PD⊥EF; (2)求三棱锥 P-DEF 的体积; (3)求 DE 与平面 PDF 所成角的正弦值.

22.(文)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PA ⊥底面 ABCD,且 PA=2,E 是侧棱 PC 上的动点. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)如果 E 是 PA 的中点,求证 PC∥平面 BDE; (3)是否不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置,都有 BD⊥CE?证明你的结论.

(理)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90° ,D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)求二面角 C1-AD-C 的余弦值; (3)试问线段 A1B1 上是否存在点 E, 使得 AE 与 DC1 成 60° 角?若存 在,确定 E 点位置;若不存在,说明理由.


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