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高考文科数学复习


高考文科数学复习

极坐标和参数方程

一、极坐标、参数方程
【知识点 1】极坐标 (1)极坐标和直角坐标的转化: ? (2)常见的直线极坐标方程: 第一种: ? cos ? ? 1( ? x ? 1 ) ,或者 ? ?

? x ? ? cos ? y , ? 2 ? x2 ? y 2 , tan ? ? x ? y ? ? sin ?

?
2

(? x ? 0 )

第二种: ? sin ? ? 1 ( ? y ? 1 ) ,或者 ? ? 0 ( ? y ? 0 ) 第三种: ? ?

?
3

( ? ? R), 0 ? ? ?

?
2

( ? y ? tan ? ? x )

(3)常见的圆极坐标方程 第一种: ? ? 1 ( ? x2 ? y 2 ? 1 ) 第二种: ? ? 2cos ? ( ? x2 ? y 2 ? 2 x ) ,或者 ? ? 2sin ? ( ? x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ) 第三种: ? ? 2? cos ? ? 4? sin ? ?11 ( ? ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 16 ) ,
2 2 2

或者 ? ? 2? cos? ? 3 ( ? ( x ?1) ? y ? 4 )
2 2 2

【知识点 2】伸缩变换 点 P( x, y) 经过伸缩变换 ? 得到点 P?( x?, y?)

? x ? ? ?2 x ? 例 1:如直线 l : 2 x ? y ? 1 通过伸缩变换 ? : ? 1 ,得到直线 l ? : ? x? ? 3 y? ? 1 ? y ? y ? 3 ?
【解】将 x ? ?

1 1 x?, y ? 3 y ? 代入 2 x ? y ? 1 ,得到 2 ? (? x?) ? 3 y? ? 1 ,即 ? x? ? 3 y? ? 1 2 2
2 2

? x? ? x y ?2 2 ? ? ?1 例 2:如圆 C : x ? y ? 1 通过伸缩变换 ? : ? ,得到椭圆 C : x ? 4 ? y? ? 2 y
【解】将 x ? x?, y ?

1 y ?2 y? ? ? 2 2 2 2 ? ? y 代入 x ? y ? 1,得到 x? ? ? ? ? 1,即 x ? ?1 2 4 ?2?

2

*例 3:如直线 l : 2 x ? y ? 1 通过伸缩变换 ? 得到直线 l ? : 2 x? ? 3 y? ? 4 ,求 ?

【解】先将常数项化成相同, 2 x? ? 3 y? ? 4 化成

1 3 x? ? y ? ? 1 2 4

?1 ? x ? 2x ?2 x ? y ? 1 ? x? ? 4 x ? ?2 ? ? 对比 ? 1 ,得到 ? ,即 ? : ? 3 4 3 x? ? y ? ? 1 y? ? ? y ? ? ? ? ? y ? y ?2 4 3 ? ? ? 4
【知识点 3】参数方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数 ?

? x ? f (t ) ①, ? y ? g (t )

并且对于 t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上 ,那么方程①就叫做这条曲 线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间 关系的方程叫做普通方程. *常见的参数方程: (1) 直线: ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ? y ? ?3 ? t

(2) 圆: ?

? x ? r cos ? ? x ? a ? r cos ? (? 为参数) 或 ? (? 为参数) ? y ? r sin ? ? y ? b ? r sin ? ? x ? a cos ? ? x ? b cos ? (?为参数) 或 ? (?为参数) ,通常规定参数 ? 范围为 ? ∈[0,2 ? ) ? y ? b sin ? ? y ? a sin ?

(3) 椭圆:?

? x ? 2 pt 2 (t为参数) (4) 抛物线: ? ? y ? 2 pt
【知识点 4】两点距离、点到直线的距离公式 ①两点距离: 已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,有 | AB |?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

②点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

二、椭圆、双曲线和抛物线
【知识点 1】椭圆方程 ①定义:到两个定点(焦点)的距离( 2c )之和等于定长( 2a, a ? c ? 0 )的点的轨迹是椭圆. 设 a 为长半轴, b 为短半轴, c 为焦距,满足 a ? b ? c .
2 2 2

②椭圆方程分为: (i)焦点在 x 轴上,

x2 y 2 ,焦点 F ? ? 1, 1 (?c,0), F2 (c,0) ; a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1, ,焦点 F 1 (0, ?c), F2 (0, c) . b2 a 2

(ii)焦点在 y 轴上, ③离心率 e

0?e?

c ? 1,当 e ? 1 ,即离心率越接近 1,椭圆也扁;反之, e ? 0 ,即焦距越小,越接近圆. a

④准线方程

y

x??

a c

2

x?

a2 c

x

【知识点 2】双曲线方程 ①定义:到两个定点(焦点)的距离( 2c )之差的绝对值等于定长( 2a, 0 ? a ? c )的点的轨迹是双曲 线. 设 a 为实半轴, b 为虚半轴, c 为焦距,满足 c ? a ? b .
2 2 2

②双曲线方程分为: (i)焦点在 x 轴上,

x2 y 2 ? ? 1 ,焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) ; a 2 b2

y 2 x2 (ii)焦点在 y 轴上, 2 ? 2 ? 1 , ,焦点 F 1 (0, ?c), F2 (0, c) . a b
③离心率 e

e?

c ?1 a

④两条渐近线 焦点在 x 轴上,渐进线方程为 y ? ?

b a x ;焦点在 y 轴上,渐进线方程为 y ? ? x . a b
y

y

x ?a a

a ?a
y? a x b

x

a y?? x b

y?

b x a

b y?? x a

【知识点 3】抛物线方程 ①定义:到一个定点(焦点)的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是抛物线. ②抛物线方程分为:

p p , 0) ,准线方程 x ? ? ; 2 2 p p (ii)焦点在 y 轴上, x2 ? 2 py ,焦点 F (0, ) ,准线方程 y ? ? . 2 2
(i)焦点在 x 轴上, y 2 ? 2 px ,焦点 F (
y y y y

x

x

x

x

高考题型练习 第一部分
一、极坐标、参数方程 23.(2015 全国卷 I,10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1,以 坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1 , C2 的极坐标方程; (2)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

( ? ? R ) ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的面积.

23.(2014 全国卷 II,10 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系,半圆 C : ? ? 2 cos ? , ? ? [0, (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上, C 在 D 点处 的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程, 确定 D 的坐标.

?
2

]

23.(10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极 y ? sin ? ? ?

点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin(? ? (1)求 C1 和 C2 的直角坐标方程;

?
4

)?4 2.

(2)设点 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 的坐标.

23.(10 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐 标方程为 ? ? 2 2 cos(? ?

?

? ?x ? t ) ,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,直线 l 和圆 C 交于 A, 4 ? ? y ? ?1 ? 2 2t

B 两点,P 是圆 C 上不同于 A,B 的任意一点. (1)求圆心的极坐标; (2)求 ?PAB 面积的最大值.

第二部分
一、椭圆 (1)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1, C2 : ? ? 1 ,则( 12 4 16 8



A. C1 与 C2 的顶点相同 C. C1 与 C2 的短轴长相同 (2)椭圆 2 x2 ? y 2 ? 16 的离心率为( ) A.

B. C1 与 C2 的长轴长相同 D. C1 与 C2 的焦距相同

1 3

B.

1 2

C.

3 3

D.

2 2
1 ,则 C 的方程是( ) 2

(3)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于

A.

x2 y 2 ? ?1 3 4 x2 y 2 ? ?1 4 2

B.

x2 y 2 ? ?1 4 3

C.

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3

(4) 已知椭圆 A.2 C. 5

x2 y 2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3, 则点 P 到另一个焦点的距离为 ( ) 25 16
B.3 D. 7

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点, (5) 已知 F1 , F2 是椭圆 过F 若 | F2 A | ? | F2 B |? 12 , 1 的直线交椭圆与 A, B 两点, 25 9
则 | AB |?

二、双曲线 (1)双曲线 2 x ? y ? 8 的实轴长是(
2 2

) C. 4 D. 4 2

A.2

B. 2 2

(2)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 (3, 0) ,则该双曲线的离心率等于( a2 5
B.



A.

3 14 14

3 2 4


C.

3 2

D.

4 3

(3)双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的顶点到其渐近线的距离等于(

A.

1 2

B.

2 2

C. 1

D.

2

x2 y 2 (4)若双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐进线经过点 (3, ?4) ,则此双曲线的离心率为( a b
A.



7 3

B.

5 4

C.

4 3

D.

5 3

三、抛物线 (1)抛物线 y ? ? A. x ?

1 2 x 的准线方程为( 4

) C. y ? 1 D. y ? 2 )

1 16

B. x ? 1

(2)设抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( A.4 B.6 C. 8 ) D. 12

(3)以直线 y ? x ? 4 与 x 轴的交点为焦点的抛物线的方程为( A. y 2 ? 16 x C. y 2 ? 12 x B. y 2 ? ?16 x D. y 2 ? ?12 x )

(4)过点 P(?2,3) 的抛物线的标准方程是(

9 4 x 或 x2 ? y 2 3 9 4 2 2 C. y ? x 或 x ? ? y 2 3
A. y ? ?
2

9 4 x 或 x2 ? y 2 3 9 4 2 2 D. y ? ? x 或 x ? y 2 3
B. y ?
2


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