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高中数学选修4-1(人教B版)第二讲直线与圆的位置关系2.3知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修4-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二讲 直线与圆的位置关系 三 圆的切线的性质及判定定理

一、知识清单
直线与圆的位置关系

二、知识讲解
1.直线与圆的位置关系 描述: 圆的切线 如果一条直线与一圆只有一个公共点,则这条直线叫做这个圆的切线,公共点叫做切点. 圆的切线判定定理 经

过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线,是圆的切线. 圆的切线的性质定理 圆的切线垂直过切点的半径. 推论1 从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等. 推论2 经过圆外的一个已知点和圆心的直线,平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角. 与一三角形三边都相切的圆,叫做这个三角形的内切圆.与三角形的一边和其他两边的延长线都 相切的圆,叫做三角形的旁切圆. 圆周角定理 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 推论1 直径(或半圆)所对的圆周角都是直角. 推论2 同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论3 等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径. 弦切角定理 弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半. 圆幂定理 相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例 中项. 圆幂定理 已知⊙(O, r),通过一定点P ,作⊙O 的任一条割线交圆于A 、B 两点,则:当点 在圆外是, P k = P O 2 ? r2 ;当点P 在圆内时,k = r2 ? OP 2 ;当点P 在⊙O 上时,k = 0. 圆内接四边形 圆内接四边形的定理 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角. 圆内接四边形的判定定理 如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形内接于圆. 例题: 如图,D 是 AC 的中点,与 ∠ABD 相等的角个数是( A.7 B.3 C.2 D.1

????



解:B. 由同弧或等弧所对的圆周角相等知,∠ABD = ∠CBD = ∠ACD = ∠DAC,故与 ∠ABD 相 等的角有 3 个. 如图所示,圆 O 的半径为 1 ,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足 ∠ABC = 30? ,过点 A 作 圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P ,则 P A = ______.

解:√3 . 连接 OA ,因为 AP 为 ⊙O 的切线,所以 OA ⊥ AP .又 ∠ABC = 30? ,所以 ∠AOC = 60? ,故在 Rt△AOP 中,由 OA = 1,得 P A = OA ? tan 60? = √3.

如图所示,四边形 ABCD 为 ⊙O 的内接四边形, E 为 AB 延长线上一点, ) ∠CBE = 40? ,则 ∠AOC等于( ? ? A.20 B.40 C.80? D.100 ?

解:C. 如图所示, CD 切 ⊙O 于B ,CO 的延长线交 ⊙O 与 A ,若 ∠C = 36? ,则 ∠ABD 的度 数是( ) ? A.72 B.63? C.54? D.36?

解:B. 连接 OB ,因为 CD 为 ⊙O 的切线,所以 ∠OBC = 90? ,因为 ∠C = 36? ,所以 ∠BOC = 54? . 又因为 ∠BOC = 2∠A,所以 ∠A = 27? ,故 ∠ABD = ∠A + ∠C = 63?.

如图,P 是 ⊙O 外一点,P A 、P B 分别和 ⊙O 切于 A 、B ,C 是 AB 上任意一点,过 C 作 ⊙O 的切线分别交 P A 、P B 于 D 、E,若 △P DE 的周长为 12,则 P A 长为______.

????

解:6 . 根据切线长定理得 DA = DC,EC = EB ,P A = P B ,所以

P A = P D + DC =

1 C△PDE =6. 2

如图,在 △ABC 中,AB = AC,∠C = 72? ,⊙O 过 A 、B 两点且与 BC 切于点 B ,与 AC 交于点 D ,连接 BD .若 BC = √5 ? 1 ,则 AC = ______.

解:2 . 因为 AB = AC,∠C = 72? ,所以 ∠ABC = 72? ,∠A = 36? ,因为 BC 切 ⊙O 于点 B , 所以 ∠DBC = ∠A = 36? ,所以 ∠ABD = 36?,∠BDC = 72? ,故 AD = BD = BC = √5 ? 1,可证 △ABC ∽ △BDC,所以 BC 2 = CD ? AC = (AC ? AD) ? AC = AC 2 ? AD ? AC,设 AC = x 则有 (√5 ? 1)2 = x2 ? (√5 ? 1)x,解得 x1 = 2,x2 = √5 ? 3 (不合题意,舍去),所以 AC = 2. 如图所示,⊙O 的两条弦 AD 和 CB 相交于点 E ,AC 的延长线和 BD 的延长线相交于点

P ,给出下列结论: ①P A ? P C = P D ? P B ;②P C ? CA = P D ? DB ;③CE ? CB = DE ? DA;④ P A ? CD = P D ? AB.
其中正确的有( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个

解:B. 根据割线定理可知①式正确;连接 AB ,CD ,则四边形 ABDC 为 ⊙O 的内接四边形,所以

∠P CD = ∠P BA,因为 ∠P = ∠P ,所以 △P CD ∽ △P BA,故
确.

CD PD ,所以④正 = AB PA

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