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高中数学选修4-1(人教B版)第二讲直线与圆的位置关系2.3知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修4-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二讲 直线与圆的位置关系 三 圆的切线的性质及判定定理

一、知识清单
直线与圆的位置关系

二、知识讲解
1.直线与圆的位置关系 描述: 圆的切线 如果一条直线与一圆只有一个公共点,则这条直线叫做这个圆的切线,公共点叫做切点. 圆的切线判定定理 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线,是圆的切线. 圆的切线的性质定理 圆的切线垂直过切点的半径. 推论1 从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等. 推论2 经过圆外的一个已知点和圆心的直线,平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角. 与一三角形三边都相切的圆,叫做这个三角形的内切圆.与三角形的一边和其他两边的延长线都 相切的圆,叫做三角形的旁切圆. 圆周角定理 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 推论1 直径(或半圆)所对的圆周角都是直角. 推论2 同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论3 等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径. 弦切角定理 弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半. 圆幂定理 相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例 中项. 圆幂定理 已知⊙(O, r),通过一定点P ,作⊙O 的任一条割线交圆于A 、B 两点,则:当点 在圆外是, P k = P O 2 ? r2 ;当点P 在圆内时,k = r2 ? OP 2 ;当点P 在⊙O 上时,k = 0. 圆内接四边形 圆内接四边形的定理 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角. 圆内接四边形的判定定理 如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形内接于圆. 例题: 如图,D 是 AC 的中点,与 ∠ABD 相等的角个数是( A.7 B.3 C.2 D.1

????



解:B. 由同弧或等弧所对的圆周角相等知,∠ABD = ∠CBD = ∠ACD = ∠DAC,故与 ∠ABD 相 等的角有 3 个. 如图所示,圆 O 的半径为 1 ,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足 ∠ABC = 30? ,过点 A 作 圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P ,则 P A = ______.

解:√3 . 连接 OA ,因为 AP 为 ⊙O 的切线,所以 OA ⊥ AP .又 ∠ABC = 30? ,所以 ∠AOC = 60? ,故在 Rt△AOP 中,由 OA = 1,得 P A = OA ? tan 60? = √3.

如图所示,四边形 ABCD 为 ⊙O 的内接四边形, E 为 AB 延长线上一点, ) ∠CBE = 40? ,则 ∠AOC等于( ? ? A.20 B.40 C.80? D.100 ?

解:C. 如图所示, CD 切 ⊙O 于B ,CO 的延长线交 ⊙O 与 A ,若 ∠C = 36? ,则 ∠ABD 的度 数是( ) ? A.72 B.63? C.54? D.36?

解:B. 连接 OB ,因为 CD 为 ⊙O 的切线,所以 ∠OBC = 90? ,因为 ∠C = 36? ,所以 ∠BOC = 54? . 又因为 ∠BOC = 2∠A,所以 ∠A = 27? ,故 ∠ABD = ∠A + ∠C = 63?.

如图,P 是 ⊙O 外一点,P A 、P B 分别和 ⊙O 切于 A 、B ,C 是 AB 上任意一点,过 C 作 ⊙O 的切线分别交 P A 、P B 于 D 、E,若 △P DE 的周长为 12,则 P A 长为______.

????

解:6 . 根据切线长定理得 DA = DC,EC = EB ,P A = P B ,所以

P A = P D + DC =

1 C△PDE =6. 2

如图,在 △ABC 中,AB = AC,∠C = 72? ,⊙O 过 A 、B 两点且与 BC 切于点 B ,与 AC 交于点 D ,连接 BD .若 BC = √5 ? 1 ,则 AC = ______.

解:2 . 因为 AB = AC,∠C = 72? ,所以 ∠ABC = 72? ,∠A = 36? ,因为 BC 切 ⊙O 于点 B , 所以 ∠DBC = ∠A = 36? ,所以 ∠ABD = 36?,∠BDC = 72? ,故 AD = BD = BC = √5 ? 1,可证 △ABC ∽ △BDC,所以 BC 2 = CD ? AC = (AC ? AD) ? AC = AC 2 ? AD ? AC,设 AC = x 则有 (√5 ? 1)2 = x2 ? (√5 ? 1)x,解得 x1 = 2,x2 = √5 ? 3 (不合题意,舍去),所以 AC = 2. 如图所示,⊙O 的两条弦 AD 和 CB 相交于点 E ,AC 的延长线和 BD 的延长线相交于点

P ,给出下列结论: ①P A ? P C = P D ? P B ;②P C ? CA = P D ? DB ;③CE ? CB = DE ? DA;④ P A ? CD = P D ? AB.
其中正确的有( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个

解:B. 根据割线定理可知①式正确;连接 AB ,CD ,则四边形 ABDC 为 ⊙O 的内接四边形,所以

∠P CD = ∠P BA,因为 ∠P = ∠P ,所以 △P CD ∽ △P BA,故
确.

CD PD ,所以④正 = AB PA

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