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河北省武邑中学2015-2016学年高一上学期周日(1.10)考试数学试题


河北省武邑中学 2015-2016 学年高一数学周日测试(10)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.【2011 全国新课示,理 5】已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在 直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? ? ( A. ? )

4 5

B.

?

3 5

C.

3 5

D.

4 5

2.【2008 全国 1,理 8】为得到函数 y ? cos(2 x ? ( )

?
2

) 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象

5? 5? 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 12 12 5? 5? C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位 6 6
A.向左平移

4.【2015 高考新课标 1,理 2】 sin 20 cos10 ? cos160 sin10 ? (
0 0 0 0



A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2

5. 【2014 新课标, 理 4】 钝角三角形 ABC 的面积是 A.5 B. 5 C.2 D.1

1 , AB ? 1 ,BC ? 2 , 则 AC ?( 2



6. 【2014 课标 I,理 8】设 ? ? (0, A. 3? ? ? ?

?

? 1 ? sin ? ), ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则( 2 2 cos ?
C. 2? ? ? ?



?
2

B. 3? ? ? ?

?
2

?
2

D. 2? ? ? ?

?
2

7. 【2012 全国,理 9】已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? 取值范围是( A. ? , ? 2 4 )

?

) 在 ( , x) 上单调递减,则 ? 的 4 2

?

?1 5? ? ?

B. ? , ? 2 4

?1 3? ? ?

C. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

D. ? 0, 2?

4 8. 【2010 新课示,理 9】若 cos ? ? ? , ? 是第三象限的角,则 5
A. ?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2 ?(


2

1 2

B.

1 2

C.2 D.-2

9. 【2009 年全卷 I, 理 8】 如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图象关于点 ( 的最小值为…( )

4? , 0) 中心对称, 那么 ? 3

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

10. 【2015 高考新课标 I,理 8】函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单 调递减区间为( )

1 3 1 3 , k? ? ), k ? Z B. (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 4 4 1 3 1 3 C. (k ? , k ? ), k ? Z D. (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4 4 4
A. ( k? ? 11. 【2011 全国新课标,理 11】设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) (? ? 0, ? ? 最小正周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) ,则( )

?
2

)的

? 3? ) 单调递减 B. f ( x) 在 ( , ) 单调递减 2 4 4 ? ? 3? ) 单调递增 C. f ( x ) 在 (0, ) 单调递增 D. f ( x ) 在 ( , 2 4 4
A. f ( x ) 在 (0,

?

12.【2014 课标 I,理 6】如图,圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点, P 是圆上的动点,角 x 的 始边为射线 OA , 终边为射线 OP , 过点 P 作直线 OA 的垂线, 垂足为 M , 将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f ( x ) ,则 y ? f ( x) 在 ? 0, ? ? 的图像大致为( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.【2011 全国新课标,理 16】在 ?ABC 中, B ? 60 , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值
0

为_______. 14.【2014 新课示,理 14】函数 f ( x) ? sin( x ? 2? ) ? 2sin ? cos( x ? ? ) 的最大值为________. 15.【2013 课标全国 I,理 15】设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则

cos ? ? ________.
16.【2010 新课标,理 16】在 ?ABC 中, D 为边 BC 上一点, BD ?

1 DC , ?ADB ? 1200 , 2

AD ? 2 .若 ?ADC 的面积为 3 ? 3 ,则 ?BAC ? ________.
三、解答题:本大题共 4 题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(10 分) 【2010 全国 2,理 17】 ?ABC 中, D 为边 BC 上的一点,

BD ? 33,sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD . 13 5

18.(10 分) 【2012 全国,理 17】已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边,

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 .
(1)求 A ; (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ,求 b, c . 19. (10 分) 【2015 高考新课标 2, 理 17】?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分 ?BAC , ?ABD

面积是 ?ADC 面积的 2 倍. (1)求

sin ?B 2 ; (2)若 AD ? 1, DC ? ,求 BD 和 AC 的长. sin ?C 2
0

20. (10 分) 【2013 课标全国 I, 理 17】 如图, 在 ?ABC 中,?ABC ? 90 ,AB ? 3, BC ? 1 ,

P 为 ?ABC 内一点, ?BPC ? 900 .
(1)若 PB ?

1 ,求 PA ; 2
0

(2)若 ?APB ? 150 ,求 tan ?PBA .

参考答案 1.B 2.A 3.C 4.D 5.B 6.C 【解析】 由已知得,tan ? ? 所以

sin ? 1 ? sin ? ? , 去分母得,sin ? cos ? ? cos ? ? cos ? sin ? , cos ? cos ?

【解析】结合 y ? sin ? x 的图像可知 y ? sin ? x 在 ?

? ? 3? ? 上单调递减,而 , ? 2? 2? ? ?

? ? ? ? ? 个单位之后可得 y ? sin(? x ? ) ? sin ?? ( x ? ) ? ,故由 y ? sin ? x 的图象向左平移 4? 4 4? ? ?

? ? ? ? 5? ? y ? sin(? x ? ) 的图像,故 y ? sin(? x ? ) 在 ? 上单调递减,故应有 , 4 4 ? 4? 4? ? ?
1 5 ? ? ? 5? ? ,解得 ? ? ? . ( ,? ) ? ? , ? 2 4 2 ? 4? 4? ?
8.A 【解析】∵ cos ? ? ?

4 3 , ? 为第三象限,∴ sin ? ? ? , 5 5

1 ? tan


? ?
2 ?

1?

sin cos

? ? ?
2 ? 2 cos cos

? ?
2 2

? sin ? sin

? ?
2 ? (cos

(cos

?
2

? sin

? ?
2 2

)2 ? sin

1 ? tan

2

1?

sin cos

?
2

?
2

2

2

? sin

?
2

)(cos

?
2

)

1 ? sin ? ? ? ? cos ? 2 ? 2 ? cos ? sin 2 2
9.A

1 ? sin ?

3 1 ? (? ) 5 ??1 4 2 ? 5
4? 4? , 0) 对称,即 3cos(2 ? ? ?) ? 0 3 3

【解析】 :∵ y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( ∴

8? ? 13? ? ? ? ? ? k? , k ? Z ,∴ ? ? ? ? k? ,∴当 k ? 2 时, ? 有最小值 . 3 2 6 6

10.D

? ?1 ? ?? ? ? ? ? ?4 2 【解析】由五点作图知, ? ,解得 ? ? ? ,? ? ,所以 f ( x ) ? cos(? x ? ) , 4 4 ? 5 ? ? ? ? 3? ? ?4 2


2 k? ? ? x ?

?
4

? 2k? ? ? , k ? Z ,解得 2k ?

1 3 ? x ? 2k ? , k ? Z ,故单调减区间为 4 4

1 3 (2k ? , 2k ? ) , k ? Z ,故选 D. 4 4
11.A 【解析】由于 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ? 由于该函数的最小正周期为 ? ?

2?

2 sin(? x ? ? ? ) , 4

?

又根据 f (? x) ? f ( x) ,以及 ? ? 因此, f ( x) ? 若 x ? (0,

? ?
2

,得出 ? ? 2 , ,得出 ? ?

?
4



) ,则 2 x ? (0, x) ,从而 f ( x) 在 (0, ) 单调递减, 2 2 ? 3? ? 3? ) ,则 2 x ? ( , ) , 若 x?( , 4 4 2 2
该区间不为余弦函数的单调区间,故 B, C , D 都错, A 正确.故选 A.

?

2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x , 2

?

?

12.C 【解析】 如图所示, 当0 ? x ?

?
2

t? O M D 时, 在 Rt ?OPM 中,OM ? OP cos x ? cos x . 在R

中, MD ? OM sin x ? cos x sin x ?

1 ? sin 2 x ;当 ? x ? ? 时,在 Rt ?OPM 中, 2 2

OM ? OP cos(? ? x) ? ? cos x ,在 Rt ?OPM 中,
1 MD ? OM sin(? ? x) ? ? cos x sin x ? ? sin 2 x ,所以当 0 ? x ? ? 时, y ? f ( x) 的图象大 2
致为 C.

13. 2 7 【解析】根据正弦定理得: 3 sin 60 ? 2 ?
0

BC AB ? sin A sin(1200 ? A)

AB ? 2 BC ? 2sin(1200 ? A) ? sin A ? 2sin1200 cos A ? 2 cos1200 sin A ? 4sin A ? 3 cos A ? sin A ? 4sin A ? 3 cos A ? 5sin A
2 2 ? ? ? ?( 3) ? 5 ? sin( A ? ? )

? 2 7 sin( A ? ? ) 其中 tan ? ?
所以 AB ? 2 BC 的最大值为 2 7 . 14.1 【解析】由题意知:

3 ?2 7 5

f ( x) ? sin( x ? 2? ) ? 2sin ? cos( x ? ? ) ? sin ?? ? ( x ? ? ) ? ? 2sin ? cos( x ? ? ) ? sin ? cos( x ? ? ) ? cos ? sin( x ? ? ) ? 2sin ? cos( x ? ? ) ? cos ? sin( x ? ? ) ? sin ? cos( x ? ? ) ? sin ?( x ? ? ) ? ? ? ? sin x

即 f ( x) ? sin x ,因为 x ? R ,所以 f ( x ) 的最大值为 1.

15. ?

2 5 5

【解析】 f ( x) ? sin x ? 2cos x ? 5(

1 2 sin x ? cos x) , 5 5

令 cos ? ?

1 2 ,则 f ( x) ? 5 sin(? ? x) , ,sin ? ? ? 5 5

当 x ? 2 k? ?

?
2

? ? (k ? Z ) 时, sin(? ? x) 有最大值 1, f ( x) 有最大值 5 ,即

? ? 2 k? ?

?
2

? ? (k ? Z ) ,

所以 cos ? ? cos(2k? ? 16.60°

?

? 2 2 5 . ? ? ) ? cos( ? ? ) ? sin ? ? ? ?? 2 2 5 5

【解析】

1 3 S?ABC ? ? 2 ? DC ? ? 3 ? 3 ,解得 DC ? 2( 3 ?1) , 2 2
∴ BD ? 3 ?1, BC ? 3( 3 ?1) . 在 ?ABD 中, AB2 ? 4 ? ( 3 ?1)2 ? 2 ? 2 ? ( 3 ?1) ? cos1200 ? 6 ,∴ AB ? 6 , 在 ?ACD 中, AC 2 ? 4 ? ?2( 3 ? 1) ? ? 2 ? 2 ? 2( 3 ?1) ? cos 600 ? 24 ?12 3 ,
2

?

?

∴ AC ? 6( 3 ?1) . 则 cos ?BAC ?

AB2 ? AC 2 ? BC 2 6 ? 24 ? 12 3 ? 9(4 ? 2 3) 1 ? ? ,∴ ?BAC ? 600 . 2 AB?AC 2 2 ? 6 ? 6 ? ( 3 ? 1)
3 ? 12 4 ? 0 知 B ? ,由已知得 cos B ? ,sin ?ADC ? , 5 2 13 5

17. 【解析】由 cos ?ADC ?

sin ?BAD ? sin(?ADC ? B) ? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B 从而 4 12 3 5 , 33 ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65

AD BD BD? sin B 由正弦定理得 ? , AD ? ? sin B sin ?BAD sin ?BAD

33 ?

5 13 ? 25 33 65

18. 【解析】 : (1)由 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 及正弦定理得

sin A cos C ? 3 sin Asin C ? sin B ? sin C ? 0 ,
因为 B ? ? ? A ? C ,所以 3sin Asin C ? cos Asin C ? sin C ? 0 . 由于 sin C ? 0 ,所以 sin( A ? (2) ?ABC 的面积 S ?

?
6

)?

1 ? .又 0 ? A ? ? ,故 A ? . 2 3

1 b sin A ? 3 ,故 bc ? 4 ,而 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,故 2

b2 ? c 2 ? 8 .
解得 b ? c ? 2 . 19. 【解析】 (1) S ?ABD ?

1 1 AB ?AD sin ?BAD , S?ADC ? AC ?AD sin ?CAD ,因为 2 2

S?ABD ? 2S?ADC ,
?BAD ? ?CAD ,所以 AB ? 2 AC ,由正弦定理可得

sin ?B AC 1 ? ? . sin ?C AB 2

(2)因为 S?ABD : S?ADC ? BD : DC ,所以 BD ? 2 ,在 ?ABD 和 ?ADC 中,由余弦定理得

AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD?BD cos ?ADB , AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD?DC cos ?ADC . AB2 ? 2 AC 2 ? 3 AD2 ? BD2 ? 2DC 2 ? 6 .由(1)知 AB ? 2 AC ,所以 AC ? 1 .
20. 【解析】 : (1)由已知得 ?PBC ? 60 ,所以 ?PBA ? 30 ,
0 0

在 ?PBA 中,由余弦定理得 PA ? 3 ?
2

1 1 7 7 ? 2 ? 3 ? cos 300 ? .故 PA ? . 4 2 4 2

(2)设 ?PBA ? ? ,由已知得 PB ? sin ? , 在 ?PBA 中,由正弦定理得

3 sin ? , ? 0 sin150 sin(300 ? ? )
3 3 ,即 tan ?PBA ? 4 4

化简得 3 cos ? ? 4sin ? ,所以 tan ? ?


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