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2015年浙江省数学竞赛模拟卷二


2015 年浙江省高中数学竞赛模拟卷二
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1、设函数 f ?x ? ? 1 ? x 2 ? x ? 2 ?

? ?

4 ? ?。 2 ?1?
x

考虑命题 p: f ?x ? 为奇函数;命题 q: f ?x ? 为偶函数。则以下

命题正确的是 ( (A) p ? q (B) p ? ?q (C) ? p ? q (D) ? p ? ? q



2、设 B、C 是定点,且均不在平面α 上,动点 A 在平面α 上,且 sin∠ABC= 轨迹为 (A)椭圆

1 ,则点 A 的 2


(B)抛物线

(C)双曲线

( (D)以上均有可能 (

3、在△ABC 中,已知 BC ? BA ? CB ? CA ,则△ABC 是 (A)等腰三角形 (B)直角三角形



(C)等腰直角三角形 (D)以上均不对

4、已知等差数列 ?an ? 前 n 项的和为 Sn ,且 (A)125 (B)85

S25 S S ? 5 , 45 ? 25 ,则 65 ? a23 a33 a43
(D)35





(C)45

4x 1 ? ? 4 在区间[1,2]上恒成立,则实数 a 的范围是( 5、若关于 x 的不等式 a x
(A) ? 0, ? 3



? ?

4? ?
2

(B) ?1, ? 3

? 4? ? ?

(C) ?1, ? 3

? 4? ? ?

(D) ?

?16 4 ? , ? 7 3? ?


6、若不等式 x ? x ? 1 ? a 的解集是(-3,3)的子集,则实数 a 的取值范围是( (A) ?? ?,7 ? (B) ?? ?,7? (C) ?? ?,5? (D) ?? ?,5?

7、 已知向量 a 、b 满足 b ? 2 a ? 2a ? b ? 2 , 若 c - a 与 c - b 的夹角为 90°, 则c ? a 的最大值为 (A) ( (B) )

3 2

1? 3 2

(C)

2? 3 2

(D)

4? 3 4

8、设 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,A 是双曲线实轴的左端点,过 F 作双曲线的渐近 a 2 b2
1 ,则双曲线的离心率为 3
(C) 2 (D) 3 ( )

线的垂线,垂足为 P,若 AP 的斜率为

(A)

5 4

(B)

5 2

1

9、在△ABC 中,若 tan A 、 tan B 、 tan C 均为整数,且∠A>∠B>∠C,则以下选项错误 的是 ( ) (A)∠A<80° (B)∠B<60° (C)∠C<50° (D)∠A>65° 10、 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, P、 Q 分别是线段 CC1、 BD (不包括端点) 上的点, PQ//ABC1D1 记 CP=x,四面体 PQA1B1 的体积为 y,则 y 关于 x 的函数的大致图象是( ) y y y y

O (A)

x

O (B)

x

O (C)

x

O (D)

x

二、填空题(共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分)
11、若 log2 log8 x ? log8 log2 x ,则 log4 x ? ______。

12、 M是

x2 y 2 ? ? 1 上的动点, 已知点 F (1, 0) 、 P (3, 1) , 则 2|MF|-|MP|的最大值为______。 4 3

13、已知实数 x,y 满足 x2+y2≤1,则 x+y-xy 的最大值为______。
2 14、 已知关于 x 的方程 x ? ax ? b ? c?b, c ? 0 ? 有不同的三个根 x1, x2 , x3 , x1 ? x2 ? x3 ? 6 ,



1 a ? 的最小值是______。 b c

15、已知 f ?x? ? a cos2 x ? 3 sin x 的最小值为-3,则 a 的取值范围是______。 16、在△ABC 中, a cos B ? b cos A ? 2c cos A , tan B ? 3 tan C ,则

?

?

AC =______。 AB

17、若不等式 a 1 ? ?x ? a? x ? a ? ax x 对一切 x ? ?? 1,2? 恒成立,则 a 的范围是______。

?

?

三、解答题(共 3 大题,每题 17 分,共 51 分)
18、如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 A1 在底面 ABC 上的射影恰好是 AB 的中点 O。 底面△ABC 是正三角形,其重心为 G,D 是 BC 中点,BD 交 BC 于 E。 A1 B1 (1)求证:GE//侧面 AA1B1B; (2)若二面角 B1-AD-B 的正切值为 求直线 BC1 与底面 ABC 所成的角。 A

2 3 , 3
E O G D

C1

B

C x2 ? y 2 ? 1 上两个动点,且 OA ? OB ? 0 。又设点 P 在 AB 上,且 OP 19、设 A、B 是椭圆 2 ⊥AB,求|OP|的值。 20、已知函数 f ?x? ? ax ? bx ? c?a ? 0? ,且 3a ? 4b ? 6c ? 0 。
2

证明: f ?x ? 在区间(0,1)上必有零点。
2

答案:BDACA

DCABA

9 ? 3 ? 13 ? 1 3 3 ;1;1; ; ? ? ,12? ; ; 4 ? 2 ? 2 2

? 3 ? 2,0?。

18、 (1)略; (2)45°。 19、

2 ; 3

?2 f ?1? ? 2a ? 2b ? 2c ? 20、 3a ? 4b ? 6c ? 0 ? ? ? 1 ? 。 4 f ? a ? 2 b ? 4 c ? ? ? ? ?2?
所以 2 f ?1? ? 4 f ? ? ? 0 。

?1? ?2?

若 f ?1? ? 0 , f ? ? ? 0 ,则命题成立;

?1? ?2?

若 f ?1? ? 0 , f ? ? ? 0 ,则 f ?1?, f ? ? 异号,所以命题成立。

?1? ?2?

?1? ? 2?

3


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