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第12讲 函数与方程 1.(2012· 广东省六校联合体高二元月联考) 函数f(x)=ln(2x-1)的零点为 . 解析:令ln(2x-1)=0,解得x=1. 2.(2012· 济南市5月模拟)若方程f(x)-2=0在(-∞,0)内 有解,则y=f(x)的图象是( D ) 解析:方程f(x)-2=0在(-∞,0)内有解,即函数 y=f(x)-2在(-∞,0)内有零点,即y=f(x)的图象与 y=2的图象在(-∞,0)上有交点,观察图象易知D正 确. 1 3.(改编)函数f(x)=- x +log2x的一个零点落在下列哪 个区间( B ) A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4) 1 解析:根据零点存在定理得到f(1)· f(2)=-1× 2 <0,故 选B. 4.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一 次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点 x0∈(0,0.5),第二次应计算 ,这时可判断x0∈ . 解析:由二分法知x0∈(0,0.5),取x1=0.25, 这时f(0.25)=0.253+3×0.25-1<0,故x0∈(0.25,0.5). 一 函数零点的判断 ?x-2?ln?x+1? 【例1】(1)函数f(x)= 的零点有( x-3 A.0个 C.2个 B.1个 D.3个 ) (2)不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|0<α<x<β},则不等 式cx2-bx+a>0的解集为_____________. ?x-2?ln?x+1? 解析:(1)由f(x)= =0,得x=2或0, x- 3 ?x-2?ln?x+1? 所以f(x)= 只有2个零点,故选C. x- 3 (2)因为不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|0<α<x<β}, 所以a<0,且α,β是方程ax2+bx+c=0的两根, b c 所以α+β=-a,αβ=a. c 因为αβ=a,αβ>0,a<0,所以c<0. b a 2 2 不等式cx -bx+a>0?x -c x+c >0, b c 由α+β=-a,αβ=a可知, b 1 1 a 1 -c =α+β,c =αβ. b a 2 不等式x -c x+c <0等价于 1 1 1 2 x +(α+β)x+αβ<0, 1 1 所以(x+α)(x+β)<0, 1 1 又0<α<β,所以α>β, 1 1 不等式cx +bx+a>0的解集是{x|-α<x<-β}. 2 【拓展演练1】 (1)设函数f(x)=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数不 存在零点的是( A.[-4,-2] C.[0,2] ) B.[-2,0] D.[2,4] ) ?x2+2x-3 ?x≤0? (2)函数f(x)=? 的零点个数为( ?-2+ln x ?x>0? A.3 C.1 B.2 D.0 解析:(1)因为f(-4)=4sin(-7)+4>0, f(-2)=4sin(-3)+2=-4sin(π-3)+2>0, 3π+2 3π+2 又f(x)在[-4,- 4 ]上递增,在[- 4 ,-2]上递 减, 所以f(x)在[-4,-2]上恒大于0, 故函数f(x)=4sin(2x+1)-x在区间[-4,-2]上无零点, 故选A. (2)函数f(x)的零点个数,即为方程f(x)=0的根的个数. ? ?x≤0 ?x>0 由? 2 或? , ? - 2 + ln x = 0 ? ?x +2x-3=0 得x=-3(x=1舍去)或x=e2,有两根, 故函数f

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