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2013年杭州市高一年级教学质量检测数学试题含答案


2013 年杭州市高一年级教学质量检测

数学试题卷
考生须知: 1.本卷满分 100 分,考试时间 90 分钟. 2.答题前,在答题卷密封区内填写学校、姓名和会考号. 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试题卷上无效. 4.考试结束,只需上交答题卷.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的

四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设全集 U={1, 2, 3, 4, 5},集合 M={1, 2, 5},则集合 CU M =( A. ? 3 ? B. ? 4 ) D. ? 3,4,5 ?

?

C. ? 3, 4

?

2.若函数 f ( x) ? (k ?1)a x ? a? x (a ? 0且a ? 1) 在 R 既是奇函数,又是增函数,则函数

g ( x)? l oag x k的图象是 ? ( )
y -2 -1 -2 -1 O 1 x O 1 x O 1 2 3 x O 1 2 3 x y y y

A. 3. sin(

B.

C. )

D.

?

? ) ? tan(? ? ) ? ( 2 3 4

?

?

A.

3 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D.

3 ?1 2

2 2 4.设函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ? 6 ,若不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (?5, ?2) ,则实数 a ?

A. ?4

B. ?6

C. ?4 或 ?6 )

D. ?4 或 0

5.在△ ABC 中, AB ? 2 2, BC ? 2, ?B ? 135? , 则 AC ? ( A. 2 B. 2 3 C. 2 5

D. 2 7

6.已知 a ? 20.3 , b ? log 0.3 2, c ? 0.32 ,则 a, b, c 的大小关系正确的是
第 1 页

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. c ? b ? a

D. b ? c ? a y 1 D. (2,3) O 1
(第 7 题)

7.设二次函数 f ( x) ? x2 ? bx ? a(a, b ? R) 的部分图象如图所 示,则函数 g ( x) ? ln x ? 2 x ? b 的零点所在的区间是( A. ? ,1? )

?1 ? ?2 ?

B. ?1, ?

? 3? ? 2?

C. ?

?1 1? , ? ?4 2?

x

8.设方程 2 ? lg x 的两个实数根为 x1 , x2 ,则 A. x1 x2 ? 0 B. 0 ? x1 x2 ? 1 C. x1 x2 ? 1
2

D. x1 x2 ? 1
??? ??? ??? ?

9. 若在直线 l 上存在不同的三个点 A、 C, B、 使得关于 x 的方程 x OA? x OB ? OC ? 0 ( x ? R) 有 解 (点 O 不在直线 l 上),则此方程的解集为( A. ? 1 ? B. ? 1, 2 ) C. ? ?1 ? D. ? ?1,0

?

?

10 . 已 知 0 ? a ? 1 , 设 集 合 P ? ?( x, y ) y ? f ( x? , M? )

?

( x, y ) y a ? ?

?x.

现给出下列函数:

① f ( x) ? a x ; f ( x) ? loga x ; f ( x) ? sin( x ? a) ; f ( x) ? 2a ? ax2 , ② ③ ④ 则能使得 P ? M ? ? 的函数 f ( x) 的编号是( A.① ② ) C.① ④ ② D.① ③ ② ④

B.① ④

二、填空题:本大题有 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 请将答案填在答题卷中的横线上. 11.在等差数列 ?an ?中,若 a2 ? a10 ? 6 ,则该数列的前 11 项和等于 12.设函数 f ( x) ? ? ▲ .

1 ? x ? 10, ? 4 x, 若 f ( x) ? 60 ,则 x ? ?2 x ? 10, 10 ? x ? 100.
▲ .



.

?10x , x?0 13.设 f ( x) ? ? ,则 f (? f (2)) ? ?log5 x, x ? 0

14.若满足不等式 (ax ? a2 )( x ? 2 ? a) ? 0 的整数 x 仅有 3 个,则实数 a 的取值范围是



.

15.若钝角三角形三内角的度数依次成等差数列,且最小边长与最大边长的比值为 m,则 m 的取值 范围是 ▲ .

三、解答题:本大题有 5 小题,共 50 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 10 分)
第 2 页

在直角坐标系 xOy 中,单位圆 O 与 x 轴正半轴的交点为 A,点 P, Q 在单位圆上,且满足 ?AOP ?

y Q

?
6

, ?AOQ ? ? , ? ? [0, ? ) .
O A

P x

(1)若 cos ? ?

3 ?? ? , ,求 cos ? ? ? ? 的值; 5 6? ?
??? ???

(2)设函数 f (? ) ? OP? OQ ,求 f (? ) 的值域.

(第 16 题)

17.(本题满分 10 分) 设非零向量向量 OA = a , OB = b ,已知 a ? 2 b , (a + b) ? b . (1)求 a 与 b 的夹角; (2)在如图所示的直角坐标系 xOy 中,设 B(1, 0) ,已知
??? 1 5 3 , , ) OM ? ?1a + ?2b(?1 , ?2 ? R) ,求 ?1 + ?2 的值. 2 6
??? ???

y A

O
(第 17 题)

B x

M(

18.(本题满分 10 分) 设数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,且满足 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N * ) , a1 ? 2 . (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)若在 a n 与 an?1 (n ? N * ) 之间插入 n 个 1,构成如下的新数列: a1 , 1, a2 , 1, 1, a3 , 1, 1, 1,

a4 , ?, 求这个新数列的前 2012 项的和.

第 3 页

19.(本题满分 10 分) 如图,图 1 是定义在 R 上的指数函数 g ( x) 的图象,图 2 是定义在 (0, ??) 上的对数函数

h( x) 的图象,设 f ( x) ? h ? g ( x) ?1? 。
(Ⅰ 求函数 f ( x) 的解析式; ) (Ⅱ 求方程 f ( x) ? x ? 1 ? 0 的解; ) (Ⅲ 求使不等式 f ( x) ? 2 成立的 x 的取值范围。 ) y 2 1 O 1 1 O y

x

1

2

x

图1 20.(本题满分 10 分)

图2

已知函数 f ( x) ? ( ? 1) 2 ? ( ? 1) 2 ,其中 x ? (0, ??) .设 t ?

x a

b x

x b ? . a x

(1)当 a ? 1, b ? 4 时,用 t 表示 f ( x) ,并求出 f ( x) 的最小值; (2)设 k ? 0 ,当 a ? k 2 , b ? (k ? 1)2 时,若 1 ? f ( x) ? 9 对任意 x ?[a, b] 恒成立,求 k 的取值 范围.

21.(本题满分 12 分)

x 2 ?bx ? 1 已知函数 f ( x) ? ,且 f (1) ? 0 。 x (Ⅰ 求 b 的值,判断 f ( x) 在 (0, ??) 上的单调性并给予证明; )
(Ⅱ 对任意 x ?[1, ??) ,不等式 f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围; ) (Ⅲ 若有常数 M ,使得对任意的 x1 ? (a, b) ,存在唯一的 x2 ? (a, b) 满足 )

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2

? M ,则称 M 为函数 f ( x) 在 (a, b) 上的“均值”。 试求函数 f ( x) 在 (1, 3) 上的
“均值”并说明理由。

第 4 页

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分, 共 30 分. 题号 答案 1 C 2 3 B 4 5 C 6 7 A 8 C 9 10 A

二、填空题:本大题有 5 小题,每题 4 分,共 20 分. 11.33 12. 25 13.54 14.2 < a ≤ 3
? 1? 15. ? 0, ? ? 2?



三、解答题:本大题有 5 小题, 共 50 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 10 分) (1)由条件可得 sin ? ?
4 , 5

y Q P O A x

?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? cos? cos ? sin ? sin 6? 6 6 ?
3 3 4 1 3 3?4 .5 分 ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10 ??? ???? ? (2) f ?? ? ? OP ? OQ ? ? cos ? ,sin ? ? ? ? cos ? ,sin ? ? ? ? 6 6? ?
? 3 1 ?? ? c o ? ? s i n ? sin ? ? ? ? , s ? 2 2 3? ?

(第 16 题)

? ? 4 ?, ?? ?[0, ? ) , ?? ? ? , [ ) 3 3 3
?
? 3 ?? 3 ? ? ? s i n ? ? ? ? ,? f ?? ? 的值域是 ? ? 1 ? ? 2 ,1? 2 3? ? ? ?

.5 分

17.(本题满分 10 分) ? ? ? ? ? ? ⑴ ? ( a ? b )⊥b ?(a ? b) ? b ? 0 ,

y A

? ? ?2 ? ? ? a ? b ? b ? 0,?a ? b ? ? | b |2 ,
? ? 又 | a |? 2 | b | ,
? ? 2? 即 a 与 b 的夹角为 . 3
(2)由已知及题(1)得 A(?1, 3) ,

? ? ? ? a ?b 1 cos ? a ? b ?? ? ? ? ? , 2 | a |?| b |
5分

O
(第 17 题)

B x

???? ? ? ? 1 5 3 ) ? ?1 (?1, 3) ? ?2 (1,0) , 因为 OM ? ?1 a ? ?2 b ,所以 ( , 2 6
解得 ?1 ? , ?2 ?

5 6

13 8 ,即 ?1 ? ?2 = . 6 6

5分

第 5 页

20. (本题满分 10 分) (1) 设 t ? x ? ( x ? 0) ,则 t ? 4 ,当且仅当 x ? 2 时取等号, 此时 f ( x) ? ( x ? 1)2 ? ( ? 1)2 ? x2 ? 2 x ? 1 ? = t 2 ? 2t ? 6 ? (t ? 1)2 ? 7 , 因为 t ? 4 , 所以 t=4,即 x = 2 时, f ( x)min ? 2 . (2) 设 t ? 4 分

4 x

4 x

16 8 4 4 ? ? 1 ? ( x ? )2 ? 2( x ? ) ? 6 2 x x x x

x ( k ? 1) 2 2(k ? 1) ? ( x ? [ k 2,( k ? 1) 2 ]) ,则 t ? , 2 k x k

当且仅当 x ? k (k ? 1) 时取等号,显然 k (k ? 1) ?[k 2,(k ? 1)2 ] ,

2( k ? 1) ( k ? 1) 2 (k ? 1)2 , ? 1 ], ,所以 t ? [ k k2 k2 x (k ? 1) 2 2(k ? 1) 2 ? 1]2 ? (t ? 1) 2 ? ?1 , 此时 f ( x) ? ( 2 ? 1) 2 ? [ k x k2 2(k ? 1)2 令 g (t ) ? (t ? 1)2 ? ?1 , k2 2(k ? 1) (k ? 1)2 因为函数 g (t ) 在 [ ,? 1 ] 上单调递增, k k2 2(k ? 1) 2(k ? 1) 2(k ? 1) 2 2 ]?[ ? 1]2 ? ?1 ? 2 , ∴ f ( x) min ? g[ 2 k k k k 2 2 2 (k ? 1) ( k ? 1) 2 2( k ? 1) ( k ? 1) 2 f ( x) max ? g[1 ? ]?[ ] ? ?1 ? [ ? 1]2 , k2 k2 k2 k2
且当 x ? k 2 和 x ? (k ? 1)2 时,都有 t ? 1 ? 又 1 ? f ( x) ? 9 对任意 x ?[k 2,(k ? 1)2 ] 恒成立,

?2 ?? 2 ? k ? 2 ?k2 ?1 ? ? ∴? ,即 ? 1, 2 ? k ? 1或k ? ? ?[ (k ? 1) ? 1]2 ? 9 3 ? ? k2 ?
注意到 k ? 0 ,∴1 ? k ? 2 即为所求. 6分

第 6 页


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