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【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件:选修4-5 2证明不等式的基本方法


第二节
证明不等式的基本方法

【知识梳理】 1.比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法 两种. 名称 作差比较法 a-b>0 a>b?______ a-b<0 a<b?______ a-b=0 a=b?______ 作商比较法
a >1?a>b b a b<0,

>1?a<b b

理论 依据

b>0,

名称 适用 类型 证明 步骤

作差比较法 具有多项式 特 适用于___________ 征的不等式的证明 作差→变形→判断符号

作商比较法 主要适用于积、商、幂、对 数、根式形式的不等式证明 作商→变形→判断与1的大 小关系→得出结论

→得出结论

2.综合法和分析法

(1)综合法:
已知条件 出发,利用_____ 定义 、公理、_____ 定理 、性质等,经过 一般地,从_________ 推理 、_____ 论证 而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法. 一系列的_____ 顺推证法 或由因导果法. 综合法又叫_________

(2)分析法:

要证的结论 出发,逐步寻求使它成立的_________, 充分条件 直 证明命题时,从___________
已知条件 或___________________( 一个明显成立的事实 定义、公理或已证 至所需条件为_________ 明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分 析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.

【小题快练】 1.(2015·襄阳模拟)若a>b>1,x=a+ 1 ,y=b+ 1 ,则x与y的大小关系
a b



(

) B.x<y C.x≥y D.x≤y

A.x>y

【解析】选A.x-y= a ? 1 ? (b ? 1 ) ? a ? b ? b ? a ? ? a ? b ?? ab ? 1? . 由a>b>1
a b ab ab 得ab>1,a-b>0,所以 ? a ? b ?? ab ? 1? >0.即x-y>0,所以x>y. ab

2.(2015·九江模拟)若x≠3或y≠-1,M=x2+y2-6x+2y,N=-10,则M与N的 大小关系是 A.M≥N ( ) B.M>N C.M≤N D.M<N

【解析】选B.因为M-N=x2+y2-6x+2y+10=(x-3)2+(y+1)2. 又因为x≠3或y≠-1, 所以M-N=(x-3)2+(y+1)2>0,即M>N.

3.(2015·宿州模拟)设x>0,y>0, M ? x ? y , N ? x ? y ,
2?x ? y 2?x 2? y

则M,N的大小关系是 【解析】因为x>0,y>0, 所以 N ? x ? y ?
2?x 2? y

.

x y x?y ? ? ? M, 2?x ? y 2? y?x 2?x ? y

即M<N. 答案:M<N

4.(2015·临沂模拟)给出下列命题: ①比较法最终要判断式子的符号得出结论; ②综合法是从原因推导到结果的思维方法,它是从已知条件出发,经过 逐步推理,最后达到待证的结论; ③分析法又叫逆推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地 寻求结论成立的必要条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事 实;

④使用反证法时,“反设”不能作为推理的条件应用; ⑤放缩法就是把分式的分子放大,分母缩小. 其中正确的命题是 A.①② B.② ( ) C.②③ D.②④⑤

【解析】选B.①错误.当使用作商比较法时要判断与1的大小关系才能
得出结论.

②正确.根据综合法的定义可得结论正确.
③错误.根据分析法的定义,应把“必要条件”改为“充分条件”才是 正确的结论. ④错误.根据反证法的定义,“反设”能作为已知条件充分使用. ⑤错误.不符合放缩法的定义.

考点1

用比较法证明不等式

【典例1】求证:(1)当x∈R时,1+2x4≥2x3+x2. (2)当a,b∈(0,+∞)时,aabb≥

? ab ?

a ?b 2

.

【解题提示】第(1)小题的不等式为一元型的整式不等式 ,可以考虑采 用作差比较法证明;而第(2)小题是幂指型的不等式,可考虑采用作商 比较法证明.

【规范解答】(1)方法一:(1+2x4)-(2x3+x2) =2x3(x-1)-(x+1)(x-1) =(x-1)(2x3-x-1) =(x-1)(2x3-2x+x-1) =(x-1)[2x(x2-1)+(x-1)] =(x-1)2(2x2+2x+1) = ? x ? 1?2 [2(x ? 1 ) 2 ? 1 ] ? 0,
2 2

所以1+2x4≥2x3+x2.

方法二:(1+2x4)-(2x3+x2) =x4-2x3+x2+x4-2x2+1

=(x-1)2·x2+(x2-1)2≥0,
所以1+2x4≥2x3+x2.

a ? b b ?a a ?b a b a b a (2) ?a 2 b 2 ?( ) 2 , a ?b b ? ab ? 2

a ?b a 当a=b时,( ) 2 =1; b a ?b a a ? b a 当a>b>0时, ? 1, ? 0,( ) 2 ? 1 ; b 2 b

当b>a>0时,
b a a?b a a? 0 ? ? 1, ? 0,( ) 2 ? 1. b 2 b

所以aabb≥

? ab ?

a ?b 2

.

【互动探究】保持本例(2)小题的条件不变.
(1)若a<b,比较(a2+b2)(a-b)与(a2-b2)(a+b)的大小.

(2)证明abba≤

? ab ?

a ?b 2

.

【解析】(1)因为(a2+b2)(a-b)-(a2-b2)(a+b)=(a-b)[a2+b2-(a+b)2] =-2ab(a-b). 又因为0<a<b,所以-2ab<0,a-b<0, 所以(a2+b2)(a-b)-(a2-b2)(a+b)>0, 所以(a2+b2)(a-b)>(a2-b2)(a+b).

a +b a +b a ?b b a b? a? a b b (2) ? a 2 ?b 2 ? ( ) 2 . a ?b a ? ab ? 2

a ?b b 当a=b时, ( ) 2 =1; a a ?b b a ? b b 当a>b>0时,0< <1, ? 0,( ) 2 <; 1 a 2 a a ?b b a ? b b 当b>a>0时, ? 1, <0,( ) 2 <, 1 a 2 a b a a ?b a b bb a≤ 所以 ≤ 1, 即 a ? ab ? 2 . a ?b ? ab ? 2

【规律方法】比较法证明不等式的方法与步骤 1.作差比较法 (1)作差比较法证明不等式的一般步骤: ①作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差; ②变形:将差式进行变形,化简为一个常数,或通分,因式分解变形为若 干个因式的积,或配方变形为一个或几个平方和等; ③判号:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号; ④结论:肯定不等式成立的结论.

(2)作差比较法的应用范围: 当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较 法.

2.作商比较法
(1)作商比较法证明不等式的一般步骤:

①作商:将不等式左右两边的式子进行作商;
②变形:将商式的分子放(缩),分母不变,或分子不变,分母放(缩),或

分子放(缩),分母缩(放),从而化简商式为容易和1比较大小的形式;
③判断:判断商与1的大小关系,就是判断商大于1或小于1或等于1;

④结论.

(2)作商比较法的应用范围:

当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商比
较法.

提醒:在使用作商比较法时,要注意说明分母的符号.

【变式训练】1.已知a∈R,且a≠1,求证:3(a4+a2+1)>(1+a+a2)2.
【证明】因为3(1+a2+a4)-(1+a+a2)2

=3[(1+a2)2-a2]-(1+a+a2)2
=3(1+a+a2)(1-a+a2)-(1+a+a2)2

=(1+a+a2)(2a2-4a+2)
=2(1+a+a2)(a-1)2

= 2[(a ? 1 ) 2 ? 3 ] ? a ? 1?2 ,
2 4

又a∈R,a≠1,所以 2[(a ? 1 ) 2 ? 3 ] ? a ? 1?2 >0,
2 4

故3(a4+a2+1)>(1+a+a2)2.

2 2 a ? b a ?b 2.设a>b>0,求证: ? . 2 2 a ?b a?b

【证明】方法一:因为a>b>0, 所以左边-右边=

? a ? b[ ? ?a ? b?

? ? a 2 ? b 2 ?] 2ab ? a ? b ? ? 2 ? 0, 2 2 2 ? a ? b ? (a ? b) ?a ? b ? ?a ? b ?
2

故原不等式成立.
a 2 ? b2 2 2 2 2 2 a ? b ? ? a ? b a ? b 2ab 方法二:a ? b ? ? ? ? 1 ? ? 1, 2 2 2 2 2 2 a?b a ?b a?b a ?b a ?b a?b 2 2 a ? b a ?b a ? b 由a>b>0,知 >0,所以 ? . 2 2 a ?b a?b a?b

【加固训练】1.(2015·吉林模拟)已知函数f(x)=2x,x1,x2是任意实
x ? x2 数且x1≠x2,证明:1 [f ? x1 ? ? f ? x 2 ?] ? f( 1 ). 2 2

x ? x2 【证明】 1 [f ? x1 ? ? f ? x 2 ?] ?f( 1 )

x ? x2 1 ? [f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 2f ( 1 )] 2 2 x1 ? x 2 1 x1 x2 ? [2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ] 2 x1 x2 x1 x2 1 x1 ? [2 ? 2 2 ?2 2 ? 2 2 ?2 2 ? 2 x 2 ] 2 x x x2 x2 x1 x2 1 21 21 ? [2 (2 ? 2 2 ) ? 2 2 (2 2 ? 2 2 )] 2 x x2 x1 x2 1 21 ? (2 ? 2 2 )(2 2 ? 2 2 ) 2 x x2 1 21 ? (2 ? 2 2 ) 2 . 2

2

2

因为 x1 ? x 2 , 2 ? 2 ,
1 2 所以 1 (2 2 ? 2 2 )2 ? 0, 2

x1 2

x2 2

x

x

x ? x 2 >0, 即1 [f ? x1 ? ? f ? x 2 ?] ?f( 1 ) 2 2 x ? x2 所以 1 [f ? x1 ? ? f ? x 2 ?] ? f( 1 ). 2 2

2 2 a b 2.已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证: ? ? 1. a ?1 b ?1 2 2 【证明】左边-右边= a ? b ? 1 a ?1 b ?1

?

a 2 ? b ? 1? ? b 2 ? a ? 1? ? ? a ? 1?? b ? 1?

? a ? 1? (b ? 1)

a 2 b ? ab 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? a ? b ? 1 ? . ? a ? 1?? b ? 1?

因为a+b=2,所以左边-右边=

1 ? ab . ? a ? 1?? b ? 1?
2

因为a,b都是正实数,所以ab≤ ? a ? b ? =1. 4
所以1-ab≥0, 所以
1 ? ab ≥0. ? a ? 1? (b ? 1)

2 2 a b 所以 ≥1成立. ? a ?1 b ?1

考点2

用综合法证明不等式

【典例2】已知三个互不相等的正数a,b,c,满足abc=1.试证明:
1 1 1 a ? b ? c< ? ? . a b c

【解题提示】本题可用abc=1代换 a, b, c 中的a,b,c,然后利用基 本不等式证明或者利用基本不等式从右向左证明 .

【规范解答】方法一:因为a,b,c>0,且互不相等,abc=1,

所以


1 1 1 1 1 1 ? ? ? 1 1 1 b c a c a b 1 1 1 a? b? c? ? ? < ? ? ? ? ? , bc ac ab 2 2 2 a b c
1 1 1 a ? b ? c< ? ? . a b c

方法二:因为 1 ? 1 ? 2 1 ? 2 c,
a b ab
1 1 1 ? ?2 ? 2 a, b c bc 1 1 1 ? ?2 ? 2 b. c a ac

所以以上三式相加,得 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? c.
a b c

又因为a,b,c互不相等, 所以 1 ? 1 ? 1> a ? b ? c.
a b c

方法三:因为a,b,c是互不相等的正数,且abc=1,

所以 1 ? 1 ? 1 ? bc ? ca ? ab ? bc ? ca ? ca ? ab ? ab ? bc
a b c 2 2 2
> abc 2 ? a 2 bc ? ab 2 c ? a ? b ? c,

所以 a ? b ? c<1 ? 1 ? 1 .
a b c

【互动探究】本例已知条件不变,则(a+2)(b+2)(c+2)与27的大小关

系为__________.
【解析】由已知得(a+2)(b+2)(c+2)=(a+1+1)(b+1+1)·(c+1+1)>
33 a ? 33 b ? 3 3 c ? 27 3 abc ? 27.

答案:(a+2)(b+2)(c+2)>27

【规律方法】

1.综合法证明不等式的方法
(1)综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右 两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是 证明的关键. (2)在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用 的.在运用这些性质时,要注意性质成立的前提条件.

2.综合法证明时常用的不等式

(1)a2≥0.
(2)|a|≥0. (3)a2+b2≥2ab,它的变形形式有 a2+b2≥2|ab|;a2+b2≥-2ab;(a+b)2≥4ab;
2 2 1 a?b 2 2 a ?b a ? b ? ?a ? b? ; ?( ). 2 2 2 2 2

(4) a ? b ? ab, 它的变形形式有
2 a? 1 a b a b ? 2 ? a ? 0 ? ; ? ? 2 ? ab ? 0 ? ; ? ? ?2 ? ab ? 0 ?. a b a b a

(5)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

【变式训练】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:
①abc ? 1 1 1 1 ;② ? ? ? 9; 27 a b c

1 a 2 b2 c2 ③ab ? bc ? ca ? ;④ ? ? ? 1; ⑤ a ? b ? c ? 3. 3 b c a

【证明】①由已知得1=a+b+c≥ 3 3 abc, 所以abc≤ ( 1 )3 ? 1 .
3 27

②因为a+b+c=1,

所以

1 1 1 a ?b?c a ?b?c a ?b?c b a c a c b ? ? ? ? ? ? 3? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) a b c a b c a b a c b c

≥3+2+2+2=9, 当且仅当a=b=c= 1 时取等号, 所以 1 ? 1 ? 1 ? 9.
a b c 3

③因为a+b+c=1,

所以a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1(*)
又因为a2+b2+c2= 1[(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)]≥ab+bc+ca,
2

所以(*)式变为1≥ab+bc+ca+2(ab+bc+ca), 即ab+bc+ca≤ 1 .
3

2 2 2 a b c ④因为 ? b ? 2a, ? c ? 2b, ? a ? 2c, b c a 2 2 2 a b c 故 ? ? ? ?a ? b ? c? ? 2?a ? b ? c?, b c a 2 2 2 2 2 2 a b c a b c 即 ? ? ≥a+b+c,所以 ? ? ≥1. b c a b c a

⑤因为a>0,b>0,c>0,所以 a ? b ? 2 ab,b ? c ? 2 bc,c ? a ? 2 ca, 三式相

加得2(a+b+c)≥ 2 ab ? 2 bc ? 2 ca,
两边同加a+b+c得3(a+b+c)≥ a ? b ? c ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca ?

?

a? b? c ,

?

2

又因为a+b+c=1,所以3≥

?

a ? b ? c , 所以

?

2

a ? b ? c ? 3.

【加固训练】(2015·兰州模拟)若a,b,x,y均为正实数,并且x+y=1,

求证:ab≤(ax+by)(ay+bx)≤

?a ? b?
4

2

.

【证明】(ax+by)(ay+bx)-ab=a2xy+b2xy+abx2+aby2-ab =xy(a2+b2)+ab(x2+y2-1) =xy(a2+b2)+ab[(x+y)2-2xy-1].

因为x+y=1,

所以(ax+by)(ay+bx)-ab=xy(a2+b2)-2abxy
=xy(a-b)2≥0(x,y>0), 所以ab≤(ax+by)(ay+bx).
ax ? by ? ? ? ay ? bx ? 2 a ? x ? y ? ? b ? x ? y ? 2 又(ax+by)(ay+bx)≤ [ ? ] ?[ ]
?( a ? b 2 ?a ? b? ) ? . 2 4
2

2

2

a ? b? 所以ab≤(ax+by)(ay+bx)≤ ? 4

2

.

考点3

用分析法证明不等式

【典例3】(2015·十堰模拟)设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.
求证:(1)a+b+c≥ 3 . (2)
a b c ? ? ? 3 bc ac ab

?

a? b? c .

?

【解题提示】(1)不好直接用比较法和综合法,可选择用分析法证

明.(2)先将不等式左边通分变形后利用分析法证明,注意使用 (1)中
已证得的结论.

【规范解答】(1)要证a+b+c≥ 3 ,

由于a,b,c>0,
因此只需证明(a+b+c)2≥3. 即证:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3, 而ab+bc+ca=1, 故需证明:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca).

即证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
a 2 ? b2 b2 ? c2 c2 ? a 2 而这可以由ab+bc+ca≤ =a2+b2+c2(当且仅当 ? ? 2 2 2

a=b=c时等号成立)证得. 所以原不等式成立.

(2)

a b c a?b?c ? ? ? . bc ac ab abc

在(1)中已证a+b+c≥ 3 .
因此要证原不等式成立, 只需证明
1 ? a ? b ? c, abc

即证 a bc ? b ac ? c ab ? 1, 即证 a bc ? b ac ? c ab ? ab ? bc ? ca.

而 a bc ? ab?ac ? ab ? ac ,
2 b ac ? ab ? bc bc ? ac ,c ab ? . 2 2

所以 a bc ? b ac ? c ab ≤ab+bc+ca(当且仅当a=b=c= 立). 所以原不等式成立.

3 时等号成 3

【规律方法】

1.用分析法证“若A则B”这个命题的模式
为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有? 只需证明命题B2为真,从而有? ?? 只需证明命题A为真,而已知A为真,故B必真.

2.分析法的应用

当所证明的不等式不能使用比较法,且和重要不等式、基本不等式没
有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证 明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.

3.综合法与分析法的逻辑关系

用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索
因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆 过程,表述简单、条理、清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思 路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互相渗透, 互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野.

【变式训练】1.请补全用分析法证明不等式“ ac ? bd ? 时的推论过程: 要证明 ac ? bd ?

?a

2

? b 2 ?? c 2 ? d 2 ? ”

?a

2

? b 2 ?? c 2 ? d 2 ? ,当



时,命题显然成立;当



时,只要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即要证:a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+

a2d2+b2c2+b2d2,即要证a2d2+b2c2≥2abcd,因为
命题成立.



,所以



,所以

【解题提示】根据分析法的原理,及后续证明提示,补全推理过程 .

【解析】根据题意,可知在①②处需要对ac+bd的正负讨论;对于③④
处需要考虑前面证明步骤成立的条件,及结论的写法.

因此,①处应填ac+bd<0,②处应填ac+bd≥0,③处应填(ad-bc)2≥0,
④处应填a2d2+b2c2≥2abcd.

答案:①ac+bd<0 ②ac+bd≥0

③(ad-bc)2≥0 ④a2d2+b2c2≥2abcd

2.已知m>0,求证:
a ? mb 2 a 2 ? mb 2 ) ? . ?1? ( 1? m 1? m 1 1 2 2 m ? ? 2 ? m ? ? 2. ? ? 2 m m

【证明】(1)因为m>0,所以1+m>0.
2 2 a ? mb a ? mb 2 所以要证 ( ) ? , 1? m 1? m

即证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即证m(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0, 而(a-b)2≥0显然成立,故
a ? mb 2 a 2 ? mb 2 ( ) ? . 1? m 1? m

(2)因为m>0,所以为了证明

m2 ?

1 1 ? 2 ? m ? ? 2, 2 m m

只需证明

m2 ?

1 1 ? 2 ? m ? ? 2, 2 m m m m

即只需证明 ( m 2 ? 1 ? 2)2 ? (m ? 1 ? 2) 2 , 2 即 m2 ? 1 ? 4 m2 ? 1 ? 4 ? m 2 ? 1 ? 2 2(m ? 1 ) ? 4, 2 2 2
m m m m

即只需证明 2 m 2 ? 1 ? 2(m ? 1 ). 2
m m

只需证明 4(m 2 ? 1 ) ? 2(m 2 ? 2 ? 1 ), 2 2
m m

即 m 2 ? 12 ? 2.
m

因为 m2 ? 1 ? 2 m2 ? 1 ? 2, 2 2
m m

当且仅当m=1时,等号成立,所以

m2 ?

1 1 ? 2 ? m ? ? 2. 2 m m

【加固训练】要证明“

3 ? 2 ? 6 ? 5 ”可选择的方法有以下几

种,其中最合理的是
①反证法,②分析法,③综合法.

.(填序号)

【解析】因为 3 ? 2 ? 6 ? 5 ,是含有无理式的不等式,如果利用反

证法,其形式

3 ? 2 ? 6 ? 5 与原不等式相同,所以反证法不合适;

综合法不容易找出证明的突破口,所以最合适的证明方法是分析法. 答案:②


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