当前位置:首页 >> 高中教育 >>

【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2第二章测试]


第二章测试
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若实数 a,b 满足 b>a>0,且 a+b=1,则下列四个数最大的是 ( ) A.a2+b2 1 C.2 答案 D.a A B.2ab

2 .下面用“三段论”

形式写出的演练推理:因为指数函数 y = 1 ax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数,y=(2)x 是指数函数,所以 y 1 =(2)x 在(0,+∞)上是增函数. 该结论显然是错误的,其原因是( A.大前提错误 C.推理形式错误 B.小前提错误 D.以上都可能 )

解析 大前提是:指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是 增函数,这是错误的. 答案 A

3.设 a,b,c 都是非零实数,则关于 a,bc,ac,-b 四个数,有 以下说法: ①四个数可能都是正数;②四个数可能都是负数;③四个数中既 有正数又有负数. 则说法中正确的个数有( )

A.0 C.2

B.1 D.3

解析 可用反证法推出①,②不正确,因此③正确. 答案 B )

4.下面使用类比推理正确的是(

A.“若 a· 3=b· 3,则 a=b”类比推出“若 a· 0=b· 0,则 a=b” B.“(a+b)· c=ac+bc”类比推出“(a· b)· c=ac· bc” a+b a b C.“(a+b)· c=ac+bc”类比推出“ c =c+c(c≠0)” D.“(ab)n=anbn”类比推出“(a+b)n=an+bn” 解析 由类比出的结果应正确知选 C. 答案 C

5. 在证明命题“对于任意角 θ, cos4θ-sin4θ=cos2θ”的过程: cos4θ - sin4θ = (cos2θ + sin2θ)(cos2θ - sin2θ) = cos2θ - sin2θ = cos2θ 中应用了 ( ) A.分析法 B.综合法 C.分析法和综合法综合使用 D.间接证法 答案 B

π π 6.已知 f(x)=sin(x+1)3- 3cos(x+1)3,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+ f(2011)=( A.2 3 C.- 3 ) B. 3 D.0

1 π 3 π π 解析 ∵f(x)=2[2sin(x+1)3- 2 cos(x+1)3]=2sin3x,∴周期 T=

3 3 3 3 6,且 f(1)+f(2)+?+f(6)=2( 2 + 2 +0- 2 - 2 +0)=0,∴f(2011) π =f(6×335+1)=f(1)=2sin3= 3. 答案 B

1 1 1 7.用数学归纳法证明 1+2+3+?+ n <n(n∈N*,且 n>1),由 2 -1 n=k(k>1)不等式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数为( A.2k-1 C.2k-1 B.2k+1 D.2k )

1 1 1 1 1 解析 当 n=k+1 时, 左边=1+2+3+?+ k +2k+ k +? 2 -1 2 +1 + 1 ,所以增加的项数为(2k+1-1)-2k+1=2k+1-2k=2k. 2 -1
k+1

答案

D )

8.若数列{an}是等比数列,则数列{an+an+1}( A.一定是等比数列 B.一定是等差数列 C.可能是等比数列也可能是等差数列 D.一定不是等比数列 解析 设等比数列{an}的公比为 q,则 an+an+1=an(1+q). ∴当 q≠-1 时,{an+an+1}一定是等比数列; 当 q=-1 时,an+an+1=0,此时为等差数列. 答案 C

1 1 9.如果 a,b 为非零实数,则不等式a>b成立的充要条件是( A.a>b 且 ab<0 B.a<b 且 ab>0

)

C.a>b,ab<0 或 ab>0 解析

D.a2b-ab2<0

b-a 1 1 1 1 ∵ ab≠0 ,∴ a > b ? a - b >0 ? ab >0 ? (b - a)ab>0 ? ab2 -

a2b>0?a2b-ab2<0. 答案 D

10.由①正方形的对角线相等;②平行四边形的对角线相等;③ 正方形是平行四边形,根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论 是( ) A.平行四边形的对角线相等 B.正方形的对角线相等 C.正方形是平行四边形 D.以上都不是 解析 大前提②,小前提③,结论①. 答案 B

11.观察下表: 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4??第一行 5??第二行 6??第三行 7??第四行

? ? ? ? ? ? ? ? 第一列 第二列 第三列 第四列 根据数表所反映的规律,第 n 行第 n 列交叉点上的数应为( A.2n-1 C.n2-1 解析 D.n2 B.2n+1 )

观察数表可知 ,第 n 行第 n 列 交叉点上的数依 次为

1,3,5,7,?,2n-1. 答案 A

12.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定:(a,b)=(c,d) 当且仅当 a=c,b=d;运算“?”为:(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad); 运算“⊕”为:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d).设 p,q∈R,若(1,2)?(p, q)=(5,0),则(1,2)⊕(p,q)等于( A.(4,0) C.(0,2) B.(2,0) D.(0,-4) )

解析 由(1,2)?(p,q)=(5,0),得
?p-2q=5, ?p=1, ? ? ? ?? ? ? ?2p+q=0 ?q=-2.

所以(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0). 答案 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在 题中的横线上) 13.已知 a>0,b>0,m=lg 小关系是________. 解析 ab>0? ab>0?a+b+2 ab>a+b?( a+ b)2>( a+b)2? a+ b a+b a+ b a+b > ? lg >lg 2 2 2 2 . a+ b a+b , n = lg 2 2 ,则 m,n 的大

a+ b> a+b? 答案 m>n

14.在正三角形中,设它的内切圆的半径为 r,容易求得正三角形 的周长 C(r)=6 3r,面积 S(r)=3 3r2,发现 S′(r)=C(r).这是平面几 何中的一个重要发现.请用类比推理的方法猜测对空间正四面体存在 的类似结论为________.

解析 设正四面体的棱长为 a,内切球的半径为 r,利用等积变形 易求得正四面体的高 h=4r.由棱长 a, 高 h 和底面三角形外接圆的半径 构成直角三角形,得 a2=(4r)2+?
? 3 ?2 a? ,解得 a=2 6r.于是正四面体的 ?3 ?

1 1 1 表面积 S(r)=4×2×(2 6r)2×sin60° =24 3r2,体积 V(r)=3×2×(2 6 r)2×sin60° ×4r=8 3r3,所以 V′(r)=24 3r2=S(r). 答案 V′(r)=S(r)

15.观察下列等式: 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 ? 照此规律,第 n 个等式为________________. 解析 分 n 为奇数、偶数两种情况.第 n 个等式的左边为 12-22 +32-?+ (-1)n-1n2. 当 n 为偶数时,分组求和(12-22)+(32-42)+?+[(n-1)2-n2]= n?n+1? -[3+7+?+(2n-1)]=- 2 . 当 n 为奇数时, (12 - 22)+ (32- 42)+ ? + [(n- 1)2- n2]+ n2 =- n?n-1? 2 n?n+1? 2 +n = 2 . 综上,第 n 个等式:12-22+32-?+(-1)n-1n2= ?-1?n+1 2 n(n+1). 答案 1 -2 +3 -?+(-1)
2 2 2 n-1 2

?-1?n+1 n = 2 n(n+1)

16.对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直, 那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得 到命题:“_________________________________________”. 答案 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直,那么这两个

二面角相等或互补 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 1 4 17.(10 分)已知 0<a<1,求证:a+ ≥9. 1-a 证法 1 (分析法) ∵0<a<1,∴1-a>0, 1 4 ∴要证a+ ≥9, 1-a 只需证 1-a+4a≥9a(1-a), 即证 1+3a≥9a(1-a), 即证 9a2-6a+1≥0, 即证(3a-1)2≥0, 上式显然成立. ∴原命题成立. 证法 2 (综合法) ∵(3a-1)2≥0, 即 9a2-6a+1≥0, ∴1+3a≥9a(1-a). ∵0<a<1, ∴ 1+3a ≥9, a?1-a?



1-a+4a ≥9, a?1-a?

1 4 即a+ ≥9. 1-a 证法 3 (反证法) 1 4 假设a+ <9, 1-a 1 4 即a+ -9<0, 1-a 即 1-a+4a-9a?1-a? <0, a?1-a?

9a2-6a+1 即 <0, a?1-a? ?3a-1?2 即 <0, a?1-a? 而 0<a<1,∴a(1-a)>0, ∴(3a-1)2<0,与(3a-1)2≥0 相矛盾, ∴原命题成立. 18.(12 分)下列推理是否正确?若不正确,指出错误之处. (1) 求证:四边形的内角和等于 360° . 证明:设四边形 ABCD 是矩形,则它的四个角都是直角,有∠A +∠B+∠C+∠D=90° +90° +90° +90° =360° ,所以四边形的内角和 为 360° . (2) 已知 2和 3都是无理数,试证: 2+ 3也是无理数. 证明:依题设 2和 3都是无理数,而无理数与无理数之和是无理 数,所以 2+ 3必是无理数. (3) 已知实数 m 满足不等式(2m+1)(m+2)<0,用反证法证明:关 于 x 的方程 x2+2x+5-m2=0 无实根.

证明:假设方程 x2+2x+5-m2=0 有实根.由已知实数 m 满足不 1 等式(2m+1)(m+2)<0,解得-2<m<-2,而关于 x 的方程 x2+2x+5- 1 1 m2=0 的判别式 Δ=4(m2-4),∵-2<m<-2,∴4<m2<4,∴Δ<0,即 关于 x 的方程 x2+2x+5-m2=0 无实根. 解 (1) 犯了偷换论题的错误,在证明过程中,把论题中的四边形

改为矩形. (2) 使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”, 这个论据是 假的,因为两个无理数的和不一定是无理数,因此原题的真实性仍无 法判定. (3)利用反证法进行证明时,要把假设作为条件进行推理,得出矛 盾,本题在证明过程中并没有用到假设的结论,也没有推出矛盾,所 以不是反证法. 19.(12 分)已知数列{an}和{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn =an+bn. 求证:数列{cn}不是等比数列. 证明 假设{cn}是等比数列,则 c1,c2,c3 成等比数列.设{an},

{bn}的公比分别为 p 和 q,且 p≠q,则 a2=a1p,a3=a1p2,b2=b1q,b3 =b1q2. ∵c1,c2,c3 成等比数列,∴c22=c1· c3, 即(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3). ∴(a1p+b1q)2=(a1+b1)(a1p2+b1q2). ∴2a1b1pq=a1b1p2+a1b1q2. ∴2pq=p2+q2,∴(p-q)2=0. ∴p=q 与已知 p≠q 矛盾.

∴数列{cn}不是等比数列. 20.(12 分)证明:若 a>0,则 证明 只需证 只需证( ∵a>0,要证 1 1 a2+a2- 2≥a+a-2.

1 1 a2+a2- 2≥a+a-2,

1 1 a2+a2+2≥a+a+ 2, 1 1 a2+a2+2)2≥(a+a+ 2)2, 1 1 1 a2+a2≥a2+a2+4+2 2(a+a),

1 即证 a2+a2+4+4 即证

1 2 1 a2+a2≥ 2 (a+a),

1 1 1 即证 a2+a2≥2(a2+a2+2), 1 即证 a2+a2≥2, 1 即证(a-a)2≥0, 该不等式显然成立. ∴ 1 1 a2+a2- 2≥a+a-2.

21.(12 分)如图,DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC =2,∠ACB=120° ,P,Q 分别为 AE,AB 的中点.

(1)证明:PQ∥平面 ACD; (2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值. 解 (1)证明:∵P,Q 分别为 AE,AB 的中点,

∴PQ∥EB,又 DC∥EB. ∴PQ∥DC,而 PQ?平面 ACD, DC?平面 ACD,∴PQ∥平面 ACD. (2)如图,连接 CQ,DP,

∵Q 为 AB 的中点,且 AC=BC, ∴CQ⊥AB. ∵DC⊥平面 ABC,EB∥DC,∴EB⊥平面 ABC. ∴CQ⊥EB,故 CQ⊥平面 ABE. 1 由(1)知,PQ∥DC,又 PQ=2EB=DC, ∴四边形 CQPD 为平行四边形.

∴DP⊥平面 ABE. 故∠DAP 为 AD 与平面 ABE 所成角. 在 Rt△DAP 中,AD= 5,DP=1, 5 ∴sin∠DAP= 5 . 5 因此 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值为 5 . 22.(12 分)已知 f(x)= 2)=1. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)已知数列{xn}的项满足 xn=(1-f(1))(1-f(2))?(1-f(n)),试求 x1,x2,x3,x4; (3)猜想{xn}的通项公式,并用数学归纳法证明. 解 1 (1) 把 f(1) = log162 = 4 , f( - 2) = 1 , 代 入 函 数 表 达 式 得
2

bx+1 1 2(x≠- , a a>0),且 f(1)=log162,f(- ?ax+1?

b+1 1 ? ??a+1? =4, ?-2b+1 ? ??1-2a? =1,
2 2 ? ?4b+4=a +2a+1, 即? 2 ?-2b+1=4a -4a+1, ?

?a=1, ? 1 解得? (舍去 a=-3<0), ? ?b=0,

1 ∴f(x)= (x≠-1). ?x+1?2 1 3 (2) x1=1-f(1)=1-4=4,

x2=(1-f(1))(1-f(2)) 3 1 2 =4×(1-9)=3, 2 2 1 5 x3=3(1-f(3))=3×(1-16)=8, 5 1 3 x4=8×(1-25)=5. 3 2 4 5 3 6 (3) 由(2)知,x1=4,x2=3=6, x3=8,x4=5=10,?,由此可 n+2 以猜想 xn= . 2n+2 1+2 3 3 证明:①当 n=1 时,∵x1=4,而 =4,∴猜想成立. 2?1+1? n+2 ②假设当 n=k(k∈N*)时,xn= 成立, 2?n+1? 即 xk= k+2 ,则 n=k+1 时, 2?k+1?

xk+1=(1-f(1))(1-f(2))?(1-f(k))· (1-f(k+1)) =xk· (1-f(k+1)) = = k+2 1 · [1- ] 2?k+1? ?k+1+1?2 k+2 ?k+1??k+3? · 2?k+1? ?k+2?2

?k+1?+2 1 k +3 =2· = . k+2 2[?k+1?+1] ∴当 n=k+1 时,猜想也成立,根据①②可知,对一切 n∈N*,猜 n+2 想 xn = 都成立. 2?n+1?


相关文章:
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练10]
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练10]_高中教育_教育专区。【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练10]双基...
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练21]
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练21]_高中教育_教育专区。【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练21]双基...
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练20
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练20_高中教育_教育专区。【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练20双基...
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练8
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练8_高中教育_教育专区。【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练8双基...
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练5]
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练5]_高中教育_教育专区。【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练5]双基...
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2第一章测试]
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2第章测试]_高中教育_教育专区。【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2第章测试]第...
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练6
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练6_高中教育_教育专区。【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练6双基...
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练13]
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练13]_高中教育_教育专区。【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练13]双基...
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2第三章测试]
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2第章测试]_高中教育_教育专区。【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2第章测试]第...
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练15]
【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练15]_高中教育_教育专区。【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练15]双基...
更多相关标签:
名师一号数学选修2 1 | 物理选修3 1第二章 | 高二化学选修4第二章 | 化学选修4第二章测试 | 化学选修4第二章 | 高中物理选修31第二章 | 高中化学选修四第二章 | 化学选修四第二章 |