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2017届高考数学二轮复习第1部分专题五立体几何1空间几何体的三视图表面积与体积限时速解训练文


限时速解训练十三

空间几何体的三视图、表面积与体积
(建议用时 40 分钟)

一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O?xyz 中的坐标分别是(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1), (0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为 ( )

解析:选 A.设 O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),将以 O、A、B、C 为顶点的四面 体补成一正方体后,由于 OA⊥BC,所以该几何体以 zOx 平面为投影面的正视图为 A. 2.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何 体是( )

A.三棱锥 C.四棱锥

B.三棱柱 D.四棱柱

解析:选 B.原几何体为如图所示的三棱柱,故选 B.

3.一个几何体的三视图中,正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则俯视图不可能为(

)

1

解析:选 C.若几何体的俯视图为 C 选项,则其正视图中矩形的中间应为实线,与题意不符, 即俯视图不可能为 C 选项,故选 C. 4.某四棱锥的三视图如图所示,记 A 为此棱锥所有棱的长度的集合,则( )

A.2∈A,且 4∈A C.2∈A,且 2 5∈A

B. 2∈A,且 4∈A D. 2∈A,且 17∈A

解析:选 D.由俯视图可知,该四棱锥的底面边长为 2,由主视图可知四棱锥的高为 4,所 以其侧棱长为 16+1= 17,故选 D. 5.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为 ( )

A.2 C.4

B.3 D.5

解析:选 C.作出三棱锥的直观图如图所示,由三视图可知 AB=BD=2,BC=CD= 2,AD= 2 2,AC= 6,故△ABC,△ACD,△ABD,△BCD 均为直角三角形,故选 C. 6.半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面

2

积之差是( A.π R
2

) B.2π R
2

C.3π R

2

D.4π R

2

解析:选 B.设球的内接圆柱的底面圆半径为 r,母线长为 l,则? ? +r =R ,该圆柱的侧面 ?2?
2 2

?l?2
2

积为 2π rl=π

4r l =π

2 2

?4R -l ?l ≤π ×

2

2

2

?4R -l ?+l 2 =2π R , 当且仅当 l= 2R 2
2

2

2

时取等号,所以该圆柱的侧面积的最大值是 2π R ,又球的表面积为 4π R ,所以球的表面积 与该圆柱的侧面积之差是 4π R -2π R =2π R ,故选 B. 7.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积为( )
2 2 2

2

A.17 C.14+2 13

B.22 D.22+2 13
矩形 ABCD

解析:选 D.作出四棱锥 P?ABCD 的直观图如图所示,AB=4,BC=2,PC=3,S

=2×4

1 1 1 1 2 2 = 8 , S △ BCP = ×2×3= 3 , S △ ABP = × 2 +3 ×4= 2 13 , S △ CDP = ×3×4= 6 , S △ ADP = 2 2 2 2 ×2× 3 +4 =5,故四棱锥的表面积 S=8+3+2 13+6+5=22+2 13,故选 D.
2 2

8.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

)

A.48

B.32+8 7
3

C.48+8 17

D.32

解析: 选 C.由三视图可得该几何体是平放的直四棱柱, 底面是上底边长为 2、 下底边长为 4、 1 高为 4 的等腰梯形,四棱柱的侧棱长(即高)为 4,所以一个底面面积是 ×(2+4)×4=12, 2 侧面积为 4 17×2+2×4+4×4=24+8 17,故表面积是 12×2+24+8 17=48+8 17, 故选 C. 9.在梯形 ABCD 中,∠ABC= π ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线 2 )

旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( 2π A. 3 5π C. 3 4π B. 3 D.2π

解析: 选 C.过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E, 梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周所形成 的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径,线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底 面圆半径,ED 为高的圆锥,如图所示,该几何体的体积为 V=V 1 1 5π 2 2 2 ·π ·CE ·DE=π ×1 ×2- π ×1 ×1= ,故选 C. 3 3 3 10. (2016·山东淄博一模)某几何体的三视图如图所示, 图中的四边形都是边长为 1 的正方 体,其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( )
圆柱

-V

圆锥

=π ·AB ·BC-

2

5 A. 6 1 C. 2

3 B. 4 1 D. 6

4

1 解析:选 A.由三视图可知该几何体为一正方体挖去一个倒置且高为 的正四棱锥,所以该几 2 1 1 5 何体的体积为 1- × ×1×1= .故选 A. 3 2 6 11. (2016·吉林长春一模)下图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图, 则该几何体 的表面积为( )

?8 ? A.? +2 2?π ?3 ?
C.(4+2 2)π

?8 ? B.? +4 2?π ?3 ?
D.(8+4 2)π

1 2 解析:选 D.该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和,即 S= ·4π r +π rl=8π 2 +4 2π =(8+4 2)π .故选 D. 12.某几何体的三视图如图所示,当 xy 最大时,该几何体的体积为( )

A.2 7 C.8 7

B.4 7 D.16 7
2 2 2 2 2 2

解析:选 D.该几何体的直观图如图所示,由直观图可知 PA =10 -y =x -(2 7) ,∴x +

y2=128.

又∵128=x +y ≥2xy,当且仅当 x=y 时 xy 取得最大值,

2

2

5

?x +y =128, ? ∴此时? ?x=y, ?

2

2

∴?

?x=8, ? ?y=8. ?

∴h=PA=6, 1 1 1 ∴V= ·S△ABC·|PA|= × ×2 7×8×6=16 7. 3 3 2 二、填空题(把答案填在题中横线上) 13.(2016·山东临沂模拟)四面体 ABCD 中,共顶点 A 的三条棱两两相互垂直,且其长分别 为 2,3,4.若四面体 ABCD 的四个顶点在同一个球面上,则这个球的表面积为________. 解析:依题意,原几何体是一个三棱锥,可以看作一条棱与底面垂直且其长度为 3,底面是 一个直角三角形,两直角边长分别为 2,4,这个几何体可以看作是长、宽、高分别为 4,2,3 1 2 29 2 2 的长方体的一部分,则其外接球的半径为 R= 4 +2 +3 = ,故这个球的表面积为 S 2 2 =4π R =4π ?
2

? 29?2 ? =29π . ? 2 ?

答案:29π 14.(2016·山东德州模拟)一个几何体的三视图如图所示,其侧视图是一个等边三角形,则 这个几何体的体积是________.

解析: 观察三视图可知, 该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体, 圆锥底面半径为 2, 四棱锥底面边长分别为 3,4, 它们的高均为 1 4 3 2 π ×2 ×2 3+ ×4×3×2 3=8 3+ π. 3 3 4 3 答案: π +8 3 3 15.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2,若它们的侧面积相等, 1 1 ?4?2 2 4 -? ? =2 3, 所以该几何体的体积为 × 2 3 ?2?

S1 9 V1 且 = ,则 的值是________. S2 4 V2
解析:设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为 r1、h1,r2、h2,由侧面积相等,即 2π r1h1

6

=2π r2h2,得 = .

h1 r2 h2 r1

S1 π r1 9 r1 3 又 = 2= ,所以 = , S2 π r2 4 r2 2 V1 π r2 r2 h1 r2 r2 r1 3 1h1 1 1 则 = 2 = 2· = 2· = = . V2 π r2h2 r2 h2 r2 r1 r2 2
3 答案: 2 16.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m .
3

2

解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其上部是一个圆锥,底面圆半径为 2,高为 1 2 2 2, 下部是一个圆柱, 底面圆半径为 1, 高为 4, 故该几何体的体积 V= ×π ×2 ×2+π ×1 ×4 3 8π 20π = +4π = . 3 3 20π 答案: 3

7


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