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直线与圆的位置关系(2)


直线和圆的位置关系(2)

赤峰三中

韩素华

人教版九年级上册

(一)温故而知新

图 23.2.6

直线和圆的位置关系 直线与圆公共点的个数 公共点的名称 直线的名称
圆心与直线1的距离d与半径的关系

相离 相切 相交 无 1个 2个
/ / d>r

切点 切线
d=r

交点 割线
d<r

直线与圆的位置关系量化
r r




O ┐d

O

r


O

相交

d ┐ 相切

d ┐ 相离

直线和圆相交
直线和圆相切

d < r;
d = r;

直线和圆相离

d > r;

探索新知 互动课堂
问题一:在⊙O中,经过半径OA的外端点A作直 线L⊥OA,则圆心O到直线L的距离是多少?直线L 和⊙O有什么位置关系?

1、圆的切线的判定定理: 经过半径外端点并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线。 2、几何语言: ∵ L⊥OA 直线L经过半径OA的端点A, ∴直线L是⊙O的切线。

B



O O

C

A

lD

切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线.
切线需满足两条:
(1)经过圆上的一点; (2)垂直于过该点的半径;

.

O

L A

符号语言:

∵l⊥OA,且l 经过⊙O上的A点 ∴直线l是⊙O的切线

注意:定理中的两个条件缺一不可.

画⊙O及半径OA,画一条直线L过半径OA的外端点, 且垂直于OA, 这条直线与圆有几个交点? 直线L一定是圆O的切线吗?

直线与圆相切。
①直线与圆有唯一公共点; ②直线到圆心的距离等于该圆的半径; 由此,你知道如何画圆的切线吗? 经过半径的外端且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。

.O

L

A

1、已知一个圆和圆上一点,如何画 圆的切线呢?

.

o

.

p

你知道如何证明圆的切线吗?

切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线.
∵l⊥OA,且l 经过⊙O上的A点 ∴直线l是⊙O的切线 证明切线的两类题型: (1)有交点 (连半径,证垂直) (2)无交点 L (作垂直,证半径)

.O

A

下列语句对吗?
a、经过半径外端的直线是圆的切线。 b 、垂直于半径的直线是圆的切线 c、 经过直径的端点并且垂直于这条直 径的直线是圆的切线。

1.直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线.

①过半径外端 ②垂直于这条半径。 辅助线: 有点连圆心,证垂直

例1、如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且 OA=OB,AC=CB,求证:直线AB是⊙O的切线。 证明:连接OC ∵OA=OB 又∵CA=CB ∴OC⊥AB ∵ OC是⊙O的半径 ∴AB为⊙O的切线
A

O

C

B

1.下列图形中的直线 l是不是圆O的切线,为什么?
O l A
O l
O l A

A

图(1)中直线l经过半径外端,但不与半 径垂直;图(2)(3)中直线l与半径垂直,但不 经过半径外端. 从以上两个反例可以看出,只满足其中一 个条件的直线不是圆的切线.

2.判断下列命题是否正确. (1)经过半径外端的直线是圆的切线.( 错 ) (2)垂直于半径的直线是圆的切线.( 错 ) (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆 的切线.( 对 ) (4)和圆有公共点的直线是圆的切线.( 错 ) (5)以等腰三角形的顶点为圆心,底边上的高为半 径的圆与底边相切.( 对 )

切线的判定方法:

①直线与圆有唯一公共点;
②直线到圆心的距离等于该圆的半径; ③切线的判定定理.

3、如图,AB是⊙O的直径, ⊙O交BC的中
点于D,DE⊥AC于E,连接AD,则下列结论 正确的个数有 a、AD⊥BC b 、∠EDA= ∠B c 、OA=1/2AC d 、 DE是⊙O的切线
C D



E A

B O

例2.如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于A,C, ∠A=∠B=30°,边BD交圆于点D。 求证:BD是⊙O的切线 证明:连结OD ∵∠A=∠B=30°, D A


∴∠ADB=180°-∠A-∠B = 120° ∵ OA=OD , ∴∠ODA=∠A=300 ∴∠BDO= ∠ADB-∠ADO= 90° ∴ OD⊥BD 又∵直线BD 经过⊙O上的D点 ∴直线BD是⊙O的切线

O

C

B

例3、如图⊙O的半径为8,弦AB=8 3,以O为 圆心,4为半径作小圆,求证:AB与小圆O相切. 证明: 过O作OC⊥AB于C,连结OA 证明直线和圆相切的类型二: 无交点,作垂直,证等于半径. A O

C
B

练习1. 如图,点D是∠AOB的平分线OC上任意 一点,过D作DE⊥OB于E,以DE为半径作⊙D, 判断⊙D与OA的位置关系,并证明你的结论。

辅助线: 无点做垂线段,证半径
F

A C D

O

E

B

?

练习2:O为∠BAC平分线上一点, OD⊥AB于D,以O为圆心,以OD为半 径作⊙O,求证:AC与⊙O相切。
B
D

O


A E

C

教师点评:证明切线时, a。若知道直线与圆有公共点时,经常“连半径,证垂直。” b若不能确定直线与圆有无公共点时,常常“作垂直,证半径相等。

3.如图(a)AB为⊙O的直径,△ABC 内接于⊙O,且∠CAE=∠B
1、试说明AE与⊙O相切于点A。 2、如图(b),若AB是⊙O的非直径的弦,且∠CAE =∠B,AE与⊙O还相切于点A吗?
B A E O B C A O C

E

?a?

?b?

切线的判定方法

有三种:

1、直线与圆有唯一公共点; 2、直线到圆心的距离等于该圆的半径; 3、切线的判定定理. ①过半径外端 切线 ②垂直于这条半径。 辅助线: (1)有点:连圆心,证垂直 (2)无交点:作垂直,证半径.

三、小结:
切线的判定定理: 必具两个条件:过半径的外端点 _______, 垂直于这条半径 ________ 。 连半径,证垂直 常添的辅助线是_________, 作垂直,证半径 _________。


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