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2.1.1《离散型随机变量(一)》课件


高二数学 选修2-3

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知识回顾:
1、什么是随机事件?什么是基本事件? 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做 随机事件。试验的每一个可能的结果称为基本事件。 2、什么是随机试验?
凡是对现象或为此而进行的实验,都称之为试验。

如果试验具有下述特点: 试验可以在相同条件下重复进行;每

次试验的所有 判断下面问题是否为随机试验 可能结果都是明确可知的,并且不止一个;每次试 (1) 京沈T11次特快车到达沈阳站是否正点. 验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验 之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它被 (2)1976 年唐山地震. 称为一个随机试验。简称试验。
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新课引入:
问题1:某人射击一次,可能出现: 命中 0 环,命中 1环,

... ,命中 10 环等结果.

即,可能出现的结果可以由: 0, 1,

,10 ?

表示.

问题2:某次产品检查,在可能含有次品的 100 件产 品中,任意抽取 4 件,那么其中含有次品可能是: 0件,1件,2件,3件,4件. 即,可能出现的结果可以由: 0, 1, 2, 3, 4 表示.

在上面例子中,随机试验有下列特点:
①试验的所有可能结果可以用一个数来表示; ②每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一 次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

1. 随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,(或 随着试验结果变化而变化的变量),那么这样的变量 叫做随机变量. 随机变量常用希腊字母X、Y、? 、η等表示。

例如: 在问题1中:某人射击一次,命中的环数为ξ.

ξ=0,表示命中 0 环; ξ=1,表示命中 1 环;

......

ξ=10,表示命中 10 环; 在问题2中:产品检查任意抽取 4件, 含有的次品数为η;
η=0,表示含有 0 个次品; η=1,表示含有 1 个次品; η=2,表示含有 2 个次品; η=4,表示含有 4 个次品;

......

问题:
1、对于上述试验,可以定义不同的随机变量来表示 这个试验结果吗? 2、在掷骰子试验中,如果我们仅关心掷出的点数是 否为偶数,应如何定义随机变量?

Y=

?

0,掷出奇数点 1,掷出偶数点

3、任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗?

本质是建立了一个从试验结果到实数的对应关系。
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2、离散型随机变量
在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变 量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样 的随机变量叫做离散型随机变量.

所有取值可以一一列出的随机变量,称为离 散型随机变量。
如果随机变量可能取的值是某个区间的一切 值,这样的随机变量叫做连续型随机变量.

问题

某林场树木最高达30m,那么这个林场的树木高度的 情况有那些?

(0,30]内的一切值

? 可以取某个区间内的一切值

写出下列各随机变量可能的取值.
(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张, 被取出的卡片的号数 ? . (? =1、2、3、· · · 、10)

离 散 型

(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个, 其中所含白球数 . ? ( ? =0、1、2、3)

(3)抛掷两个骰子,所得点数之和? . (? =2、3、4、· · · 、12)
(4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数 . ( ? = 1 、 2、 3、 · · · 、n、· · · )

连 续 型

(5)某一自动装置无故障运转的时间? . ( ? 取 ?0,?? ?内的一切值) (6)某林场树木最高达50米,此林场树木的高度? .

( ? 取?0,50? 内的一切值)

又例如: 任掷一枚硬币,可能出现正面向上、反面向上这 两种结果,虽然这个随机试验的结果不具有数量性质, 我们用变量ξ来表示 但仍可以用数量来表示它, 这个随机试验的结果:

ξ=0,表示正面向上; ξ=1,表示反面向上.
此外,若ξ是随机变量,η=aξ+b,其中 a, b是常数, 则η也是随机变量.

注1:随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。

注2:某些随机试验的结果不具备数量性质,但仍可以 用数量来表示它。

? ? a?

注3 :

若 ? 是随机变量,则 ?b (其中a、b是常数)也是随机变量 .

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例1、(1)某座大桥一天经过的中华轿车的辆数为 ? ; (2)某 网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为 ? ;(3)一 天内的温度为 ? ;(4)射手对目标进行射击,击中目标得1分, 未击中目标得0分,用 ? 表示该射手在一次射击中的得分。 上述问题中的 ? 是离散型随机变量的是( )

A.(1)(2)(3)(4)

B.(1)(2)(4) C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4)

B

例2、写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取 的值表示的随机试验的结果: (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球,从中任取3个,其 中所含白球的个数 ? ; (2)一个袋中装有5个同样大小的球,编号为1,2,3,4, 5,现从中随机取出3个球,被取出的球的最大号码数 ?11 。

课堂练习:
1、把一枚硬币先后抛掷两次,如果出现两个正面得5分,出 现两个反面得-3分,其他结果得0分,用X表示得分的分值, 列表写出可能出现的结果与对应的X值。 2、写出下列各随机变量可能取的值,并说明随机变量所取 的值所表示的随机试验的结果: (1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中,任取1 球,被取出的球的编号为X;

(2)一个袋中装有10个红球,5个白球,从中任取个4球, 其中所含红球的个数为X;
(3)投掷两枚骰子,所得点数之和为X,所得点数之和是偶 数为Y。
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3、抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚 骰子掷出的点数的差为 ? ,问:“ ? ? 4 ”表示的试验结果 是什么? 例3、小王参加一次比赛,比赛公设三关,第一、第二关各有 两个必答题,如果每关两个题都答对,可进入下一关,第三关 有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功。每过一关 可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元(不得重复 且每个问题回答正确与否相互独立,用? 表示小王所获奖品的 价值,写出

4 3 2 得奖),小王对三关中的问题回答正确的概率依次为 , , , 5 4 3

?

的所有可能取值。
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例4、某城市出租车的起步价为10元,行驶路程不超过 4km则 按10元的标准收费。若行使路程超过4km,则按每超出1km加 收2元计费(超出不足1km 的部分按1km 计)。从这个城市的 民航机场到某宾馆的路程为15km。某司机常驾车在机场与此 宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间 要转换成行车路程收费(这个城市规定:每停车5分钟按1km 路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程 ? (依题意 取整数)是一个随机变量,他所收的费用也是一个随机变量。 (1)求费用? 关于行车路程

?

的关系式;

(2)已知某旅客实付车费38元,问出租车在途中因故停车累 计最多几分钟?

? 10,(? ? 4) ? ? 1,2,3, 4,...n,... ? ? ? ?2? ? 2,(? ? 4)
(2)15分钟
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思考:
随机变量与函数有类似的地方吗?
随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试 验的结果映为实数,函数把实数映为实数。在这两种映 射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变 量的取值范围相当于函数的值域。我们把随机变量的取 值范围叫做随机变量的值域。 例如,在含有10件次品的100件产品中,任意抽取 4件,可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而 变化,是一个随机变量。其值域是{0,1,2,3,4}.
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