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2013上海杨浦高三数学一模(文理)合卷及答案


杨浦区 2012 学年度第一学期高三年级学业质量调研
数学试卷(文、理科)
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2013.1.

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生

应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 若函数 f ?x? ? 3 x 的反函数为 f 2.若复数 z ?
?1

?x ? ,则 f ?1 ?1? ?
. .



1? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? i

3.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到准线的距离为

4. 若线性方程组的增广矩阵为 ? ?1 1 2 ? ,则该线性方程组的解是 ? ? ? 5.若直线 l : y ? 2 x ? 1 ? 0 ,则该直线 l 的倾斜角是 6. 若 ( x ? a) 7 的二项展开式中, x 的系数为 7 ,则实数 a ?
5 0

?1 2 3 ?



. .

7. 若圆椎的母线 l ? 10 cm ,母线与旋转轴的夹角 ? ? 30 ,则该圆椎的侧面积为

cm2 .
8. 设数列 {an } ( n ? N* )是等差数列.若 a2 和 a2012 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,则数列
2

{an } 的前 2013 项的和 S 2013 ? ______________.
9. (理)下列函数:① f ( x) ? 3 , ② f ( x) ? x , ③ f ( x) ? ln
x
3

1 ?x , ④ f ( x) ? cos 2 x
(写

⑤ f ( x) ? ? x ? 1 中,既是偶函数, 又是在区间 ?0, ? ?? 上单调递减函数为
2

出符合要求的所有函数的序号).
-1(理科共 6 页)

(文)若直线 l 过点 ?1 , ? 1? ,且与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,则直线 l 的方程为 10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次,朝上的点数依次为 b 和 c , (文) 则 b ? 2 且 c ? 3 的概率是____ ___ . ___ .



(理) 则函数 f ( x) ? x 2 ? 2bx ? c 图像与 x 轴无公共点的概率是____

11.若函数 f ( x) ? loga (3 x ? 2) ? 1 ( a ? 0 , a ? 1 )的图像过定点 P ,点 Q 在曲线

x 2 ? y ? 2 ? 0 上运动,则线段 PQ 中点 M 轨迹方程是
12.如图,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈蚀, 其中 AE ? 4 米, CD ? 6 米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM ,使点 P 在边 DE 上. 则矩形 BNPM 面积的最大值为____ 平方米 .



A M

E P

F D

B

N

C

13.(文)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,且

a cos B ? b cos A ?

3 c ,则 tan A cot B 的值是___________. 5

(理)在 ?ABC 中,若 ?A ?

?

4

, tan(A ? B) ? 7 , AC ? 3 2 ,

则 ?ABC 的面积为___________. 14.(文) 已知函数 f ?x ? ? ?

?log2 ?x ? 1? , x ? 0 , 若函数 g ?x ? ? f ?x ? ? m 有 3 个零点, 2 ?? x ? 2x , x ? 0 .
2 2 2

则实数 m 的取值范围是___________. (理)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? 3x ? 2 m 与圆 x ? y ? n 相切,其中

m 、 n ? N* , 0 ? m ? n ? 1.若函数 f ?x ? ? m x?1 ? n 的零点 x0 ? ?k , k ? 1?, k ? Z ,
则 k ? ________.

-2(理科共 6 页)

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “ a ? 3 ”是“函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 在区间 ?3,??? 内单调递增”的???( )

( A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

(B ) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件.
3 ,且 lim S n ? a , n?? 2
???( )

16.若无穷等比数列 ? a n ?的前 n 项和为 S n ,首项为 1 ,公比为 a ? ( n ? N* ),则复数 z ?

1 在复平面上对应的点位于 a?i

( A) 第一象限.

(B ) 第二象限.

(C ) 第三象限.

(D) 第四象限.

17.若 F1 、 F2 为双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上, 4 ∠ F1 PF2 = 60 ? ,则 P 到 x 轴的距离为 ???(



( A)

5 . 5

(B )

15 . 5

(C )

2 15 . 5

(D)

15 . 20

18. 已 知 数 列 ?an ? 是 各 项 均 为 正 数 且 公 比 不 等 于 1 的 等 比 数 列 ( n ? N* ) . 对 于 函 数

y ? f ( x) ,若数列 ?ln f (an )? 为等差数列,则称函数 f ( x) 为“保比差数列函数”. 现
有定义在 (0, ?? )上的如下函数:①f ( x) ? ④f ( x) ?

1 , x

②f ( x) ? x2 ,

③f ( x) ? e x , ???( )

x ,则为“保比差数列函数”的所有序号为
(B )
③. ④

( A)

①. ②

(C ) ①④ ②.

(D) ②④. ③

-3(理科共 6 页)

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,PA ? 平面 ABC ,AC ? AB ,AP ? BC ? 4 ,?ABC ? 30? , P D 、E 分别是 BC 、 的中点, AP (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)若异面直线 AB 与 ED 所成角的大小为 ? ,求 tan ? 的值. E

A

B

C

D

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . (文) 已知函数 f ( x ) ? cos( x ? ) , (1)若 f (? ) ?

π 4

7 2 ,求 sin 2? 的值; 10 ? ? ?? ? π π? ? ,求 g ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. 2? ? 6 3?

(2)设 g ( x) ? f ? x ? ? f ? x ?

(理)已知 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 sin 2 x , (1)求 f (x) 的最小正周期和单调递减区间; (2)若 x ? ??

? ? ?? , ? ,求 f (x) 的最大值及取得最大值时对应的 x 的取值. ? 6 3?

-4(理科共 6 页)

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (文)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别是 F1 ?? 1, 0? 、 F2 ?1, 0? ,且焦 a 2 b2

距是椭圆 C 上一点 P 到两焦点 F1 、F2 距离的等差中项. (1)求椭圆 C 的方程;

N (2)设经过点 F2 的直线交椭圆 C 于 M 、 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点

Q(0 , y0 ) ,求 y0 的取值范围.

(理)椭圆 T 的中心为坐标原点 O ,右焦点为 F (2, 0) ,且椭圆 T 过点 E (2, 2) .

N P 若 ?ABC 的三个顶点都在椭圆 T 上,设三条边的中点分别为 M 、 、 .
(1)求椭圆 T 的方程; (2)设 ?ABC 的三条边所在直线的斜率分别为 k1 、 2 、k3 ,且 ki ? 0, i ? 1, 2,3 . k

ON 若直线 OM 、 、OP 的斜率之和为 0,求证:

1 1 1 ? ? 为定值. k1 k2 k3

-5(理科共 6 页)

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分.

已知函数 f ( x) ?

x ?2

1 x 1

( x ? 0) 的值域为集合 A ,

(1)若全集 U ? R ,求 CU A ; (2)对任意 x ? ? 0 ,

? ?

1? ,不等式 f ?x ? ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的范围; 2? ?

(3)设 P 是函数 f ?x ? 的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足分 别为 A 、 B ,求 PA ? PB 的值.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. (文) 设数列 ? xn ? 满足 xn ? 0 且 xn ? 1 ( n ? N* ),前 n 项和为 S n .已知点 P ( x1 , S1 ) , 1

k P2 ( x2 , S 2 ) , ? ? ? , Pn ?xn , S n ? 都在直线 y ? kx ? b 上(其中常数 b、 且 k ? 0 , k ? 1 ,
b ? 0 ),又 y n ? log 1 xn .
2

(1)求证:数列 ? xn ? 是等比数列; (2)若 y n ? 18? 3n ,求实数 k , b 的值; (3)如果存在 t 、 s ?N* , s ? t 使得点 ?t , y s ? 和点 ?s , yt ? 都在直线 y ? 2 x ? 1 上.问 n? 是否存在正整数 M ,当 n ? M 时, xn ? 1 恒成立?若存在,求出 M 的最小值,若不存 在,请说明理由.

-6(理科共 6 页)

(理)对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分, 用记号 x 表示,对于实数 a ,无穷数列 ?an ? 满足如下条件:

a1 ? a , a n ?1

? 1 , an ? 0 , ? ? ? an ? 0 , a ? 0. n ?

其中 n ? 1 , 2 , 3,? ? ? .

(1)若 a ? (2)当 a ?

2 ,求数列 ?an ? ;
1 时,对任意的 n ? N* ,都有 an ? a ,求符合要求的实数 a 构成的集合 A . 4

(3)若 a 是有理数,设 a ?

p ( p 是整数, q 是正整数, p 、 q 互质) ,问对于大于 q 的 q

任意正整数 n ,是否都有 an ? 0 成立,并证明你的结论.

-7(理科共 6 页)


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