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函数单调性的教学设计与反思


函数单调性的教学设计与反思
教学目标:
知识与技能: (1)理解增函数和减函数的定义,会用定义判断和证明函数的单调性。 (2)体会数形结合,分类讨论的数学思想 情感目标: 通过对简单函数单调性的探究, 培养学生运用概念解题的能力, 激发学生浓厚的学习兴趣。

教学重点和难点:
教学重点:函数单调性的概念 教学难点:用单调性定义证明

函数单调性的变形方向

教材分析:
新课程把函数思想作为主轴,在前面对函数的有关概念表示方法学习之后,学生对函数的学习方法仍 有困难,因此教师要从简单函数作为切入点,引领学生掌握探讨函数性质。从数、形方面寻找规律十 分重要,也为学生们后续学习用函数思想思考解决数学问题打下一个良好的基础。

学情分析:
本堂课是学生在初中学了线性函数及高中学习函数的基本概念、函数的表示方法之后,由函数图像的 上升(或下降)抽象到用数学语言表达自变量的变化和函数值的变化规律,首次用代数推理论证学习 函数的性质,学习难度大。为培养学生良好的学习习惯,要从学生已有的函数知识,实际生活中的函 数模型入手。

教学过程设计: 创设情景:
1. 对于初中学过的一次函数:(1) y=x+1,(2) y=-x+1,同学们知道这两个函数随 x 的增大,函数值 y 有什么变化? 2. 作出上述两个函数和 y=x 的图像,从左向右看,图像的升降情况如何? 设计意图:通过上述引例的分析使学生了解有些函数在整个定义域内随自变量的增大,函数值也增大; 有的函数在整个定义域内随自变量的增大,函数值却在减少;而有些函数只在定义域的某些子区间上 增大,却在其他的子区间上减少,过渡到本课内容。
2

新课(由形到数)
对区间 A 内的任意 x1, x2,当 x1<x2 时,有 f(x1)<f(x2) 从而概况出单调递增函数的定义:

在函数 y=f(x)的定义域 I 的某个子区间 A 上,若 A 上任意两数 x1, x2,当 x1<x2 时,有 f(x1)<f(x2),就 说明 f(x)在区间 A 是增函数,区间 A 叫函数 f(x)的递增区间。 引导学生再观察分析 图像在区间 B 上逐渐下降 对区间 B 内的任意 x1,x2,当 x1<x2 时,有 f(x1)>f(x2) 从而概况出单调递减函数的定义: 在函数 y=f(x)的定义域 I 的某个子区间 B 上,若 A 上任意两数 x1, x2,当 x1<x2 时,有 f(x1)>f(x2),就说明 f(x)在区间 B 是减函数,区间 B 叫函数 f(x)的递减区间。 函数 f(x)的增区间和减区间统称为 f(x)的单调区间。 (引深突破难点) 问题:对于函数 y=f(x),当 x=0, 2 时,相应地 y=0, 2,能断定 f(x)在含 0, 2 的区间 A 上是增函数吗? 【典例分析】 例 1.作出函数

y ? x 3 的图像,并写出它的单调区间。
1 x

设计意图:通过该题使学生精确表达单调性有关概念,并学到用图像法和定义法判断函数的单调性。 例 2. 利用定义证明

y =x

+

在(-∞,-1)上为增函数。

设计意图:通过该题的分析培养学生应用定义解决数学问题的思想,突破恒等变形比较函数值大小的方法。 【课堂练习】 1、判断下列函数在给定区间上的单调性:(1)y=-2x, x∈[-2,3] (2)f(x)=3x2-6x+1, x∈[1,4] 2、用定义证明函数 f(x)=- x2+2x 在(1 , +∞)上是单调减函数

教学反思: 1. 由形到数:借助学生对已有的一次函数,二次函数的直观图形,获得增(减)函数 的图像特征和规律,使学生产生了函数单调性的感性认识。 2. 对单调性的直观感受到数学语言的定性描述刻画,循序渐进,不断深入,由特殊函 数的性质推广到一般函数的性质,由特殊到一般培养了学生的合情推理的思想,符 合学生的认知过程。 3. 练习 2 的设计一方面加深学生对函数单调性定义的理解,今后要继续增加这类问题 的实练,提高学生对恒等变


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