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高二期末考试理数答案


高二期末考试理科数学试题参考答案

一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1 B 2 A 3 C 4 A 5 C 6 A 7 A 8 A 9 D 10 C

二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.

5 6

12.

1 3

13.

(3,1,3) 14. -3

15.

4023 2012

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分) 16.解: 证明 (1)当 n=1 时,

1 1 1 1 左边= = ,右边 = ,左边=右边,所以等式成立.----2 分 1×3 3 2×1+1 3 (2)假设当 n=k(k∈N*且 k≥1)时等式成立,即有 k 1 = , ?2k-1??2k+1? 2k+1 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 + +…+ + 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? ?2k+1??2k+3? = = k?2k+3?+1 k 1 + = 2k+1 ?2k+1??2k+3? ?2k+1??2k+3? 2k2+3k+1 k+1 k+1 = = , ?2k+1??2k+3? 2k+3 2?k+1?+1 所以当 n=k+1 时,等式也成立.----11 分 ----3 分

由(1)(2)可知,对一切 n∈N*等式都成立.----12 分 17.解: p : ?2 ? x ? 10.......... .3分

q : 1 ? m ? x ? 1 ? m......... 6分 。

? ┐p 是┐q 的充分而不必要条件,? q 是 p 的充分而不必要条件
?1 - m ? ?2 ? ....10分 ?1 ? m ? 10.......... ?m ? 0 ?
0 ? m ? 3........ 12分

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? ( x ? a)e x , x ? R , 所以 f ?( x) ? ( x ? a ? 1)e x . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? a ? 1 . 当 x 变化时, f ( x) 和 f ?( x ) 的变化情况如下: ……………… 2 分 ……………… 3 分

x
f ?( x )

(??, ? a ? 1)

?a ? 1

(?a ? 1, ? ?)

?


0

?


f ( x)

……………… 5 分 故 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? a ? 1) ;单调增区间为 (?a ? 1, ? ?) .………… 6 分 (Ⅱ)解:结论:函数 g ( x) 有且仅有一个零点. 理由如下: 由 g ( x) ? f ( x ? a) ? x2 ? 0 ,得方程 xe 显然 x ? 0 为此方程的一个实数解. 所以 x ? 0 是函数 g ( x) 的一个零点. 当 x ? 0 时,方程可化简为 e 设函数 F ( x) ? e
x ?a
x ?a x ?a

……………… 7 分

? x2 ,

……………… 9 分

?x.

? x ,则 F ?( x) ? ex?a ?1 ,

令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? a . 当 x 变化时, F ( x ) 和 F ?( x ) 的变化情况如下:

x
F ?( x )
F ( x)

(??, a )

a
0

(a, ? ? )

?


?


即 F ( x ) 的单调增区间为 ( a, ? ? ) ;单调减区间为 (??, a ) . 所以 F ( x ) 的最小值 F ( x)min ? F (a) ? 1 ? a . ………………11 分

因为 a ? 1 , 所以 F ( x)min ? F (a) ? 1 ? a ? 0 , 所以对于任意 x ? R , F ( x) ? 0 , 因此方程 e
x ?a

? x 无实数解.

所以当 x ? 0 时,函数 g ( x) 不存在零点. 综上,函数 g ( x) 有且仅有一个零点. ………………13

19.解:

设A(x1 , y1) , B ? x2 , y 2 ?

y2 ? 1.......... 4分 8 2 ?2?kOM ? 1 2 2 2 ?x y ? ?1 ? ?8 2 ? x 2 ? 2bx ? 2b 2 ? 4 ? 0.....6分 ? ?y ? 1 x ? b ? 2 ? ? ? 0 ? b2 ? 4

?1? x

2

?

则x1 ? x2 ? ?2b, x1 x2 ? 2b 2 ? 4 AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 4 ? b 2 ....8分 点O到直线l的距离d ? ? S ?OAB ? 2b 5 ......... 9分

1 (4 ? b 2 ) ? b 2 AB ? d ? 4 ? b 2 b ? (4 ? b 2 )b 2 ? ?2 2 2 Smax ? 2...........11分 当且仅当4 ? b 2 ? b 2时取等号,此时 b 2 ? 2, b ? ? 2 l:y? 1 x ? 2 .......13分 2

20.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x ln x ,可得 f ? ? x ? ? ln x ? 1, 当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减;

1 e

当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增. 所以函数 f ( x) 在 [1,3] 上单调递增. 又 f (1) ? ln1 ? 0 , 所以函数 f ( x) 在 [1,3] 上的最小值为 0 .
2

1 e

…………………7 分

(Ⅱ)由题意知, 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3, 则 a ? 2ln x ? x ?

3 . x

若存在 x ?[ ,e] 使不等式 2 f ( x) ? ? x ? ax ? 3 成立,
2

1 e

只需 a 小于或等于 2ln x ? x ? 设 h ? x ? ? 2 ln x ? x ?

3 的最大值. x

3 2 3 ? x ? 3?? x ? 1? . ? x ? 0 ? ,则 h? ? x ? ? ? 1 ? 2 ? x x x x2

当 x ?[ ,1) 时, h? ? x ? ? 0, h ? x ? 单调递减; 当 x ? (1, e] 时, h? ? x ? ? 0, h ? x ? 单调递增. 由 h( ) ? ?2 ?

1 e

1 e

1 2 1 3 ? 3e , h(e) ? 2 ? e ? , h( ) ? h(e) ? 2e ? ? 4 ? 0 , e e e e

可得 h( ) ? h(e) . 所以,当 x ?[ ,e] 时, h( x) 的最大值为 h( ) ? ?2 ? 故 a ? ?2 ?

1 e

1 e

1 e

1 ? 3e . e
………………13 分

1 ? 3e . e

21. Ⅰ)证明:因为 F , G 分别为 PB , BE 的中点, 所以 FG

PE .

又 FG ? 平面 PED , PE ? 平面 PED , 所以 FG 平面 PED . …………3 分

(Ⅱ)因为 EA ? 平面 ABCD , EA

PD ,

所以 PD ? 平面 ABCD , 所以 PD ? AD , PD ? CD . 又因为四边形 ABCD 是正方形, 所以 AD ? CD . 如图,建立空间直角坐标系, 因为 AD ? PD ? 2EA ? 2 , 所以 D ? 0, 0, 0 ? , P ? 0, 0, 2 ? , A ? 2, 0, 0 ? , E D G A x B …………5 分 因为 F , G , H 分别为 PB , EB , PC 的中点, 所以 F ?1,1,1? , G (2,1, ) , H (0,1,1) . 所以 GF ? (?1, 0, ) , GH ? ( ?2, 0, ) . F C
y

z P

H

C ? 0, 2, 0 ? , B ? 2, 2, 0 ? , E (2, 0,1) .

1 2

1 2

1 2

1 ? ? x1 ? z1 ? 0 ? ? ? ? n1 ? GF ? 0 2 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 FGH 的一个法向量,则 ? ,即 ? , 1 n ? GH ? 0 ? ? ? 1 ?2 x1 ? z1 ? 0 ? ? 2
再令 y1 ? 1 ,得 n1 ? (0,1,0) . PB ? (2, 2, ?2) , PC ? (0, 2, ?2) . 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 为平面 PBC 的一个法向量,则 ?

? ?n2 ? PB ? 0 ? ?n2 ? PC ? 0

,

即?

?2 x2 ? 2 y2 ? 2 z2 ? 0 ,令 z2 ? 1 ,得 n2 ? (0,1,1) . ?2 y2 ? 2 z2 ? 0
n1 ? n2 n1 ? n2
=

所以 cos n1 , n2 =

2 . 2

所以平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为

? . 4

…………8 分

(Ⅲ)假设在线段 PC 上存在一点 M ,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 . 依题意可设 PM ? ? PC ,其中 0 ? ? ? 1 . 由 PC ? (0, 2, ?2) ,则 PM ? (0, 2?, ?2?) . 又因为 FM ? FP ? PM , FP ? (?1, ?1,1) ,所以 FM ? (?1, 2? ?1,1 ? 2? ) . 因为直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 , PA ? (2,0, ?2) ,

所以 cos FM , PA =

?2 ? 2 ? 4? 1 1 5 ,即 ? ,解得 ? ? . 2 2 2 2 ? 1 ? 2(2? ? 1) 2 8

所以 PM ? (0, , ? ) , PM ?

5 4

5 4

5 2 . 4

所以在线段 PC 上存在一点 M ,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 , 此时 PM ?

5 2 . …………13 分 4


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