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专题复习:高中数学必修5基本不等式经典例题(教师用)


基本不等式
知识点: 1.若 a, b ? R * ,则 a ? b ? 2 ab 2.若 x ? 0 ,则 x ?

(当且仅当 a ? b 时取“=”)

1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” ) x 1 若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=” ) x
a ? b 2

a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) ) ? 2 2

3.若 a, b ? R ,则 (

注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”

应用一:求最值
例:求下列函数的值域 1 (1)y=x+

x

解题技巧技巧一:凑项
例 已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

技巧二:凑系数 例: 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。 变式:设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

技巧三: 分离换元

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例:求 y ? x ?1
技巧四:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数 f ( x ) ? x ? 例:求函数 y ?

a 的单调性。 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

技巧五:整体代换( “1”的应用) 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 例:已知 x ? 0, y ? 0 ,且 技巧六 例:已知 x,y 为正实数,且 x + 技巧七: 已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 1
2

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y
y2
2

=1,求 x 1+y

2

的最大值.

ab

的最小值.

分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不 等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式。 技巧八:取平方 例: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。
2 2

应用二:利用均值不等式证明不等式
例:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?
?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

应用三:均值不等式与恒成立问题
例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

应用四:均值定理在比较大小中的应用:
例:若 a ? b ? 1, P ? 高考链接: 1.(2014?重庆)若 log4(3a+4b)=log2 A 6+2 B 7+2 . .
x y

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系是 2 2
,则 a+b 的最小值是( C 6+4 . ) D 7+4 .

.

2. (2013?福建)若 2 +2 =1,则 x+y 的取值范围是( ) A [0,2] B [﹣2,0] C [﹣2,+∞) . . . 3. (2013?山东)设正实数 x,y,z 满足 x ﹣3xy+4y ﹣z=0.则当 A 0 . B 1 .
2 2 2

D (﹣∞,﹣2] . 取得最大值时, 的最大值为( )

C .
2

D 3 . 的最小值为 _________

4. (2014?陕西)设 a,b,m,n∈R,且 a +b =5,ma+nb=5,则
2 2

5. (2014?上海)若实数 x,y 满足 xy=1,则 x +2y 的最小值为 _________ . 6. (2013?上海)设常数 a>0,若 9x+ 对一切正实数 x 成立,则 a 的取值范围为 _________ . 取得最小值.

7. (2013?天津)设 a+b=2,b>0,则当 a= _________ 时,

平面向量
考点一 平面向量的线性运算 (1)在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化; (2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量; 在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量.

π 例 1 (1)(2014·陕西)设 0<θ < ,向量 a=(sin 2θ ,cos θ ),b=(cos θ ,1),若 a∥b, 2 则 tan θ =______. 1 → → → (2)如图,在△ABC 中,AF= AB,D 为 BC 的中点,AD 与 CF 交于点 E.若AB=a,AC=b,且CE=xa 3 +yb,则 x+y=________. 跟踪演练 → → (1)(2015·黄冈中学期中)已知向量 i 与 j 不共线,且AB=i+mj,AD=ni+j,m≠1,若 A,B,D 三点共线,则实数

m,n 满足的条件是(
A.m+n=1 C.mn=1

) B.m+n=-1 D.mn=-1

→ → → → → → → (2)(2015·北京)在△ABC 中,点 M,N 满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则 x=________;y=________. 考点二 平面向量的数量积

(1)数量积的定义:a·b=|a||b|cos θ . (2)三个结论 ①若 a=(x,y),则|a|= a·a= x +y . ②若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 → 2 2 |AB|= ?x2-x1? +?y2-y1? . ③若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为 a 与 b 的夹角,
2 2

a·b x1x2+y1y2 则 cos θ = = 2 . 2 2 |a||b| x1+y1 x2 2+y2
→ → → → → → 例 2 (1)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,则AB·AD 的值是________. → → → (2) 在△AOB 中, G 为△AOB 的重心,且∠AOB =60°,若 OA · OB = 6 ,则 | OG | 的最小值是 ________. 跟踪演练 (1)(2015· 山 东 ) 过 点 P(1 , → → 2 2 3 ) 作 圆 x + y = 1 的 两 条 切 线 , 切 点 分 别 为 A , B , 则 PA · PB =

________________________________________________________________________. → 1 → → → → (2)(2014·课标全国Ⅰ)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若AO= (AB+AC),则AB与AC的夹角为________. 2

高考链接
→ → 1.(2015·课标全国Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC=3CD,则( 1→ 4→ → A.AD=- AB+ AC 3 3 → 1→ 4→ B.AD= AB- AC 3 3 )

→ 4→ 1→ C.AD= AB+ AC 3 3

→ 4→ 1→ D.AD= AB- AC 3 3

→ → → → → → → → 2.(2015·四川)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4,若点 M,N 满足BM=3MC,DN=2NC,则AM·NM等于 ( ) D.6

A.20 B. 15 C.9

3.(2015·江苏)已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则 m-n 的值为________. → → → 4.(2014·湖南)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,0),动点 D 满足|CD|=1,则|OA+OB+ →

OD|的最大值是________.

高考押题精炼
→ 1→ → → 1.如图,在△ABC 中,AD= AB,DE∥BC 交 AC 于 E,BC 边上的中线 AM 交 DE 于 N,设AB=a,AC=b,用 a,b 表示向量 3 →

AN.则AN等于(
1 A. (a+b) 2 1 C. (a+b) 6



) 1 B. (a+b) 3 1 D. (a+b) 8 )

→ → → → 2.如图,BC、DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径,BF=2FO,则FD·FE等于(

3 A.- 4

8 1 B.- C.- 9 4

4 D.- 9

π 3.已知向量 a=(1,2),b=(cos α ,sin α ),且 a⊥b,则 tan(2α + )=________. 4


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