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利用基本结论解立体几何竞赛题


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2 0 0 3年 第 1期 

7  

赫尻  
方 廷 刚 
( 四 川省成都 市第 七 中学 , 6 1 0 0 4 1 )  

窭凰  

( 本讲适合 高中)  

结论 5

棱 锥 的 侧 棱 全 相 等 当 且 仅 当 侧  棱与底面 所成 角 全 相 等 , 当 且 仅 当 锥 顶 在 底  面 的射 影 为底 面 的外 接 圆 圆 心 .   结论 6 棱 锥 各 侧 面 与 底 面 所 成 二 面 角  全相等 , 当 且 仅 当 锥 顶 到 底 面 各 边 的距 离 全   相等 , 当 且 仅 当 锥 顶 在 底 面 的 射 影 为 底 面 的  内切 圆 圆心 或 旁 切 圆圆 心 .   结论 7 若 四 面 体 有 两 组 对 棱 ( 称 不 相 邻  的两 条 棱 为一 组 对 棱 ) 分 别互 相垂直 , 则 其 每 


文[ 1 ] 中提 出 了用 基 本结 论 解 平 面 几何  竞赛题 的想法 . 其实, 这一 想法用 在解 立体几  何竞赛题 时 同样 有 效 , 特别 是 针对 最 近 几 年  国 内数 学 竞 赛 中立 体 几 何 部 分 以 小 题 为 主 ,   只要求答 案 正确 而不 要 求 写 出过 程 ( 尽 管 有  时难度不小 ) 的特 点 , 应 用基 本结 论更 可收避  免繁琐演 算 、 简 化思 维 过程 、 节 约 考试 时间 、   提高答 案准确率之功 , 值得一试 .  
1 立体 几何 中的 一些 基 本 结论 

顶点在对 面的射影都 是该 面垂 心 ; 反之 , 若  四面 体 的 一 个 顶 点 在 对 面 的 射 影 为 该 面 垂 

很 多人在解立体 几何题 中使 用过 基本结 
论. 这 里 仅 列 出下 列 l 5条 .  
1 . 1   关 于 体 积 的 基 本 结论  

心, 则 其三组对棱分别互 相垂直 .  
1 . 3 关 于 平行 六 面 体 构 造 的 基 本 结论  

结论 1 棱 柱 的 侧 面 积 等 于 侧 棱 长 与 直  截面周 长之 积 , 体 积 等 于 侧 棱 长 与 直 截 面 面 
积之积 .  

结论 2 三 棱 柱 的 体 积 等 于 其 一 侧 面 积  
与 该 侧 面 到 其 对 棱 的距 离 之 积 的一 半 .   结论 3 有 一 组 对 棱 互 相 垂 直 的 三 棱 锥 

结论 8 过 两 条 异 面 直 线 中 的 一 条 有 且  只有一个 平 面平 行 于 另一 条 . 若 三 条 直线 两  两异面 , 且不平行于 同一平 面 , 则 可 以这 三 条  直线为基础 构 造平 行 六 面体 ( 过 每 一 直 线 作  两平面分别平行 于另两直线便 可) .   结论 9   以任 意 四 面 体 同 一 顶 点 处 三 棱  为棱可构造平行 六面体 .  

的体 积 等 于 该 两 棱 长 之 积 乘 以该 两 棱 间 距 离 
的六 分 之 一 .  

结论 4   若 三 棱 台  上、 下 底 面 的 面 积 分 别 为  . s 。 和 . s   , 高 为 h, 则 此 三  C   棱 台 可 分 割 为 体 积 分 别 

结论 1 0   以等腰 四面体 ( 对棱 相 等 的 四  面体 ) 同 一 顶 点 处 三 棱 为 面 的 对 角 线 可 构 造  长方体 ( 只须 过 每组 对 棱 中的一 条各 作 一个 
平面互相平行 即可 ) .   1 . 4 关 于 角和 距 离的 基 本 结 论 

结论 1 1 若 两 个 相 交 平 面 内各 有 一 条 直  线 互相平行 , 则这 两 平 面 的交 线 与这 两 直线 
图1   平行 .  

为 鲁 . s 。 , _ _ h   S   和 鲁 、 / ,  
的三 个三 棱锥 之 和 , 如 图  1 中 的 三 棱 锥 A — Al 曰。 C l 、 Bl— A B C 和 
曰 1一 ACC I .  

结论 1 2 两 平 面所 成 的 二 面 角 等 于 平 行  于 其 中一 个 平 面 且垂 直 于 两 平 面 交 线 的 直 线   与 另 一 平 面 所 成 的角 或 其 补 角 .  

1 . 2 关 于锥 顶 在 底 面 的射 影 的基 本 结 论 
本 文 收 稿 日期 : 2 0 o 2 . 0 6 . 2 6  

结论 1 3 长方体 的对 角线 与 同一 顶点处  的三棱所 夹角 的余弦 的平方 和为 1 , 与 同一 顶 

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8  

中 等 数 学 

点 处 的 三 面 所 夹 角 的余 弦 的 平 方 和 为 2 .  
结论 1 4 平 面 外 两 点 到平 面 的距 离 之 比 

5   , 则  =   ,  : 告 、 / ,  ,  = 告 5   ,  
即I /   :   : V   S   : v 厂  
2 5 . 从而 ,  
l :   :Vs= S2:   : S  J= 49: 3 5: 25.  

等于过这 两点 的直线 与平 面 的交 点 ( 假 设 交  点存在 ) 到这 两点的距离之 比 .  
结论 1 5 设 圆台 的上 、 下 底 面 半 径 分 别  为 r 、 尺, 母线 长 为 Z , 则 圆 台 侧 面 展 开 后 所 得 

: S   . 再 由棱 台的两 

底 面 相 似 及 Al   Bl : A B :5: 7 , 知 S 2 : S l :4 9 :  

的扇 环 的 圆 心 角 为 0:  

二  . ( 注: 将 圆 

例 3   已 知 三 棱 锥 
S一   C 的 底 面 是 正 三 

锥视 为圆 台 的极 限情 形 , 不 再 列 出 圆 锥 的 相 
应公 式 )  

角形 , 点 A在侧面 S B C   上 的 射 影  是 △ S B C的  垂心, 二 面 角 H —A B—   C的 平 面 角 等 于 3 0  ̄ ,  


C 

2 用 基 本 结 论 解 立 体 几 何 竞 赛 题 举 例 

例 1 在 四面 体 A B C D 中, A D =D B=A C  


图 4  

C B=1 , 则 它的体积 的最 大值是— — .   ( 2 0 0 0 , 上 海 市 高 中数 学 竞 赛 )  
分析 : 如图 2 , 设 E、 F  

2 √ 3. 那 么, 三 棱 锥 

S—A B C的体 积 为  ( 1 9 9 9 , 全 国高 中 数 学 联 赛 )  
分析 : 已知 线 段 长 似 乎 少 了些 . 由 基本 结 

分别 为 C D、 A B 的 中点 , 则 
易知 A B_  C l D, 且  为A B  
D 

论 7知 三 组 对 棱 分 别 互 相 垂 直 , 从 而 5在 面 

和 C D 的公垂线 . 设 A B=  
2 x ,C D =2 y,由 △ A C D、  

A B C内 的 射 影 0 亦 为 △ A B C的 垂 心 . 再 由  
△ A B C 为正三角形 知 0 为△ A B C的外心 . 从 

△ B C D和 △ E A B 都 是 等 腰 

网2  

而, 由基 本 结 论 5知 跗 =船 =S C. 连 B H 并  延 长交 S C于 E, 连 A E, 则 S C 上面 E A B. 作 E F   上A B, 连 C F, 知  E F C为 二 面 角 H —A B —C   的 平面 角 , 即  E F C=3 0  ̄ . 故  S C O =6 0 o . 据 
n  

三角 形 易 得 E F= ̄ / 1 一  2 一Y   (   >0 , Y>0 ,  

+Y   <1 ) . 故 由基本 结 论 3知 此 四面体 体 

积为 V = 去2   ? 2 y ?  ̄ / 1 一  一 Y   . 再用- - ̄算  
术一几何 平均不等式 可得所求 体积 的最 大值 
' 3 4  ̄2


此 解出 O S和 O C, 易 算 出 所求 体 积 为 

.  

例 4   在△ A B C中,   C =9 0 。 ,   B=  
. 

2 7

3 0  ̄ , A C=2 , M是A B 的 中点 , 将△ A C M 沿C M  折起 , 使  、 日 两 点 间 的 距 离 为 2√ 2. 此 时 三  棱 锥 A—B C M 的 体 积 等 于 

例 2   在正 三棱 台 A BC —A。 B。 C ,中 ,  
l  

Bl : A B =5: 7 , 截面 A B Cl 与  1 日 c l 将 三 棱 

台 分 割 为 三 个 三 棱 锥 C, 一A B C、 C 。 一A B A。 、  

日一  。 日   c 。 . 那么 , 它 们 的体积  。 、   、   之 
比为  .  

( 1 9 9 4 , 全 国高 中数 学  联赛河北省 预赛 )   分析 : 这 个 题  目 是 对  基 本 结 论 4的 最 好 阐 释 :   设 三 棱 台 的高 为 h, 上、 下  底面 的面 积 分 别 为 s . 、   图3  

( 1 9 9 8 , 全 国高 中数学联赛 )   分析 : 第 一 个 困难 是 如  何 作 出一 个 较 直 观 的 立 体 图  形 ?在 未 折 之 前 有 M A =MB  
MC =A C=2 , 这 些 长 度 在  折 成棱 锥 后 不 会 改 变 . 由 基 


图5  

本 结 论 5知 折 后 点  在 面 A B C 内 的 射 影 为 
△A B C 的外 心 ; 又 B C=2   , 折 后  =2   ,  

故 折 后  B A C =9 0 。 . 于是 , △ A B C 的 外 心 为  其斜边 8 c的 中 点 , 即  在 面 A B C 内 的 射 影 

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2 0 0 3年第 1 期 

9  

为B C 的 中点 D, 这就启 发我们作 出图 5 . 不 仅  如此 , 折 后  C B M =3 0 。 亦不会 改变 , 因此 ,  
1   1   一  

例 7 等 腰 四面体 的三 条棱 长 分别 为3 、  
 ̄ / 1 0、  ̄ / 1 3 . 则 此 三 棱 锥 的 外 接 球 半 径 长 为  分析 : 由基本 结 论 1 0 , 可 将 此 三 棱 锥 扩 充 

M D=音M B=1 一  删 =音A C 。 A B= 2 4 2 ,  
厶  1   , ’  

故  一 心 =   s Ⅲ

?  

=  

.  

例 5 棱锥 的底面是等腰 三角形 , 其 底 边  长乖 u 腰长 分别为 1 2和 1 0 , 又此 棱 锥 锥 顶 在 底  面的射影 在 三 角形 内, 各 侧 面 与底 面 所 成 的  二面角都是 3 0  ̄ . 则 此 棱 锥 的高 为
. 
— —

为长方体 , 使 其 已知 三 棱 为 长方 体 中面 的对  角线 , 此 时原 三 棱锥 与 长 方体 有 相 同 的外 接  球. 设 长 方 体 同一 顶 点 处 的三 棱 长 分 别 为  Y、 z , 贝 0 由条 件 有 v  +z  =9 , z  +   =1 0 ,   +Y  =1 3 . 据 此 可 知 所 求 外 接 球 半 径 长 为 


●  

分析 : 由基 本 结 论 6知 锥 顶 在 底 面 的 射  影 为 底 面 三 角 形 的 内心 . 再 由侧 面 与 底 面 所  成二 面 角 为 3 0 。 , 知 只 须 先 求 出 底 面 三 角 形 的  内切 圆半 径 . 利 用 平 面 几 何 方 法 易 得 底 面 三  角形 的 内切 圆 半 径 为 3 , 从而 , 棱 锥 的 高 为 
3 t a n   3 0。:   .  



2.  

例 8 已知 正方体 A B C D—A   B , C , D。 的 
棱长为 1 , 0 为底 面 A BC D 的 中心 , 点 M、 N分 

别为 棱 c c   、  , D,的 中 点 . 则 四面体 0一  

MN B . 的体积是 (  
1 ( B)  

) .  
1 ㈤ )  

例 6 如 果 空 间 三 条 直 线 n、 b 、 c两 两 成  异面直 线 , 那 么, 与 a 、 b、 c都 相 交 的 直 线 有 
(   ) .  

( 2 0 0 0, 河 北 省 高 中数 学 竞 赛 )  


( A) 0条 

( B ) 1 条 

4t   N 




( C ) 多 于 1的有 限 条  ( D) 无 穷 多 条 

( 1 9 9 7 , 全 国高 中数 学联赛 )   分析 : 若 a、 b、 c不 平 行 于 同 一 平 面 , 由基  本结 论 8 , 可 构造一 个平行六 面体 A B C D—   A   B   D   , 使 “、 b 、 C体 现 为 其 巾 I 鼠 j 两 异 面 
的  条棱 A B、 B   C. 和 D D. . 过 D D.L异 于 D  
I 矧6  

B  I   。

7  

分析 : 如图 6 , 所求 - 三 棱 锥 的 四 个面 都 是 

与 D.的一 点 E 和 直 线 A B 可 作 一 平 面  . 则 
必 与 直 线  . C , 交 于 一 点 F. 直线 E F和A B   皆在 平 面  上 且 不 平 行 , 故 必 交 于 一 点 G,  

正方体 的斜截 面 , 不好 求体 积 . 但 利用基本 结 
论 1 4 , 可 将 三 棱 锥 O — MN B  的 体 积 转 化 为 

即 由直 线 D D, 上 异 于 D 与 D, 的一 点 E 就 可 
确定一条 直线和 o 、 b 、 c三 直 线 均 相 交 ;  

三棱锥 c , 一M N B , 的 体积 的一 个倍 数 , 关 键 
是 求 出点 0 和 点 c ,到 平 面 MN B,的距 离 之  比. 如图 7 , 连 A , C , 交 日, Ⅳ 于 点 E, 连 E M、   O C ,交 于 点 F( 注 意到两 线均在平 面 A , C   内) . 则 问题 转 化 为 求 O F: C   F之值 . 注 意 到 
矩 形  . C 1   C中 C C 1= 1 . A 1   C .=√ 2 , A1   E:  

若 a、 b 、 c都 平 行 于 同 一 平 面 , 过 a上 一 

点  和直线 b可作一 平 面 卢 , 则 卢必与 直线 c   交于一点 c( 否则 c ∥  a∥  j  n∈卢 , 矛  盾) . 记 A C 与 a共 面为 y , 若A C ∥6  b ∥y  


/ /y   ( . ∈y , 矛盾. 故A C,  b . 于是 . A C  

必 与/ J 交 于一点 日, 即 由 直线 n }   一 点  1就 可  确  一 杀A 线 和 n、 b、 C一 直线 均 卡 l 1 交.   故应 选 ( D) .  

E C . =1: 2 , 又点 M 、 0分别 为 C C i 、 A C 的 中 
点. 作  平 面  肜 易算  O   ’ : C 。   =7: 4( 要  州到 平 面 几 何 知 以 ) . 从而, 易 得  一 , C L U B




 

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l f )  

中 等 数 学 



D) .   刈  . =丽 故选 (




练 习 题 
1 . 已 知 三 棱 锥 S—A B C的底 面是 以 A B 为 斜 边 的 

例9   没 点 E、 F、 G 分 别 是 正 四 面 体  A B C D的 棱 A B、 B C、 C D 的 中 点. 则 二 面 角 
C—F G—E 的 大 , J 、 是(   ) .  

等腰直 角 三 角形 , 踟 =S B=S C=2 , A B=2 . 没 S、 A、   B、 C四点均 在 以 0为球 心 的 某个 球 上 , 则点 0到 平 
面A B C的距 离 为

— —

( A ) a r c s i n 害   ( B ) 号 + a r c c 。 s 竽  
( (   ) 罟一 a 州a n   ( D ) 兀 一  c 0 t  
( 1 9 9 8 , 全国高中数学联赛 )  
分析 : 易知 A C 平 行  于平 面 E 阳 日 . A C   F G  
D 

( 1 9 9 7 , 全 国高 中数 学联 赛 )  

( 提示 : 由 基 本 结 论 5知 , S   在 乎 面 A B C 内 的 射 影  如 

A B C的 外 心 , 即  为  A B C 斜 

边 中点 且 外 接 圆 半 径 为 MC=1 .  
又 MS=   , 由 0 4= O B:O C 知  l 斜9  

0 在平 面 A B C 内 的 射 影 亦 为  . 再由 O S= O C 及 MS   > MC知 0在 线 段 M S   j 二 , 如图 9 . 令 O C= O S:  , 则  O M:   一  , 列方程 可 解得  =   2 , / 3 )  


( 平面 E F G 与平 面 B C D  

的交 线 ) . 故 由 基 本 结 沦 

l 2知 所求 二 面 角 等 于 . 4 c  
平面 B C D 所 成 角 的 补  角. 作 . _ 1  上 平 面 B C D. 垂  楚为 0, 则 0 为  B C D的l l 1 心, 易 僻  A C O  
f  

l   8  

2 . 过 正方 形 A B C D 的顶 点 . 1作 , J 4 上  面 A B C I ) ,   没 P A=A B =“. 则  而 P A B 与平 面 P C D所 成 - 二 而 角 

的大 小 是一

. ( 答案 : 4 5 。 )  

=a l x ? c o t   , 所求 二 二   角 为 兀一a r e ( ? o t   . 故 应 
选( D) .  

3 . 住 四面体 A B C D中, 棱  4 B、 C D 的 K 分 别 为 “、  

b , 这两 棱 中点 的距 离  d. 则 四  体  4 B C D 的体 积 的  最大 值 是

— —

( 1 9 9 4 , 上海市高三年级数学竞赛 )  

注: 由所求二面角大于姜 , 在得出c o s /A C O  
=  

( 答 案 :   ) .  
4. 三棱 台 A B C—A . B. Cl中 , 上 底 面积 S  


后, 便 可 直 接 判 断 出应 选 ( D) .  
例 1 0 在  三 棱 锥 P —A B C 中,   _   _ ,  

BI  CI  

=n   , 下底 面积 SⅢ =b   ( b>n>0 ) . 底边 B C   截 

_ L P C. P C 上  . 若  为底 面  A B C内一 一   点, 已知s i n /A P M =一   4 【  


面A B . C .的 距 离 等 于 三 棱 台 的 高 , 则 截 面 面 积 为 

B P M=   . 则 

( 提 示: 如图 l 0 , 由基 本结  论 4及 B C到 面 A B。 C 。的 距  

c o s /C P Mf l  ̄ , 值为一
; . ..  

.  
. .; .  ● ; 

( 1 9 9 8 , 北京f  中学 生 数 学 竞 赛 )  

离 等于 三 棱 台 的 高 知 5  
Sl   .   = 
. 

A 
.  

分析 : 此   棱 锥 一 顶 点 处 蔓 棱 两 两 互 相  直, 从 中 町 截  一 个 以 P M 为 对 角 线 的 长 

:  




{  

o b:b:


再由 5



 

b  可 得  

1 0  

方体 , 这 只 须 过 点  分 别 作 面 P B C、 面 P C A   和面 P A B 的平 行 平 面 即 可 完 成 . 此 时  A P M、   B P M、   C P M 成 为 陔 长  体 的 对 角 线 与 M 
, t ?

S t B . C 1  


o b? )  

5 . 求 汪: 所有 二面角都相等 的l , q 面 体 足 正 四 
体.  

顶 点 处  棱 昕 央 的 角 . 故【 l {   本结沦 l 3矢 “  

其余弦的平 方和为 1 . 于足 ,  

参 考文 献 :  
I ]   延刚. 坫小  ? ≮ 沧— — 解  儿竞 赛 题的 臼 J 匙: J ] . I l ,  
数  ,  ̄ 3 ) 0 1 ( 4) .  

c o s  ̄ / [ C P M = √   一 ( 亏 3 )   一 (   3 ) ‘ = 鲁.  


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